Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab2:идея24 [2019/08/23 12:24]
root_s
+++ lab2:идея24 [2021/08/31 10:33] (текущий)
root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ===== Идея эксперимента и его рабочая схема =====
-Идея измерения заряда электрона по дробовому шуму проста. Для того, чтобы экспериментально определить заряд электрона, нужно измерить или задать контролируемым образом все величины $\overline{U_{др}^2}$, $I$, $R$, $\Delta f$, входящие в формулу $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$. Для этого к схеме:
+Идея измерения заряда электрона по дробовому шуму проста. Для того, чтобы экспериментально определить заряд электрона, нужно измерить или задать контролируемым образом все величины $\overline{U_{\text{др}}^2}$, $I$, $R$, $\Delta f$, входящие в формулу $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$. Для этого к схеме:
 {{ :lab2:24-1.jpg?direct&150 |}}
-достаточно подсоединить полосовой фильтр ПФ, пропускающий со входа на выход сигнал только в известной полосе частот $\Delta f = f_в - f_н$, измеритель анодного тока $I$ и вольтметр среднеквадратичных значений $U_{эф}$:
+достаточно подсоединить полосовой фильтр ПФ, пропускающий со входа на выход сигнал только в известной полосе частот $\Delta f = f_{\text{в}} - f_{\text{н}}$, измеритель анодного тока $I$ и вольтметр среднеквадратичных значений $U_{\text{эф}}$:
 {{ :lab2:24.-2.jpg?direct&300 |}}
-Разделительный конденсатор С предназначен для "отрезания" от последующей схемы постоянной составляющей анодного тока $I_0$ (и соответственно большого по сравнению с напряжением шума постоянного напряжения на сопротивлении $U_R= I R$. Поскольку получающаяся величина шумового напряжения весьма мала, то после ПФ стоит усилитель с коэффициентом усиления $К_у$, не зависящим от частоты в пределах полосы пропускания фильтра ПФ. Усиленный сигнал будет уже доступен измерению вольтметром среднеквадратичных значений: $U_{эф} = К_у\cdot \sqrt{\overline{U_{др}^2}}$.
+Разделительный конденсатор С предназначен для <<отрезания>> от последующей схемы постоянной составляющей анодного тока $I_0$ (и соответственно большого по сравнению с напряжением шума постоянного напряжения на сопротивлении $U_R=IR$. Поскольку получающаяся величина шумового напряжения весьма мала, то после ПФ стоит усилитель с коэффициентом усиления $K_{y}$, не зависящим от частоты в пределах полосы пропускания фильтра ПФ. Усиленный сигнал будет уже доступен измерению вольтметром среднеквадратичных значений: $U_{\text{эф}}=K_y\cdot \sqrt{\overline{U_{\text{др}}^2}}$.
-Сделаем оценку. При приемлемом токе диода порядка 1 мА и анодном сопротивлении 1 кОм напряжение шума в полосе частот $\Delta f = 1$ кГц будет составлять
+**Сделаем оценку. **
-$U_{эф} = \sqrt{\overline{U_{др}^2} } = \sqrt{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19}\cdot 10^{-3}\cdot 10^6\cdot 10^3}\approx 5\cdot 10^{-7}$ В, т.е. 0,5 мкВ.
-Если усилитель имеет коэффициент усиления 1000 ($К_у = 10^3$), то напряжение на его выходе будет составлять уже $U_{эф} = 0,5$ мВ, что вполне доступно для измерения вольтметром с достаточно высокой точностью. Таким образом все величины, входящие в формулу $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$ будут определены.
+При приемлемом токе диода порядка 1 мА и анодном сопротивлении 1 кОм напряжение шума в полосе частот $\Delta f = 1$ кГц будет составлять
+$$U_{\text{эф}} = \sqrt{\overline{U_{\text{др}}^2} } = \sqrt{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19}\cdot 10^{-3}\cdot 10^6\cdot 10^3}\approx 5\cdot 10^{-7} \text{ В,}$$ т.е. 0,5 мкВ.
+Если усилитель имеет коэффициент усиления 1000 ($K_y = 10^3$), то напряжение на его выходе будет составлять уже $U_{\text{эф}} = 0,5$ мВ, что вполне доступно для измерения вольтметром с достаточно высокой точностью. Таким образом все величины, входящие в формулу $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$ будут определены.
 Необходимая для этой идеи амплитудно-частотная характеристика полосового фильтра:
-{{ :lab2:24-3.jpg?direct&300 |}}
+{{ :lab2:24-3.jpg?direct&150 |}}
 Однако уровень развития электроники в 30-х гг. 20-го века был таков, что полосовых фильтров просто еще не существовало. Поэтому в технической реализации описанной идеи были использованы избирательные свойства колебательного контура.
