Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab2:приложении [2019/08/23 14:05]
root_s
+++ lab2:приложении [2019/08/23 14:28] (текущий)
root_s
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 На комплексном сопротивлении контура $Z(f)$ выделяется напряжение дробовых шумов
 $$
-\overline{U_{др}^{2} }=2eI_{0} \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2}  df=\frac{eI_{a} }{\pi } \int _{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2}  d\omega .
+\overline{U_{др}^{2} }=2eI_{0} \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2}  df=\frac{eI_{a} }{\pi } \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2}  d\omega .
 $$
-Здесь $Z(\omega )=\frac{(R+j\omega L)/j\omega C}{(R+j\omega L)+1/j\omega C} =\frac{R+j\omega L}{j\omega RC-\omega ^{2} LC+1} $, причем величина \textit{R} это сумма сопротивления провода катушки и сопротивления делителя схемы \textit{R${}_{2}$} (рис. 4).
+Здесь $Z(\omega )=\frac{(R+j\omega L)/j\omega C}{(R+j\omega L)+1/j\omega C} =\frac{R+j\omega L}{j\omega RC-\omega ^{2} LC+1} $, причем величина $R$ это сумма сопротивления провода катушки и сопротивления делителя схемы $R_2$:
+{{ :lab2:24-7.jpg?direct&500 |}}
-Обозначая $x=\omega /\omega _{0} ;{\rm \; \; \; \; }\omega _{{\rm 0}} =1/\sqrt{LC} ;{\rm \; \; \; Q}=\omega _{0} L/R=1/\omega _{0} CR,$ получим
+Обозначая $x=\frac{\omega}{\omega _0}$; $\omega _0 =\frac 1{\sqrt{LC}}$; $Q=\frac{\omega _0 L}{R}= \frac 1{\omega _0 CR}$, получим
+$$
+Z(x)=\frac{R+jRQx}{(1-x^{2} )+jx/Q}  \hspace{10pt}  \text{ и }  \hspace{10pt} \left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx(1/Q^{2} +1-x^{2} )}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2}.
+$$
-\noindent $Z(x)=\frac{R+jRQx}{(1-x^{2} )+jx/Q} $    и    $\left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx(1/Q^{2} +1-x^{2} )}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2} $.
+Поскольку нас интересуют лишь значения $х \approx 1$ и $Q \geq 10$, то множитель в скобке знаменателя можно принять равным 1 и записать
+$$
+\left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2} =\frac{R^{2} +R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \approx \frac{R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} }
+$$
-Поскольку нас интересуют лишь значения х $\approx$ 1 и Q $\geq$ 10, то множитель в скобке знаменателя можно принять равным 1 и записать
+Последнее приближение сделано ввиду $R \ll RQx$. Используя соотношение $RQ = \frac 1{\omega_0С}$, получим
-\[\left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2} =\frac{R^{2} +R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \approx \frac{R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \]
+$$
+\overline{U_{др}^2}=\frac{eI_0}{\pi \omega _{0} C^{2} } \int \limits_{0}^{\infty }\frac{x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} }  dx
-Последнее приближение сделано ввиду R $<$$<$ RQx. Используя соотношение R${}^{2}$Q${}^{2}$ = 1/($\omega$${}_{0}$${}^{2}$С${}^{2}$), получим
+$$
-\[\overline{U_{4@}^{2} }=\frac{eI_{0} }{\pi \omega _{0} C^{2} } \int _{0}^{\infty }\frac{x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} }  dx\]
-Вводя новую переменную $y=Q(\frac{1}{x} -x){\rm \; \; 8\; \; }dy=-Q(\frac{1}{x^{2} } +1)dx\approx 2Qdx$, получим$\int _{-\infty }^{\infty }\frac{Q}{2(y^{2} +1)}  dy=\frac{Q}{2} arctg\left. y\right|_{-\infty }^{\infty } =\frac{Q\pi }{2} $.
+Вводя новую переменную $y=Q(\frac{1}{x} -x)$, тогда $dy=-Q(\frac{1}{x^{2} } +1)dx\approx 2Qdx$, следовательно, получим
+$$\int \limits_{-\infty }^{\infty }\frac{Q}{2(y^{2} +1)}  dy=\frac{Q}{2} \text{arctg} \Biggl. (y) \Biggr|_{-\infty }^{\infty } =\frac{Q\pi }{2} .
+$$
 И окончательно
-\[\overline{U_{4@}^{2} }=\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } .       \]
+$$\overline{U_{др}^{2} }=\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } .
+$$
+Назад к [[идея24|идеи эксперимента и его рабочей схемы]]