| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab4:движение_носителей [2019/04/04 21:00]
root_s |
lab4:движение_носителей [2019/09/13 12:40] (текущий)
root_s |
| Рассмотрим кратко характер движения свободного носителя заряда при наличии электрического и магнитного полей. | Рассмотрим кратко характер движения свободного носителя заряда при наличии электрического и магнитного полей. |
| |
| Под действием электрической составляющей поля частица получает дополнительную скорость, совпадающую с направлением вектора ${\bf E}$. В общем случае при любой ориентации скорости ${\bf v}$ и магнитного поля ${\bf B}$ скорость электрона можно разложить на две составляющие: параллельную ${\bf v}_{\parallel } $ и перпендикулярную ${\bf v}_{\bot } $ полю ${\bf B}$: | Под действием электрической составляющей поля частица получает дополнительную скорость, совпадающую с направлением вектора ${\vec E}$. В общем случае при любой ориентации скорости ${\vec v}$ и магнитного поля ${\vec B}$ скорость электрона можно разложить на две составляющие: параллельную $v_{\parallel } $ и перпендикулярную $v_{\bot } $ полю ${\vec B}$: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__25_} | $$ |
| {\bf v}{\rm =v}_{\parallel } +{\rm v}_{\bot } ; | \vec v = (v_{\parallel },v_{\bot }); |
| \end{equation} | $$ |
| тогда сила, действующая на частицу в магнитном поле, | тогда сила, действующая на частицу в магнитном поле, |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__26_} | $$ |
| F_{B} =\frac{qv_{\bot } B}{c} . | F_{B} =\frac{qv_{\bot } B}{c} . |
| \end{equation} | $$ |
| Сила ${\bf F}_{{\bf B}} $ все время изменяет направление скорости ${\bf v}_{\bot } ,$ тогда как ${\bf v}_{\parallel } $ остается постоянной и заставляет двигаться заряженную частицу по винтовой линии вдоль магнитного поля. При ${\bf v}_{\parallel } =0$ заряженная частица будет вращаться по окружности радиуса | Сила ${\vec F}_{B} $ все время изменяет направление скорости $v_{\bot },$ тогда как $v_{\parallel } $ остается постоянной и заставляет двигаться заряженную частицу по винтовой линии вдоль магнитного поля. При $v_{\parallel } =0$ заряженная частица будет вращаться по окружности радиуса |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__27_} | $$ |
| r{\rm \; }={\rm \; }c\frac{m^{*} \cdot v_{\bot } }{q\cdot B} | r=c\frac{m^{*} \cdot v_{\bot } }{q\cdot B} |
| \end{equation} | $$ |
| с угловой скоростью | с угловой скоростью |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__28_} | $$ |
| \omega {\rm \; }={\rm \; }\frac{q\cdot B}{m^{*} c} . | \omega =\frac{q\cdot B}{m^{*} c} . |
| \end{equation} | $$ |
| |
| Если электрическое и магнитное поля параллельны, то заряженная частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом, поскольку электрическое поле меняет скорость ${\bf v}_{\parallel } $ и не влияет на ${\bf v}_{\bot } .$ | Если электрическое и магнитное поля параллельны, то заряженная частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом, поскольку электрическое поле меняет скорость ${\bf v}_{\parallel } $ и не влияет на ${\bf v}_{\bot }.$ |
| |
| Если электрическое и магнитное поля перпендикулярны (скрещенные поля), то при начальной скорости движения заряженной частицы, равной нулю, решение уравнения \eqref{GrindEQ__24_} дает уравнение циклоиды: частица вращается по окружности радиуса ${\rm r}$ \eqref{GrindEQ__27_}, а центр окружности движется равномерно в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полю со скоростью дрейфа | Если электрическое и магнитное поля перпендикулярны (скрещенные поля), то при начальной скорости движения заряженной частицы, равной нулю, решение уравнения движения частицы под действием силы Лоренца дает уравнение циклоиды: частица вращается по окружности радиуса $r$, а центр окружности движется равномерно в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полю со скоростью дрейфа |
| | $$ |
| | {\vec v}_{д}= \frac{c}{B^2}\cdot [\vec E\times \vec B]. |
| | $$ |
| | Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом $\rho _{L} =\frac{v_{\bot }}{\omega _{c} }$. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами. |
| |
