Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab1:experiment_12 [2018/12/03 09:07]
root_s
+++ lab1:experiment_12 [2025/07/01 11:59] (текущий)
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 {{ :lab1:pic05-2.png?400 |}}
 Между двумя пластинами 1 и 2 располагается изолятор 3 толщиной $\Delta$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Когда пластины располагаются максимально близко друг к другу, т.е. расстояние $D$ почти равно нулю, на пластину 2 подается напряжение $U$, в результате на потенциальных проводниках системы появится заряд равный:
+$$Q_{00}=(C_v+C_w+C_{\infty}+C_{12}+C_0)\cdot U_{00},$$
-$Q_{00}=(C_v+C_w+C_{\infty}+C_{12}+C_0)\cdot U$, (39)
 где $C_1=C_v+C_w+C_{\infty}$ --- сумма емкости вольтметра $C_v$, паразитной ёмкости $C_w$ проводов, соединяющих вольтметр с плоским конденсатором (включая паразитную емкость пластины 2 на близкие заземлённые проводники, которую будем считать неизменной при проведении эксперимента), и ёмкости $C_{\infty}$ пластины 2 относительно "бесконечности". При вычислении заряда $Q_{00}$  к ёмкости $C_1$ нужно прибавить ёмкость подводящих проводов $C_0$ и, собственно, взаимную ёмкость пластин $C_{12}$. Подключенный к обеим пластинам вольтметр покажет при этом величину поданного напряжения $U_{00}$. Расстояние $D$ при этом должно быть достаточно мало (см. следующий раздел), чтобы заряд был не слишком мал.
-При этом подключенный к обеим пластинам вольтметр покажет величину поданного напряжения $U_0$. Однако если отключить напряжение от пластины и отвести ее на расстояние $D$, то взаимная емкость пластин существенно уменьшится, при этом, так как полный заряд $Q$ является постоянным, изменится напряжение, измеряемое вольтметром адекватно с изменением емкости системы. Взаимную электроемкость идеального плоского конденсатора с диэлектрической пластиной и подключенного к нему вольтметра можно представить в виде эквивалентной схемы, содержащей три конденсатора, соединенные так, как показано на рис. 5, б. Результирующая емкость такого конденсатора может быть рассчитана по формуле
+После зарядки системы, подводящие провода отключаются. При этом отключается ёмкость $C_0$ вместе с зарядом, остающимся на ней, и вольтметр показывает новое значение $U_0$, соответствующее оставшемуся заряду
+$$
-$C=C_1+\frac{C_2\cdot C_д}{C_2+C_д}$, (1.2)
+Q_0=(C_1+C_{12}(D^*))\cdot U_0, \ \ \ \ \ (1.2.2)
+$$
-где $C_1 = C_v + C_п$, $C_д$ --- емкость конденсатора с диэлектриком, $C_2$ --– емкость конденсатора без диэлектрика. Соответственно с этим можно написать экспериментальную зависимость напряжения на вольтметре от расстояния $D$:
+где $D=D^*$ --- расстояние, соответствующее моменту отключения проводов источника от схемы. При дальнейших манипуляциях, если можно пренебречь утечками заряда, заряд $Q_0$ сохраняется, а показания вольтметра будут изменяться с перемещением пластины 2 следующим образом:
+$$
-$U=\frac Q{C_v+C_п+\frac{\varepsilon_0\cdot S}{\frac {\Delta}{\varepsilon}+D}}
+U(D)=\frac{Q_0}{C(D)}, \ \ \ \ \  (1.2.3),
-=U_0\frac{C_v + C_п+C^0_{вз}}{C_v+C_п+\frac{\varepsilon_0\cdot S}{\frac {\Delta}{\varepsilon}+D}}$ (СИ),	(40)
+$$
+$$
-$U=U_0\frac{C_v + C_п+C^0_{вз}}{C_v+C_п+\frac{S}{4\pi (\frac {\Delta}{\varepsilon}+D)}}$(СГС).	(41)
+C(D)=C_1+\frac{C_D\cdot C_{\Delta}}{C_D+C_{\Delta}}, \ \ \ \ \  (1.2.4)
+$$
-**Важно**: в обеих приведенных выше формулах расстояние $D$ соответствует расстоянию между пластиной 2 и диэлектриком 3.
