Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab4:движение_носителей [2019/04/04 22:32]
root_s
+++ lab4:движение_носителей [2019/09/13 12:40] (текущий)
root_s
@@ Строка 70: / Строка 70: @@
 Величина $E_H$ называется **полем Холла**. Таким образом, электрическое поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты $E_x$ и $E_y$, следовательно, полный вектор электрического поля $\vec E = \vec i E_{x} + \vec k E_{y}$ не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда $\vec{В}= 0$) между ними будет угол $\varphi _H$, получивший название **угол Холла**. Для тангенса этого угла можно записать:
 $$
-tg (\varphi _{H}) =\frac{E_{y}{E_{x}}
+tg (\varphi _{H}) =\frac{E_y}{E_x}
 $$
 или
 $$
-tg(\varphi _{H}) =-\frac{\sigma B}{en}=-u_{n} B.
+tg (\varphi _{H}) =-\frac{\sigma B}{en}=-u_{n} B.
 $$
@@ Строка 105: / Строка 105: @@
 Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях:
+$$
-$m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B]$ --- для электронов,
+m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B] \mbox{ - для электронов, } \ \
+m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B] \mbox{ - для дырок.}
-$m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B]$ --- для дырок.
+$$
 Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac{e \langle \tau \rangle}{m_n}$, получим:
 $$
@@ Строка 148: / Строка 147: @@
 в выражении для постоянной Холла:
-$
+$$
-R_{H} =-r(en)^{-1}$ --- для электронов,   $R_{H} =-r(ep)^{-1}$ --- для дырок,
+R_{H} =-r(en)^{-1} \mbox{ - для электронов, }   R_{H} =-r(ep)^{-1} \mbox{ - для дырок,}
+$$
-$R_{H}=\frac re \frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} }{{nu_{n} +pu_{p} }^{2}}$ --- для биполярной проводимости.
+$$
+R_{H}=\frac re \frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} }{(nu_{n} +pu_{p})^{2}} \mbox{ - для биполярной проводимости.}
+$$
 Здесь $\langle \tau \rangle$ --- среднее время релаксации, $\langle \tau ^{2} \rangle$ --- средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители $(en)^{-1}$ или  $(ep)^{-1}$, верны с точностью до множителя $r$; в частности, для подвижности:
-\[{\rm \; }u_{n}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{n} {\rm ,}{\rm \; }\]
+$$
-\begin{equation} \label{GrindEQ__47_}
+u_{n}^{H} =\frac{r\sigma}{en}=ru_{n}; \ \ \ \
-{\rm \; }u_{p}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{p} .
+u_{p}^{H} = \frac{r\sigma}{ep}=ru_{p} .
-\end{equation}
+$$
 Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла.
-Поскольку \textit{r} определяется временем релаксации \textit{$\tau$}, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки \textit{r }= 3$\pi$/8=1,18, а при рассеянии на примесных ионах \textit{r }= 1,93. При низких температурах (для Ge T $\mathrm{<}$ 250 K, для Si T~$\mathrm{<}$~100~K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si -- в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.
+Поскольку $r$ определяется временем релаксации $\tau$, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки $r= \frac 38 \pi \approx 1,18,$ а при рассеянии на примесных ионах $r = 1,93.$ При низких температурах (для Ge $T < 250$ K, для Si $T < 100$ K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si --- в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.
-Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку \textit{$\tau$ = $<$$\lambda$$>$/$<$v$>$}, то соотношение между длиной свободного пробега $\mathrm{<}$\textit{$\lambda$}$\mathrm{>}$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:
+Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку $\tau = \frac{\langle \lambda \rangle}{\langle v\rangle}$, то соотношение между длиной свободного пробега $\langle \lambda \rangle$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:
-$\tau <<T=2\pi /\omega _{c} $ -- для слабого поля,
+$$
+\tau \ll T=\frac{2\pi}{\omega _{c}} \mbox{ - для слабого поля,}
-$\tau >>T=2\pi /\omega _{c} $ -- для сильного поля,    \eqref{GrindEQ__48_}
+$$
+$$
-\noindent где \textit{T }-- период вращения частицы,  \textit{$\omega$${}_{c}$} -- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией \textbf{В}). Поскольку $\omega \; \, =\, \; \frac{q\cdot B}{m^{*} } $, подставив \textit{$\omega$${}_{c}$} в \eqref{GrindEQ__48_}, получим:
+\tau \gg T=\frac{2\pi}{\omega _{c}}$ \mbox{ - для сильного поля,}
+$$
-\noindent $\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi <<1$-- для слабого поля,
+где $T$ --- период вращения частицы,  $\omega _{c}$ --- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией $\vec В$). Поскольку $\omega = \frac{q\cdot B}{m^{*}}$, то подставив $\omega _{c}$ в выражение выше, получим:
+$$
-$\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi >>1$-- для сильного поля.   \eqref{GrindEQ__49_}
+\frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} = \frac{uB}{2\pi} \ll 1 \mbox{ - для слабого поля, }$$
+$$
+\frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} =\frac{uB}{2\pi} \gg 1 \mbox{ - для сильного поля. }$$
 Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле.
+Назад к [[:lab4:подвижность|Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда  в полупроводниках]], далее  [[:lab4:приложение_41|Приложение 1. Эффект Холла в сильном магнитном поле (для дополнительного чтения)]]