| \noindent ${\bf v}_{{\rm }} {\rm \; =}{{\rm \; }c\cdot \left[{\rm E\times B}\right]\mathord{\left/ {\vphantom {{\rm \; }c\cdot \left[{\rm E\times B}\right] B^{2} }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} B^{2} } $ (СГС), ${\bf v}_{{\rm }} {\rm =\; }{\left[{\rm E\times B}\right]\mathord{\left/ {\vphantom {\left[{\rm E\times B}\right] B^{2} }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} B^{2} } $ (СИ). \eqref{GrindEQ__29_} | Рассмотрим поведение частицы //с учётом столкновений// частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта --- $\langle l\rangle $. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau =\frac{\langle l\rangle}{\langle | v | \rangle }$. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если //добавка// к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau $ // много меньше // её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется //слабым//. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_{d}.$ |
| |
| \noindent Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом $\rho _{L} =\frac{v_{\bot } }{\omega _{c} } $ \eqref{GrindEQ__27_}. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами. | В //приближении слабого поля// дрейфовая скорость $v_{d} $ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau $ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_{E} $, так и времени действия этой силы $\tau $. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля ${\vec v}_{d}=u\cdot \vec E$, где коэффициент пропорциональности $u$ называется **подвижностью** носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность $\frac{м^2}{В\cdot с}$, но часто измеряется в несистемных единицах $\frac{см^2}{В\cdot с}$. |
| |
| Рассмотрим поведение частицы \textit{с учётом столкновений} частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта -- $\langle l\rangle $. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau {\rm \; }={\rm \; }\langle l\rangle /\langle \left|v\right|\rangle $. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если \textit{добавка} к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau $ \textit{много} \textit{меньше} её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется \textit{слабым}. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_{d} .$ | Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда |
| | {{ :lab4:46.png?400 |Возникновение ЭДС Холла в проводнике с током в магнитном поле}} |
| | Контакты 1 и 2 будем называть токовыми контактами, контакты 3 и 4 --- потенциальными контактами. В отсутствие магнитного поля, если образец однороден и изотропен, контакты 3 и 4 находятся на эквипотенциальной поверхности и при пропускании тока через образец, падение напряжения между контактами 3 и 4 равно нулю. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитного поля $\vec В$ перпендикулярен вектору $\vec j$. Скорость движения заряженных частиц состоит из хаотической (тепловой) и дрейфовой составляющих. Дрейфовая скорость возникает вследствие действия на заряженную частицу внешних сил (в нашем случае из-за приложенных внешних электрического и магнитного полей $\vec E$ и $\vec B$). В силу линейности зависимости силы Лоренца от скорости имеем: |
| | $$ |
| | \vec F = q\vec E + \frac{q}{c} [{\vec v}_T \times \vec B]+\frac{q}{c} [{\vec v}_d \times \vec B], |
| | $$ |
| | Так как средняя проекция тепловой скорости на любую ось равна нулю, то при усреднении второе слагаемое в последней формуле становится равным нулю, и средняя сила зависит только от дрейфовой скорости. Видно, что магнитная составляющая силы Лоренца отклоняет как положительно, так и отрицательно заряженные частицы в одну и ту же сторону, поскольку изменение знака заряда компенсируется изменением направления дрейфовой скорости на противоположную. |
| |