+Будем в дальнейших расчетах считать, что даже при больших значениях    $D$ ёмкость зазора между диэлектриком и пластиной 2 может быть, с небольшими погрешностями (см. задания к работе), вычислена, используя формулу для плоского конденсатора $C=\frac{S}{4\pi\cdot \delta z}$, где $\delta z$ --- расстояние между пластинами, а $S$ --- площадь пластин. Связь между измеряемой величиной разности потенциалов и параметрами установки в этом случае примет вид (проверьте это выражение):
+$$
-Как в случае идеального, так и неидеального плоского конденсатора при разнесении пластин на большое расстояние (достаточно уже на масштаб линейного размера пластин) взаимная емкость пластин становится значительно меньше емкости $C_п$, которая в случае определения ее в системе единиц СГС пропорциональна линейному размеру пластины в сантиметрах (причем 1 см эквивалентен $\frac {10}9$ пФ).
+\frac{Q_0}{U_D}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi(\Delta +\varepsilon D)}. \ \ \ \ \ (1.2.5), СГС
+$$
-Если строить экспериментальную зависимость напряжения от расстояния между пластинами, то она будет несколько отличаться от величины, описанной выше. Это связано с отличием идеальной взаимной емкости пластин от реальной (так как при разнесении пластин друг от друга, из-за краевых эффектов, на краю пластин скапливается поверхностный заряд больший, чем определяемый в идеальном случае, в результате получаемая емкость оказывается несколько выше).
+Очевидно, что для их определения в данном эксперименте необходимо выполнить минимум три измерения, т.к. в уравнении есть три неизвестных параметра: $\varepsilon , C_1$   и  $Q_0$.
-Легко увидеть, что в данном эксперименте можно рассчитать величину суммарной емкости $C_1 = C_v + C_п$, измерив напряжение на вольтметре в двух случаях --- при сильно разведенных пластинах $D'\approx 10 см$ (напряжение $U'$) и близко сведенных, например $D_0 = 3 мм$ (напряжение $U_0$). Тогда
-$C_1=\frac{C_0\cdot U_0-C'\cdot U'}{U'-U_0}$ ,	(42)
-где $C_0=\frac S{4\pi \cdot D_0}$ и $C'=\frac S{4\pi \cdot D'}$  (СГС).	(43)
+Важно заметить, что формулы (1.2.4) и (1.2.5) являются почти правильными когда расстояние $D$ мало по сравнению с размерами пластин. А также категорически нельзя допускать соприкосновения подвижной пластины с диэлектриком, т.к. на его поверхность будет перенесен заряд, который потом на ней и останется. Т.о., вносить заряд в систему можно при $\sqrt{S}\gg D_0\neq 0$. Выберем, например, значение $D_0$ таким, чтобы при уменьшении $D$ до нуля, значение напряжения уменьшалось процентов на $20\%.$ После касания пластины диэлектрика, для снятия, оставшегося на его поверхности заряда, не забудьте протереть поверхность диэлектрика ладонью с зажатым в ней заземленным проводом. Ещё одно расстояние можно выбрать, увеличив $D=2D_0$ в два раза. Не забудьте делать измерение $D=0$ последним. Т.о. получится система уравнений: $D_0$, $2D_0$ и $D=0$:
-Аналогичным способом можно определить емкость конденсатора с диэлектриком. Измерив $U_0(D = 0)$ и $U'(D\approx 10 см)$, получим:
+$$
-$C_д=\frac{C_0\cdot U_0-C'\cdot U'}{U'-U_0}$ ,	(44)
+\frac{Q_0}{U_{D_0}}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi (\Delta + \varepsilon D_0)}    \hspace{5cm}
+$$
+$$
+\frac{Q_0}{U_{2D_0}}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi (\Delta + \varepsilon 2 D_0)}  \hspace{3cm}   (1.2.6)
+$$
+$$
+\frac{Q_0}{U_{D=0}}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi \Delta }                        \hspace{5cm}
+$$
-где $C_0=\frac {\varepsilon S}{4\pi \cdot D_0}$ и $C'=\frac S{4\pi \cdot D'}$  (СГС).
+Решая данную систему уравнений (1.2.6), можно найти итоговые значения $\varepsilon , C_1$   и  $Q_0$.
-В результате можно определить величину диэлектрической проницаемости используемого диэлектрика.
+Используя полученные значения, постройте теоретический график зависимости (1.2.5) и наложите на него экспериментальные точки. Объясните различие экспериментальных и расчётных значений.
+Далее  [[lab1:tasks_12|"Задания"]]