-Рассмотрим особенности установки, связанные с заменой ПФ колебательным контуром (рис. 3 а,б). Основными параметрами колебательного контура являются резонансная частота \textit{f${}_{0}$} и добротность \textit{Q}, которые можно определить по его амплитудно-частотной характеристике (АЧХ).
+Рассмотрим особенности установки, связанные с заменой ПФ колебательным контуром. Основными параметрами колебательного контура являются резонансная частота $f_0$ и добротность $Q$, которые можно определить по его амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Для получения АЧХ используется генератор $G$ и вольтметр (осциллограф) $V$:
+{{ :lab2:24-4.jpg?direct&200 |}}
-Для получения АЧХ используется генератор \textit{G} и вольтметр (осциллограф) \textit{V} (рис. 3,а). Зависимость амплитуды сигнала на осциллографе в зависимости от частоты генератора (при неизменном напряжении на его выходе)  -- это и есть АЧХ контура.
+Зависимость амплитуды сигнала на осциллографе в зависимости от частоты генератора (при неизменном напряжении на его выходе) --- это и есть АЧХ контура:
+{{ :lab2:24-5.jpg?direct&200 |}}
-Таким образом, колебательный контур является эквивалентом полосового фильтра: со входа (от генератора) на выход (на вольтметр) он пропускает сигнал только в некоторой полосе частот вокруг резонансной частоты \textit{f${}_{0}$}. Но в пределах этой полосы его коэффициент передачи \textit{К = U${}_{L}$/U${}_{L}$${}_{0}$} (где \textit{U${}_{L}$${}_{0}$} -- напряжение на вольтметре при резонансной частоте) изменяется сложным образом (рис. 3,б). Однако суммарное пропускание контура определится площадью подинтегральной кривой и будет эквивалентно пропусканию идеального ПФ имеющего такую же площадь (рис. 3,в).
-Теоретически замена сопротивления R контуром сводится к подстановке в формуле \eqref{GrindEQ__2_} вместо  \textit{R} комплексного сопротивления контура \textit{Z(f)}. Тогда формула \eqref{GrindEQ__2_} преобразуется к виду
-\[\overline{U_{4@}^{2} }=2eI_{0} \int _{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2}  df=\frac{eI_{a} }{\pi } \int _{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2}  d\omega \]
-Интеграл в данной формуле пропорционален площади под резонансной кривой (рис. 2,б) и с учетом конкретных величин \textit{L, C }и\textit{ R${}_{2}$ }может быть выражен через добротность контура \textit{Q}. В результате исходная рабочая формула эксперимента приобретает следующий вид:
+Таким образом, колебательный контур является эквивалентом полосового фильтра: со входа (от генератора) на выход (на вольтметр) он пропускает сигнал только в некоторой полосе частот вокруг резонансной частоты $f_0$. Но в пределах этой полосы его коэффициент передачи $K = \frac{U_L}{U_{L_0}}$ (где $U_{L_0}$ --- напряжение на вольтметре при резонансной частоте). Однако суммарное пропускание контура определится площадью подинтегральной кривой и будет эквивалентно пропусканию идеального ПФ имеющего такую же площадь:
+{{ :lab2:24-6.jpg?direct&400 |}}
+Теоретически замена сопротивления R контуром сводится к подстановке в формуле $\overline{\Delta U_{\text{др}}^2}=2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f$ вместо  $R$ комплексного сопротивления контура $Z(f)$. Тогда формула преобразуется к виду
+$$
+\overline{U_{\text{др}}^2}=2eI \int _{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2}  df=\frac{eI}{\pi } \int _{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2}  d\omega
+$$
-$\overline{U_{4@}^{2} }=\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } $ или $(U_{MD} /_{C} )^{2} =\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } $    \eqref{GrindEQ__3_}
+Интеграл в данной формуле пропорционален площади под резонансной кривой и с учетом конкретных величин $L, C$ и $R_2$ может быть выражен через добротность контура $Q$. В результате исходная рабочая формула эксперимента приобретает следующий вид:
+$$
+\overline{U_{\text{др}}^2}=\frac{eI Q}{2\omega _{0} C^{2} } \hspace{10pt}  \text{ или } \hspace{10pt}   \left(\frac{U_{\text{эф}}}{K_y}\right)^2 =\frac{eI Q}{2\omega _{0} C^{2}}, \,\,\,\,\,\,{(3)}
+$$
+где $\omega _0 = 2\pi f_0$ --- резонансная частота контура, $C$ --- емкость контура, $Q$ --- его добротность, $K_y$ --- коэффициент усиления усилителя и $U_{\text{эф}}$ --- показания среднеквадратичного вольтметра.