| В \textit{приближении слабого поля} дрейфовая скорость $v_{d} $ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau $ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_{E} $, так и времени действия этой силы $\tau $. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля ${\bf v}_{{\rm d}} {\rm =}u\cdot {\bf E}$,\textbf{\textit{ }}где коэффициент пропорциональности ${\rm u}$ называется \textbf{\textit{подвижностью}} носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность м${}^{2}$/В·с, но часто измеряется в несистемных единицах см${}^{2}$/В·с. | Предположим, что ток в образце определяется движением заряженных частиц одного типа, например, электронов (иначе придётся учитывать вклад в ток движение заряженных частиц всех типов). В отсутствие магнитного поля ток течёт слева направо. После включения магнитного поля, на электроны начинает действовать магнитная составляющая силы Лоренца, которая отклоняет их в направлении к грани 3. Таким образом, некоторое время после включения магнитного поля происходит движение электронов от грани 4 к грани 3. Электроны, создают на грани 3 отрицательный, а на грани 4 положительный заряды, то есть между этими гранями возникнет дополнительное электрическое поле ${\vec E}_H$. Заряд на гранях 3 и 4 будет расти до тех пор, пока магнитная составляющая силы Лоренца не уравновесится этим дополнительным электрическим полем: |
| | $$ |
| | e\cdot {\vec E}_y +\frac ec [{\vec v}_d \times \vec B] = 0. |
| | $$ |
| | В этой ситуации имеем: |
| | $ |
| | E_{y} =\frac{v_{d}}{c} B. |
| | $ |
| | Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что в формуле стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега $\langle \tau \rangle$ (средним временем релаксации). Поскольку |
| | $$ |
| | j_{x} =-env_{d}, |
| | $$ то |
| | $$ |
| | E_{y} =E_{H} =-\frac{j_{x} B}{en}. |
| | $$ |
| |
| Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда (рис. 6). Контакты \textit{1} и 2 будем называть токовыми контактами, контакты \textit{3} и \textit{4} -- потенциальными контактами. В отсутствие магнитного поля, если образец однороден и изотропен, контакты \textit{3} и \textit{4} находятся на эквипотенциальной поверхности и при пропускании тока через образец, падение напряжения между контактами \textit{3} и \textit{4} равно нулю. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитного поля \textbf{В }перпендикулярен вектору \textbf{j }(см. рис. 6). Скорость движения заряженных частиц состоит из хаотической (тепловой) и дрейфовой составляющих. Дрейфовая скорость возникает вследствие действия на заряженную частицу внешних сил (в нашем случае из-за приложенных внешних электрического и магнитного полей ${\bf E}$ и\textbf{ }${\bf B}$). В силу линейности зависимости силы Лоренца от скорости имеем: | Величина $E_H$ называется **полем Холла**. Таким образом, электрическое поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты $E_x$ и $E_y$, следовательно, полный вектор электрического поля $\vec E = \vec i E_{x} + \vec k E_{y}$ не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда $\vec{В}= 0$) между ними будет угол $\varphi _H$, получивший название **угол Холла**. Для тангенса этого угла можно записать: |
| | $$ |
| | tg (\varphi _{H}) =\frac{E_y}{E_x} |
| | $$ |
| | или |
| | $$ |
| | tg (\varphi _{H}) =-\frac{\sigma B}{en}=-u_{n} B. |
| | $$ |
| |
| \noindent ${\bf F\; }{\rm =\; }q{\bf E\; }{\rm +\; }\frac{q}{c} \left[{\bf v}_{{\rm T}} {\rm \times B}\right]{\rm \; +\; }\frac{q}{c} \left[{\bf v}_{{\rm d}} {\rm \times B}\right]$ (СГС), | На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между гранями 3 и 4 на рисунке), которая называется **ЭДС Холла**: |
| | $$ |
| \noindent ${\bf F\; }{\rm =\; }q{\bf E\; }{\rm +\; }q\left[{\bf v}_{{\rm T}} {\rm \times B}\right]{\rm \; +\; }q\left[{\bf v}_{{\rm d}} {\rm \times B}\right]$ (СИ). \eqref{GrindEQ__30_} | U_{H} =E_{H} \cdot d=-\frac{j_{x} Bd}{en}. |
| | $$ |
| \noindent | |
| | |
| \includegraphics*[width=3.40in, height=2.15in, keepaspectratio=false]{image7} | |
| | |
| \noindent Рис. 6. Возникновение ЭДС Холла в проводнике с током в магнитном поле | |
| | |
| Так как средняя проекция тепловой скорости на любую ось равна нулю, то при усреднении второе слагаемое в формуле \eqref{GrindEQ__30_} становится равным нулю, и средняя сила зависит только от дрейфовой скорости. Видно, что магнитная составляющая силы Лоренца отклоняет как положительно, так и отрицательно заряженные частицы в одну и ту же сторону, поскольку изменение знака заряда компенсируется изменением направления дрейфовой скорости на противоположную (рис. 6). | |
