|
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab4:проводимость [2019/04/04 19:55]
root_s создано |
lab4:проводимость [2019/09/13 12:38] (текущий)
root_s |
| ===== Примесная и собственная проводимость полупроводников ===== | ===== Примесная и собственная проводимость полупроводников ===== |
| |
| Проводимость чистых полупроводников, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, возникающих за счет нарушения валентных связей, называется собственной. При комнатной температуре в чистых полупроводниках ионизуется очень небольшое число атомов, так как энергия возбуждения (энергия перехода из валентной зоны в зону проводимости) намного превосходит среднюю энергию частиц, равную $\frac{3}{2} {\kern 1pt} \, kT$ (при $T=300K,$ $\frac{3}{2} \, \, kT$составляет всего 0,04 эВ). Но кинетическая энергия частиц (электроны, атомы в твердом теле) только в среднем равна $\frac{3}{2} \; kT.$ Мгновенные же скорости распределяются по закону Максвелла; всегда имеется некоторое число частиц, скорости которых намного больше и значительно меньше средних; вероятность того, что электрон имеет энергию $E_{g} $, пропорциональна $e^{-E_{g} /kT} $. Отсюда следует, что число свободных электронов в таком полупроводнике гораздо меньше свободных электронов в металле и это число сильно зависит от температуры. Поэтому проводимость полупроводника сильно зависит от примесей, т. е. введение небольшого числа примесных, легко ионизуемых атомов в полупроводник резко меняет число свободных носителей. В полупроводниках с примесной проводимостью некоторые атомы основного кристалла заменены атомами с другой валентностью. При этом, если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристал~~\includegraphics*[width=2.44in, height=1.53in, keepaspectratio=false]{image6}ла, полупроводник обладает так называемой \textit{n}-проводимостью (электронной). При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется \textit{p}-проводимость (дырочная). При наличии дырок электрон одного из соседних атомов может занять вакантное место, где будет восстановлена обычная связь, но зато на его прежнем месте появится дырка. При наличии поля $E$ в образце такой процесс будет повторяться многократно, образуя дырочную проводимость. | Проводимость чистых полупроводников, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, возникающих за счет нарушения валентных связей, называется собственной. При комнатной температуре в чистых полупроводниках ионизуется очень небольшое число атомов, так как энергия возбуждения (энергия перехода из валентной зоны в зону проводимости) намного превосходит среднюю энергию частиц, равную $\frac{3}{2}kT$ (при $T=300$ K, $E=\frac{3}{2}kT$ составляет всего $0,04$ эВ). Но кинетическая энергия частиц (электроны, атомы в твердом теле) только в среднем равна $\frac{3}{2} \; kT.$ Мгновенные же скорости распределяются по закону Максвелла; всегда имеется некоторое число частиц, скорости которых намного больше и значительно меньше средних; вероятность того, что электрон имеет энергию $E_{g}$, пропорциональна $e^{-\frac{E_{g}}{kT}}$. Отсюда следует, что число свободных электронов в таком полупроводнике гораздо меньше свободных электронов в металле и это число сильно зависит от температуры. Поэтому проводимость полупроводника сильно зависит от примесей, т. е. введение небольшого числа примесных, легко ионизуемых атомов в полупроводник резко меняет число свободных носителей. |
| |
| Рассмотрим теперь, как зависит концентрация свободных носителей примесного полупроводника от температуры. На рис.~5 приведена зависимость натурального логарифма равновесной концентрации свободных электронов в полупроводнике от обратной температуры. При низких температурах концентрация электронов в полупроводнике определяется концентрацией примесных центров. С~ростом температуры примесная концентрация растет, а следовательно, возрастает и проводимость. При некоторой температуре концентрация электронов перестает зависеть от температуры. Это область примесного истощения. Все атомы примеси уже ионизованы, а собственная концентрация все еще гораздо меньше чем примесная. И, наконец, в области еще более высоких температур начинается резкий рост концентрации с дальнейшим повышением температуры. Это область собственной проводимости, где концентрация свободных носителей определяется зависимостью $e^{-E_{g} /kT} .