Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab1:experiment_12 [2018/12/03 09:34]
root_s
+++ lab1:experiment_12 [2025/07/01 11:59] (текущий)
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 {{ :lab1:pic05-2.png?400 |}}
 Между двумя пластинами 1 и 2 располагается изолятор 3 толщиной $\Delta$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Когда пластины располагаются максимально близко друг к другу, т.е. расстояние $D$ почти равно нулю, на пластину 2 подается напряжение $U$, в результате на потенциальных проводниках системы появится заряд равный:
+$$Q_{00}=(C_v+C_w+C_{\infty}+C_{12}+C_0)\cdot U_{00},$$
-$Q_{00}=(C_v+C_w+C_{\infty}+C_{12}+C_0)\cdot U_{00}$,
 где $C_1=C_v+C_w+C_{\infty}$ --- сумма емкости вольтметра $C_v$, паразитной ёмкости $C_w$ проводов, соединяющих вольтметр с плоским конденсатором (включая паразитную емкость пластины 2 на близкие заземлённые проводники, которую будем считать неизменной при проведении эксперимента), и ёмкости $C_{\infty}$ пластины 2 относительно "бесконечности". При вычислении заряда $Q_{00}$  к ёмкости $C_1$ нужно прибавить ёмкость подводящих проводов $C_0$ и, собственно, взаимную ёмкость пластин $C_{12}$. Подключенный к обеим пластинам вольтметр покажет при этом величину поданного напряжения $U_{00}$. Расстояние $D$ при этом должно быть достаточно мало (см. следующий раздел), чтобы заряд был не слишком мал.
 После зарядки системы, подводящие провода отключаются. При этом отключается ёмкость $C_0$ вместе с зарядом, остающимся на ней, и вольтметр показывает новое значение $U_0$, соответствующее оставшемуся заряду
+$$
-$Q_0=(c_1+C_{12}(D^*))\cdot U_0$,                         (1.2.2)
+Q_0=(C_1+C_{12}(D^*))\cdot U_0, \ \ \ \ \ (1.2.2)
+$$
 где $D=D^*$ --- расстояние, соответствующее моменту отключения проводов источника от схемы. При дальнейших манипуляциях, если можно пренебречь утечками заряда, заряд $Q_0$ сохраняется, а показания вольтметра будут изменяться с перемещением пластины 2 следующим образом:
+$$
-$U(D)=\frac{Q_0}{C(D)}$, (1.2.3),
+U(D)=\frac{Q_0}{C(D)}, \ \ \ \ \  (1.2.3),
+$$
-$\frac 1{C(D)}=\frac 1{C_1}+\frac{C_D+C_{\Delta}}{C_D\cdot C_{\Delta}}$, (1.2.4)
+$$
+C(D)=C_1+\frac{C_D\cdot C_{\Delta}}{C_D+C_{\Delta}}, \ \ \ \ \  (1.2.4)
+$$
 Будем в дальнейших расчетах считать, что даже при больших значениях    $D$ ёмкость зазора между диэлектриком и пластиной 2 может быть, с небольшими погрешностями (см. задания к работе), вычислена, используя формулу для плоского конденсатора $C=\frac{S}{4\pi\cdot \delta z}$, где $\delta z$ --- расстояние между пластинами, а $S$ --- площадь пластин. Связь между измеряемой величиной разности потенциалов и параметрами установки в этом случае примет вид (проверьте это выражение):
+$$
+\frac{Q_0}{U_D}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi(\Delta +\varepsilon D)}. \ \ \ \ \ (1.2.5), СГС
+$$
+Очевидно, что для их определения в данном эксперименте необходимо выполнить минимум три измерения, т.к. в уравнении есть три неизвестных параметра: $\varepsilon , C_1$   и  $Q_0$.
-$\frac{U_D}{Q_0}=\frac 1{C_1}+\frac{4\pi}{\varepsilon S}(\Delta +\varepsilon D)$.	(1.2.5)
+Важно заметить, что формулы (1.2.4) и (1.2.5) являются почти правильными когда расстояние $D$ мало по сравнению с размерами пластин. А также категорически нельзя допускать соприкосновения подвижной пластины с диэлектриком, т.к. на его поверхность будет перенесен заряд, который потом на ней и останется. Т.о., вносить заряд в систему можно при $\sqrt{S}\gg D_0\neq 0$. Выберем, например, значение $D_0$ таким, чтобы при уменьшении $D$ до нуля, значение напряжения уменьшалось процентов на $20\%.$ После касания пластины диэлектрика, для снятия, оставшегося на его поверхности заряда, не забудьте протереть поверхность диэлектрика ладонью с зажатым в ней заземленным проводом. Ещё одно расстояние можно выбрать, увеличив $D=2D_0$ в два раза. Не забудьте делать измерение $D=0$ последним. Т.о. получится система уравнений: $D_0$, $2D_0$ и $D=0$:
-В уравнении есть при неизвестных параметра: $\varepsilon , C_1$   и  $Q_0$. Очевидно, что для их определения в данном эксперименте необходимо выполнить минимум три измерения.
-Выберем, например, значения $D=D_{max}, \frac{D_{max}}2$ и $D=0$. Получим систему уравнений
-$\frac{U(D_{max})}{Q_0}=\frac 1{C_1}+\frac{4\pi D_{max}}{S}$
-$\frac{\frac 12 U(D_{max})}{Q_0}=\frac 1{C_1}+\frac{2\pi D_{max}}{S}$	  	(1.2.6)
-$\frac{U(0)}{Q_0}=\frac 1{C_1}+\frac{4\pi \Delta}{\varepsilon S}$
-Решая систему (проверьте), вы получите значения неизвестных
-$Q_0=\frac S{2\pi D_{max}}(U(D_{max})-U(\frac 12 D_{max}))$
-$C_1=\frac S{2\pi D_{max}}
+$$
-\frac{(U(D_{max})-U(\frac 12 D_{max}))}{(2U(\frac 12D_{max})-U( D_{max}))}$,   	(1.2.7)
+\frac{Q_0}{U_{D_0}}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi (\Delta + \varepsilon D_0)}    \hspace{5cm}
+$$
+$$
+\frac{Q_0}{U_{2D_0}}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi (\Delta + \varepsilon 2 D_0)}  \hspace{3cm}   (1.2.6)
+$$
+$$
+\frac{Q_0}{U_{D=0}}=C_1+\frac{\varepsilon S}{4\pi \Delta }                        \hspace{5cm}
+$$
-$\varepsilon =\frac{4\pi \Delta}{S}\cdot \frac{Q_0C_1}{U(0)C_1-Q_0}$.
+Решая данную систему уравнений (1.2.6), можно найти итоговые значения $\varepsilon , C_1$   и  $Q_0$.
-Используя полученные значения, постройте график зависимости (1.2.5) и наложите на него экспериментальные точки. Объясните различие экспериментальных и расчётных значений.
+Используя полученные значения, постройте теоретический график зависимости (1.2.5) и наложите на него экспериментальные точки. Объясните различие экспериментальных и расчётных значений.
+Далее  [[lab1:tasks_12|"Задания"]]