| | |
| Предположим, что ток в образце определяется движением заряженных частиц одного типа, например, электронов (иначе придётся учитывать вклад в ток движение заряженных частиц всех типов). В отсутствие магнитного поля ток течёт слева направо. После включения магнитного поля, на электроны начинает действовать магнитная составляющая силы Лоренца, которая отклоняет их в направлении к грани 3. Таким образом, некоторое время после включения магнитного поля происходит движение электронов от грани 4 к грани 3. Электроны, создают на грани 3 отрицательный, а на грани 4 положительный заряды, то есть между этими гранями возникнет дополнительное электрическое поле ${\rm E}_{{\rm H}} $. Заряд на гранях 3 и 4 будет расти до тех пор, пока магнитная составляющая силы Лоренца не уравновесится этим дополнительным электрическим полем: | |
| | |
| $e\cdot {\bf E}_{{\bf y}} {\rm +\; }e\left[{\bf v}_{{\bf d}} {\rm \times \; B}\right]{\rm \; =\; 0}$ (СИ). \eqref{GrindEQ__31_} | |
| | |
| \noindent В этой ситуации имеем: | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__32_} | |
| E_{y} =v_{d} B. | |
| \end{equation} | |
| Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что в \eqref{GrindEQ__32_} стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега $\mathrm{<}$ $\tau$ $\mathrm{>}$ (средним временем релаксации). Поскольку | |
| | |
| $j_{x} =-env_{d} $, то | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__33_} | |
| E_{y} =E_{H} =-j_{x} B/en. | |
| \end{equation} | |
| | |
| Величина ${\rm E}_{{\rm H}} $${}_{\ }$называется полем Холла. Таким образом, электрическое поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты ${\rm E}_{{\rm x}} $ и ${\rm E}_{{\rm y}} $, следовательно, полный вектор электрического поля ${\bf E\; }{\rm =\; i}E_{x} {\rm +\; k}E_{y} $ не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда \textbf{В }= 0) между ними будет угол \textit{$\varphi$${}_{H}$}, получивший название «угол Холла». Для тангенса этого угла можно записать: | |
| | |
| $tg{\rm \; }\varphi _{H} {\rm \; }={\rm \; }E_{y} /E_{x} {\rm \; \; \; }$или | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__34_} | |
| tg{\rm \; }\varphi _{H} =-\sigma {\rm \; }B/(e{\rm \; }n)=-u_{n} {\rm \; }B{\rm \; } | |
| \end{equation} | |
| | |
| На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между гранями 3 и 4 на рис. 6), которая называется эдс Холла: | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__35_} | |
| U_{H} =E_{H} \cdot d=-j_{x} Bd/(en) | |
| \end{equation} | |
| Если выразить полный ток через плотность тока, | Если выразить полный ток через плотность тока, |
| | $I=j_{x} d\cdot h$, то |
| | $$ |
| | U_{H} =-\frac{IB}{enh}=\frac{R_{H} IB}{h}, |
| | $$ |
| | где $R_{H} =-(en)^{-1}$ --- постоянная Холла. |
| |
| $I=j_{x} d\cdot h$, то $U_{H} =-IB/(enh)=R_{H} IB/h$, \eqref{GrindEQ__36_} | В случае полупроводника р--типа проводимости в уравнении ($E_{y} =E_{H} =-\frac{j_{x} B}{en}$) следует изменить знак носителей заряда с $-е$ на $+е$. Тогда будем иметь: |
| | $$ |
| | E_{H}=\frac{j_{x} B}{ep}=j_{x} R_{H} B, |
| | $$ |
| | $$ |
| | tg (\varphi _{H})=-\frac{\sigma B}{ep}=-u_{p} B, |
| | $$ |
| | $$U_{H} =-\frac{IB}{eph}=\frac{R_{H} IB}{h}, |
| | $$ |
| | где р --- концентрация дырок, $u_p$ --- их подвижность, $R_H = (e p)^{-1}$ --- постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя последние формулы, можно видеть, что по знаку эдс Холла можно определить в эксперименте тип носителей заряда, а по величине $R_H$ --- их концентрацию. Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла, то по ним определяют подвижность носителей: |
| | $$ |
| | u_{n(p)} =\sigma R_{H} . |
| | $$ |
| |
