Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab1:теория13 [2019/04/22 11:22]
root_s создано
+++ lab1:теория13 [2019/04/22 11:40] (текущий)
root_s
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ===== Краткая теория =====
-Поле магнитного диполя описывается формулой $B(r)=\frac{3r\left[r\cdot m\right]-mr^{2} }{r^{5} } $\eqref{GrindEQ__1_}, где \textbf{В} -- это магнитное поле, \textbf{r} -- радиус вектор, а \textbf{m }-- искомый магнитный момент. Все величины в этой формуле векторные и содержат 3 компоненты. Формула записана в системе координат магнитного диполя, т.е. диполь находится в точке r${}_{0}$(0,0,0). \textit{Чтобы применить данную формулу вам придется перейти в систему координат магнита.}
+Поле магнитного диполя описывается формулой
+$$
+\vec B(r)=\frac{3\vec r\left[\vec r\cdot \vec m\right]-\vec mr^{2} }{r^{5} }, \ \ \ \ \ (1)
+$$
+где $\vec В$ --- это магнитное поле, $\vec r$ --- радиус вектор, а $\vec m$ --- искомый магнитный момент. Все величины в этой формуле векторные и содержат $3$ компоненты. Формула записана в системе координат магнитного диполя, т.е. диполь находится в точке $r_0(0,0,0).$ //Чтобы применить данную формулу вам придется перейти в систему координат магнита.//
-Измерять вы будите магнитное поле, трехкомпонентным датчиком Холла. Магнитный диполь нужно перемещаться вдоль оси Х. Вам потребуется знать вектор расстояния от датчика до магнита (3 величины) и 3 измеренные компоненты магнитного поля.
+Измерять вы будите магнитное поле, трехкомпонентным датчиком Холла. Магнитный диполь нужно перемещаться вдоль оси $Х.$ Вам потребуется знать вектор расстояния от датчика до магнита (3 величины) и 3 измеренные компоненты магнитного поля.
-Выразим магнитный момент через эти 6 величин. Вектор $m=\frac{r}{\left|r\right|} \left[r\cdot m\right]+\frac{B}{\left|B\right|} [B\cdot m]$ \eqref{GrindEQ__2_}, так как $m\cdot [r\times B]=0$ (\textbf{m} лежит в плоскости \textbf{r В}), что можно легко проверить, подставив выражение для магнитного поля в эту формулу. Сначала умножим формулу магнитного поля диполя \eqref{GrindEQ__1_} скалярно на \textbf{r}, \textbf{B }и\textbf{ m,} затем\textbf{ }выразим скалярные произведения (\textbf{r}·\textbf{m}), (\textbf{B}·\textbf{m}). Как вы уже догадались, мы будем использовать вектора \textbf{r} и \textbf{B} в качестве базисных. Должно получиться следующее:
+Выразим магнитный момент через эти 6 величин. Вектор
-\[\begin{array}{l} {[r\cdot B(r)]=\frac{3r^{2} \left[r\cdot m\right]-[r\cdot m]r^{2} }{r^{5} } ,\quad \left[r\cdot m\right]=\frac{[r\cdot B(r)]}{2} r^{3} ,\quad } \\ {\quad \quad \quad \quad \quad \quad [B\cdot m]=\frac{3}{2} [B\cdot r]^{2} \cdot r-B^{2} \cdot r^{3} } \end{array}\]
+$$
+\vec m=\frac{\vec r}{\left|\vec r\right|} \left[\vec r\cdot \vec m\right]+\frac{\vec B}{\left|\vec B\right|} [\vec B\cdot \vec m], \ \ \ \ \ (2)
+$$,
+так как $\vec m\cdot [\vec r\times \vec B]=0$ ($\vec m$ лежит в плоскости $\vec r \vec В$), что можно легко проверить, подставив выражение для магнитного поля в эту формулу. Сначала умножим формулу магнитного поля диполя (1) скалярно на $\vec r,$ $\vec B$ и $\vec m,$ затем выразим скалярные произведения ($\vec r\cdot \vec m$), ($\vec B\cdot \vec m$). Как вы уже догадались, мы будем использовать вектора $\vec r$ и $\vec B$ в качестве базисных. Должно получиться следующее:
+$$
+[\vec r\cdot \vec B(r)]=\frac{3r^{2} \left[\vec r\cdot \vec m\right]-[\vec r\cdot \vec m]r^{2} }{r^{5} } ,\quad \left[\vec r\cdot \vec m\right]=\frac{[\vec r\cdot \vec B(r)]}{2} r^{3} ,
+$$
+$$
+[\vec B\cdot \vec m]=\frac{3}{2} [\vec B\cdot \vec r]^{2} \cdot r-B^{2} \cdot r^{3}
+$$
+И подставляя в
+$$
+\vec m=\frac{r}{\left|r\right|^{2} } \left[r\cdot m\right]+\frac{B}{\left|B\right|^{2} } [B\cdot m]
+$$
+соответствующие выражения для скалярных произведений получим:
+$$
+m=\frac{\vec r}{\left|r\right|^{2} } \frac{[\vec r\cdot \vec B]}{2} r^{3} +\frac{\vec B}{\left|B\right|^{2} } \left(\frac{3}{2} [\vec B\cdot \vec r]^{2} \cdot r-B^{2} \cdot r^{3} \right)
+. \ \ \ \ \ (3)
+$$
-И подставляя в $m=\frac{r}{\left|r\right|^{2} } \left[r\cdot m\right]+\frac{B}{\left|B\right|^{2} } [B\cdot m]$ соответствующие выражения для скалярных произведений получим:
+В качестве бесплатного дополнения легко найти квадрат вектора $\vec m:$
-\begin{equation} \label{GrindEQ__3_}
+$$
-m=\frac{r}{\left|r\right|^{2} } \frac{[r\cdot B]}{2} r^{3} +\frac{B}{\left|B\right|^{2} } \left(\frac{3}{2} [B\cdot r]^{2} \cdot r-B^{2} \cdot r^{3} \right)
+m^{2} =\left(B^{2} \cdot r^{2} -\frac{3}{4} [\vec B\cdot \vec r]^{2} \right)\cdot r^{4} .
-\end{equation}
+$$
-В качестве бесплатного дополнения легко найти квадрат вектора \textbf{m}:
-\[m^{2} =\left(B^{2} \cdot r^{2} -\frac{3}{4} [B\cdot r]^{2} \right)\cdot r^{4} \]
-Формула \eqref{GrindEQ__3_} есть решение уравнения \eqref{GrindEQ__1_} относительно вектора \textbf{m}. Вообще вы можете не пользоваться формулой \eqref{GrindEQ__3_}, а решить систему уравнений \eqref{GrindEQ__1_} относительно \textbf{m} численно, например, в системах MathCad или MatLab.
+Формула (3) есть решение уравнения (1) относительно вектора $\vec m.$ Вообще вы можете не пользоваться формулой (3), а решить систему уравнений (1) относительно $\vec m$ численно, например, в системах MathCad или MatLab.