-\noindent где \textit{$\omega$${}_{0}$ = 2$\pi$f${}_{0}$} -- резонансная частота контура, \textit{С} -- емкость контура, \textit{Q} -- его добротность, \textit{К${}_{\textrm{у}}$} -- коэффициент усиления усилителя и \textit{U${}_{\textrm{э}\textrm{ф}}$} -- показания среднеквадратичного вольтметра.
+Таким образом для определения заряда электрона по дробовому эффекту в эксперименте с использованием колебательного контура нам необходимо будет знать емкость контура $С$, и измерить резонансную частоту $f_0$, добротность контура $Q$ и коэффициент усиления  усилителя $K_y$.
-Таким образом для определения заряда электрона по дробовому эффекту в эксперименте с использованием колебательного контура нам необходимо будет знать емкость контура \textit{С}, и измерить резонансную частоту \textit{f${}_{0}$},\textit{${}_{\ }$}добротность контура \textit{Q}  и коэффициент усиления  усилителя \textit{К${}_{\textrm{у}}$}.
-\textbf{Примечание}. Заметим только, что для получения результата по формуле \eqref{GrindEQ__3_} добротность контура Q \textit{обязательно должна измеряться экспериментально}, а не рассчитываться по теоретической формуле. Это обусловлено двумя факторами. Во-первых, по переменной (шумовой) составляющей напряжения диод оказывается подключенным параллельно колебательному контуру, а следовательно, его внутреннее сопротивления (зависящее от постоянного тока, протекающего через диод) шунттирует контур и уменьшает его добротность по крайней мере в 5-7 раз по сравнению с теоретически расчитанной величиной для "ненагруженного" контура. Во-вторых, кроме последовательного сопротивления делителя \textit{R${}_{2}$} в расчетные формулы для добротности контура входит активное сопротивление катушки контура. В свою очередь, активное сопротивление провода \textit{переменному току} зависит от частоты, поскольку на частотах $\mathrm{\sim}$ 100 кГц начинает сильно сказываться скин-эффект в проводе ("вытеснение" протекающего по нему тока из всего сечения провода к его поверхности). Таким образом, измерение реального активного сопротивления контура на резонансной частоте само по себе превращается в достаточно сложную экспериментальную задачу. По счастью, в нашем эксперименте ее решать не нужно, поскольку экспериментально измеренная добротность контура "автоматически" учитывает не расчетную, а реальную величину этих сопротивлений. Единственное, что следует выполнить -- это построить зависимость экспериментального значения добротности контура от тока диода, а затем подставлять в расчетную формулу \eqref{GrindEQ__3_} те значения добротности, которые соответствуют реальному току диода, при котором измеряется напряжение шумов.
+**Примечание**. Заметим только, что для получения результата по формуле (3) добротность контура $Q$ __обязательно должна измеряться экспериментально__, а не рассчитываться по теоретической формуле. Это обусловлено двумя факторами. Во-первых, по переменной (шумовой) составляющей напряжения диод оказывается подключенным параллельно колебательному контуру, а следовательно, его внутреннее сопротивления (зависящее от постоянного тока, протекающего через диод) шунтирует контур и уменьшает его добротность по крайней мере в 5-7 раз по сравнению с теоретически расcчитанной величиной для "ненагруженного" контура. Во-вторых, кроме последовательного сопротивления делителя $R_2$ в расчетные формулы для добротности контура входит активное сопротивление катушки контура. В свою очередь, активное сопротивление провода //переменному току// зависит от частоты, поскольку на частотах $\sim 100$ кГц начинает сильно сказываться [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Скин-эффект|скин-эффект]] в проводе ("вытеснение" протекающего по нему тока из всего сечения провода к его поверхности). Таким образом, измерение реального активного сопротивления контура на резонансной частоте само по себе превращается в достаточно сложную экспериментальную задачу. По счастью, в нашем эксперименте ее решать не нужно, поскольку экспериментально измеренная добротность контура "автоматически" учитывает не расчетную, а реальную величину этих сопротивлений. Единственное, что следует выполнить --- это построить зависимость экспериментального значения добротности контура от тока диода, а затем подставлять в расчетную формулу те значения добротности, которые соответствуют реальному току диода, при котором измеряется напряжение шумов.
-Вывод формулы \eqref{GrindEQ__3_} приведен в приложении к данной работе, а с более подробной теорией вакуумного диода, колебательных контуров и фильтров можно ознакомиться в работах практикума 2.1-2.3, 5.1, 5.2 и 5.5, посвященных этим вопросам [4].
+Вывод формулы (3) приведен в [[приложении]] к данной работе, а с более подробной теорией вакуумного диода, колебательных контуров и фильтров можно ознакомиться в работах практикума [[lab2:lab2|2.1-2.3]], [[lab5:lab5|5.1, 5.2 и 5.5]] посвященных этим вопросам.
 Назад к [[теория24|теории явления]] или далее к [[описание24|описанию установки]]