| \noindent где $R_{H} =-1/(en)$ -- постоянная Холла. | Исследование эффекта Холла в полупроводниках осложняется тем, что в них существует несколько типов носителей зарядов. Проводимость, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, называется собственной. Обычно полупроводники обладают примесной проводимостью. В полупроводниках такого типа некоторые атомы основного кристалла заменены атомами другой валентности. Если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, то у атома примеси есть "лишний" электрон, слабо связанный с атомным остовом, который он может легко отдать в зону проводимости. В таком полупроводнике больше электронов, чем дырок, он называется полупроводником n--типа, и обладает электронной проводимостью. При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется проводимость p--типа (дырочная). В полупроводниках могут также присутствовать оба типа носителей заряда. |
| | |
| В случае полупроводника р-типа проводимости в уравнении \eqref{GrindEQ__33_} следует изменить знак носителей заряда с «-е» на «+е». Тогда будем иметь: | |
| \[E_{H} {\rm \; }={\rm \; }j_{x} {\rm \; }B/(e{\rm \; }p){\rm \; }={\rm \; }j_{x} {\rm \; }R_{H} {\rm \; }B, \] | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__37_} | |
| tg{\rm \; }\varphi _{H} {\rm \; }={\rm \; }-\sigma {\rm \; \; }B/(e{\rm \; }p){\rm \; }={\rm \; }-u_{p} {\rm \; }B, | |
| \end{equation} | |
| \[U_{H} =-IB/(eph)=R_{H} IB/h, \] | |
| где \textit{р} -- концентрация дырок, \textit{u${}_{p}$} -- их подвижность, \textit{R${}_{H}$ = 1/ (e p )} -- постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя \eqref{GrindEQ__35_} и \eqref{GrindEQ__37_}, можно видеть, что по знаку эдс Холла можно определить в эксперименте тип носителей заряда, а по величине \textit{R${}_{H}$}${}_{\ \ }$-- их${}_{\ }$ концентрацию. Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла, то по ним определяют подвижность носителей: | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__38_} | |
| {\rm \; }u_{n(p)} {\rm \; }={\rm \; \; }\sigma R_{H} . | |
| \end{equation} | |
| | |
| Исследование эффекта Холла в полупроводниках осложняется тем, что в них существует несколько типов носителей зарядов. Проводимость, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, называется собственной. Обычно полупроводники обладают примесной проводимостью. В полупроводниках такого типа некоторые атомы основного кристалла заменены атомами другой валентности. Если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, то у атома примеси есть «лишний» электрон, слабо связанный с атомным остовом, который он может легко отдать в зону проводимости. В таком полупроводнике больше электронов, чем дырок, он называется полупроводником n-типа, и обладает электронной проводимостью. При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется проводимость p - типа (дырочная). В полупроводниках могут также присутствовать оба типа носителей заряда. | |
| |
| Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях: | Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях: |
| | $$ |
| $m{\rm \; d}{\bf v}_{n} {\rm /}dt{\rm \; =\; }-e{\rm \; E}-e{\rm \; [v}_{n} {\bf B}{\rm ]}$ -- для электронов, | m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B] \mbox{ - для электронов, } \ \ |
| | m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B] \mbox{ - для дырок.} |
| $m{\rm \; d}{\bf v}_{p} {\rm /}dt{\rm \; =\; }-e{\rm \; E}-e{\rm \; [v}_{p} {\bf B}{\rm ]}$ -- для дырок. \eqref{GrindEQ__39_} | $$ |
| | Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac{e \langle \tau \rangle}{m_n}$, получим: |
| Проинтегрировав уравнения \eqref{GrindEQ__39_}, и используя соотношение для подвижности \textit{u${}_{n}$ =e $<$ $\tau$ $>$/m${}_{n}$} , получим: | $$ |
| \[{\bf v}_{n} {\rm \; =\; }-u_{n} {\bf E\; }-u_{n}^{2} {\rm \; [E\; B]}, \] | \vec v_{n(p)} =-u_{n(p)} \vec E-\frac{u_{n(p)}^2}{c} [\vec E \times \vec B], |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__40_} | $$ |
| {\bf v}_{p} {\rm \; =\; }-u_{p} {\bf E\; }-u_{p}^{2} {\rm \; [E\; B]}. | Помножив первое уравнение на $en$, а второе на $ep$, получим уравнения для электронного и дырочного токов: |
| \end{equation} | $$ |
| | \vec j_{n(p)} =-en(p)u_{n(p)} \vec E-en(p)\frac{u_{n(p)}^2}{c} [\vec E \times \vec B]. |
| | $$ |
| | |
| \noindent Помножив первое уравнение на «en», а второе на «ep», получим уравнения для электронного и дырочного токов: | |
| \[{\bf j}_{n} {\rm \; =\; }-enu_{n} {\bf E}{\rm \; }-enu_{n}^{2} {\rm \; [E\; B]}, \] | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__41_} | |
| {\bf j}_{p} {\rm \; =\; }-epu_{p} {\bf E}-epu_{p}^{2} {\rm \; [E\; B]}. | |
| \end{equation} | |
| Таким образом, полный ток: | Таким образом, полный ток: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__42_} | $$ |
| {\bf j}{\rm \; =\; }e(nu_{n} +pu_{p} ){\bf \; E}{\rm \; +}e(pu_{p}^{2} +nu_{n}^{2} ){\rm [E\; B]} | \vec j =e(nu_n + pu_p) \vec E+e\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} [\vec E \times \vec B] |
| \end{equation} | $$ |
| или в скалярной форме: | или в скалярной форме: |
| \[j_{x} {\rm \; }={\rm \; }e(nu_{n} +pu_{p} )E_{x} {\rm \; }+e(pu_{p}^{2} +nu_{n}^{2} )E_{y} B_{z} =j,\] | $$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__43_} | j_x =e(nu_n + pu_p) E_x+e\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} E_y B_z=j, |
| j_{y} {\rm \; }={\rm \; }e(nu_{n} +pu_{p} )E_{y} {\rm \; }+e(pu_{p}^{2} +nu_{n}^{2} )E_{x} B_{z} =0. | $$ |
| \end{equation} | $$ |
| Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом уравнении системы \eqref{GrindEQ__43_} много меньше первого. С учетом этого, решив систему \eqref{GrindEQ__43_} относительно E${}_{y}$ , получим | j_y =e(nu_n + pu_p) E_y+e\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} E_x B_z=0. |
| \[E_{H} {\rm \; }={\rm \; \; \; }R_{H} jB,\] | $$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__44_} | Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом уравнении системы много меньше первого. С учетом этого, решив систему относительно $E_y$ , получим |
| R_{H} {\rm \; }={\rm \; }(1/e)(pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} )/(nu_{n} +pu_{p} )^{2} . | $$ |
| \end{equation} | E_{H}=R_{H} jB, |
| Из \eqref{GrindEQ__44_} видно, что при \textit{n$>$$>$p R${}_{H}$ = 1/ (en)}, а при \textit{p$>$$>$n R${}_{H}$ = 1/ (ep)}. В случае собственного полупроводника, где \textit{n = p = n${}_{i}$} , | $$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__45_} | $$ |
| R_{H} {\rm \; }={\rm \; }(1/en_{i} ){\rm \; }(u_{p} -u_{n} )/(u_{n} +u_{p} )=(1/en_{i} )\cdot (1-b)/(1+b), | R_{H} =\frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2}}{e(nu_{n} +pu_{p})^2}. |
| \end{equation} | $$ |
| где \textit{b = u${}_{n}$/u${}_{p}$}. Согласно \eqref{GrindEQ__45_} \textit{R${}_{H}$${}_{\ }$${}_{\ }$}$\mathrm{<}$ 0 при \textit{b} $\mathrm{>}$ 1 (т. е. \textit{u${}_{n}$ $>$ u${}_{p}$}) и \textit{R${}_{H}$${}_{\ }$}${}_{\ }$$\mathrm{>}$ 0 при \textit{b} $\mathrm{<}$ 1 (т. е. \textit{u${}_{n}$ $<$ u${}_{p}$}). | Из этого выражения видно, что при $n \gg p$: $R_H = (en)^{-1}$, а при $p\gg n$: $R_H = (ep)^{-1}$. В случае собственного полупроводника, где $n = p = n_i$, |
| | $$ |
| | R_{H}=\frac{u_{p} -u_{n}}{en_{i}(u_{n} +u_{p} )}=\frac{1-b}{en_{i}(1+b)}, |
| | $$ |
| | где $b = \frac{u_n}{u_p}$. Согласно последней формуле $R_H<0$ при $b>1$ (т.е. $u_n>u_p$) и $R_H>0$ при $b<1$ (т.е. $u_n<u_p$). |
| |
| Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами -- мы считали вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического уравнения Больцмана. Следствием рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление множителя \textit{r} | Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами --- мы считали вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического уравнения Больцмана. Следствием рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление множителя $r$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__46_} | $$ |
| r{\rm \; }={\rm \; }<\tau ^{2} >/<\tau >^{2} | r=\frac{\langle \tau ^{2} \rangle}{{\langle \tau \rangle}^{2}} |
| \end{equation} | $$ |
| в выражении для постоянной Холла: | в выражении для постоянной Холла: |
| |
| \noindent $R_{H} =-\, r/(en)$ -- для электронов, $R_{H} =-r/(ep)$ -- для дырок, | $$ |
| | R_{H} =-r(en)^{-1} \mbox{ - для электронов, } R_{H} =-r(ep)^{-1} \mbox{ - для дырок,} |
| | $$ |
| | $$ |
| | R_{H}=\frac re \frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} }{(nu_{n} +pu_{p})^{2}} \mbox{ - для биполярной проводимости.} |
| | $$ |
| |
| \noindent $R_{H} {\rm \; }={\rm \; }(r/e)(pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} )/(nu_{n} +pu_{p} )^{2} $-- для биполярной проводимости. | Здесь $\langle \tau \rangle$ --- среднее время релаксации, $\langle \tau ^{2} \rangle$ --- средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители $(en)^{-1}$ или $(ep)^{-1}$, верны с точностью до множителя $r$; в частности, для подвижности: |
| | $$ |
| \noindent Здесь $\mathrm{<}$\textit{$\tau$} $\mathrm{>}$ -- среднее время релаксации, $\mathrm{<}$\textit{$\tau$${}^{2} $}$\mathrm{>}$ -- средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители 1/\textit{(en)} или 1/(\textit{ep}), верны с точностью до множителя r; в частности, для подвижности: | u_{n}^{H} =\frac{r\sigma}{en}=ru_{n}; \ \ \ \ |
| \[{\rm \; }u_{n}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{n} {\rm ,}{\rm \; }\] | u_{p}^{H} = \frac{r\sigma}{ep}=ru_{p} . |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__47_} | $$ |
| {\rm \; }u_{p}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{p} . | |
| \end{equation} | |
| Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла. | Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла. |
| |
| Поскольку \textit{r} определяется временем релаксации \textit{$\tau$}, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки \textit{r }= 3$\pi$/8=1,18, а при рассеянии на примесных ионах \textit{r }= 1,93. При низких температурах (для Ge T $\mathrm{<}$ 250 K, для Si T~$\mathrm{<}$~100~K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si -- в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки. | Поскольку $r$ определяется временем релаксации $\tau$, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки $r= \frac 38 \pi \approx 1,18,$ а при рассеянии на примесных ионах $r = 1,93.$ При низких температурах (для Ge $T < 250$ K, для Si $T < 100$ K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si --- в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки. |
| | |
| Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку \textit{$\tau$ = $<$$\lambda$$>$/$<$v$>$}, то соотношение между длиной свободного пробега $\mathrm{<}$\textit{$\lambda$}$\mathrm{>}$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее: | |
| | |
| $\tau <<T=2\pi /\omega _{c} $ -- для слабого поля, | |
| | |
| $\tau >>T=2\pi /\omega _{c} $ -- для сильного поля, \eqref{GrindEQ__48_} | |
| | |
| \noindent где \textit{T }-- период вращения частицы, \textit{$\omega$${}_{c}$} -- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией \textbf{В}). Поскольку $\omega \; \, =\, \; \frac{q\cdot B}{m^{*} } $, подставив \textit{$\omega$${}_{c}$} в \eqref{GrindEQ__48_}, получим: | |
| |
| \noindent $\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi <<1$-- для слабого поля, | Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку $\tau = \frac{\langle \lambda \rangle}{\langle v\rangle}$, то соотношение между длиной свободного пробега $\langle \lambda \rangle$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее: |
| |
| $\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi >>1$-- для сильного поля. \eqref{GrindEQ__49_} | $$ |
| | \tau \ll T=\frac{2\pi}{\omega _{c}} \mbox{ - для слабого поля,} |
| | $$ |
| | $$ |
| | \tau \gg T=\frac{2\pi}{\omega _{c}}$ \mbox{ - для сильного поля,} |
| | $$ |
| | где $T$ --- период вращения частицы, $\omega _{c}$ --- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией $\vec В$). Поскольку $\omega = \frac{q\cdot B}{m^{*}}$, то подставив $\omega _{c}$ в выражение выше, получим: |
| | $$ |
| | \frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} = \frac{uB}{2\pi} \ll 1 \mbox{ - для слабого поля, }$$ |
| | $$ |
| | \frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} =\frac{uB}{2\pi} \gg 1 \mbox{ - для сильного поля. }$$ |
| |
| Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле. | Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле. |
| |
| | Назад к [[:lab4:подвижность|Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда в полупроводниках]], далее [[:lab4:приложение_41|Приложение 1. Эффект Холла в сильном магнитном поле (для дополнительного чтения)]] |