$ Так как величина проводимости прямо пропорциональна концентрации носителей, то $\sigma \propto e^{-E_{g} /kT} .$ Отсюда видно, что из температурной зависимости проводимости можно извлечь важную характеристику полупроводника -- ширину запрещенной зоны. | В полупроводниках с примесной проводимостью некоторые атомы основного кристалла заменены атомами с другой валентностью. При этом, если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, полупроводник обладает так называемой **n**--проводимостью (электронной). При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется **p**--проводимость (дырочная). При наличии дырок электрон одного из соседних атомов может занять вакантное место, где будет восстановлена обычная связь, но зато на его прежнем месте появится дырка. При наличии поля $E$ в образце такой процесс будет повторяться многократно, образуя дырочную проводимость. |
| |
| Рассмотрим теперь количественно температурную зависимость проводимости. В общем случае проводимость полупроводника равна сумме собственной $(\sigma _{i} )$ и примесной $(\sigma _{np} )$ электропроводностей: | Рассмотрим теперь, как зависит концентрация свободных носителей примесного полупроводника от температуры. На рисунке |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__1_} | {{ :lab4:45.png?400 |Зависимость логарифма концентрации электронов от обратной температуры}} |
| | приведена зависимость натурального логарифма равновесной концентрации свободных электронов в полупроводнике от обратной температуры. При низких температурах концентрация электронов в полупроводнике определяется концентрацией примесных центров. С ростом температуры примесная концентрация растет, а следовательно, возрастает и проводимость. При некоторой температуре концентрация электронов перестает зависеть от температуры. Это область примесного истощения. Все атомы примеси уже ионизованы, а собственная концентрация все еще гораздо меньше чем примесная. И, наконец, в области еще более высоких температур начинается резкий рост концентрации с дальнейшим повышением температуры. Это область собственной проводимости, где концентрация свободных носителей определяется зависимостью $e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Так как величина проводимости прямо пропорциональна концентрации носителей, то $\sigma \sim e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Отсюда видно, что из температурной зависимости проводимости можно извлечь важную характеристику полупроводника --- ширину запрещенной зоны. |
| | |
| | Рассмотрим теперь количественно температурную зависимость проводимости. В общем случае проводимость полупроводника равна сумме собственной $(\sigma _{i} )$ и примесной $(\sigma _{np})$ электропроводностей: |
| | $$ |
| \sigma =\sigma _{i} +\sigma _{np} . | \sigma =\sigma _{i} +\sigma _{np} . |
| \end{equation} | $$ |
| При низкой концентрации примеси и высоких температурах. $\sigma _{i} >\sigma _{np} .$ Именно этот случай будет интересовать нас в данной работе. Тогда электропроводность собственного полупроводника (беспримесного) можно выразить формулой | При низкой концентрации примеси и высоких температурах. $\sigma _{i} >\sigma _{np}.$ Именно этот случай будет интересовать нас в данной работе. Тогда электропроводность собственного полупроводника (беспримесного) можно выразить формулой |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__2_} | $$ |
| \sigma _{i} =n_{i} eu_{n} +p_{i} eu_{p} , | (*) \ \ \ \ \sigma _{i} =n_{i} eu_{n} +p_{i} eu_{p} , |
| \end{equation} | $$ |
| где \textit{e} -- заряд электрона, $n_{i} ,{\kern 1pt} \, p_{i} ,\, \, u_{n} ,\, \, u_{p} $ -- собственные концентрации и подвижности электронов и дырок соответственно. Индекс \textit{i} обозначает, что данное значение концентрации носителей получено для собственного (intrinsic) полупроводника, в котором $n_{i} =p_{i} $. | где $e$ --- заряд электрона, $n_{i}, p_{i}, u_{n}, u_{p}$ --- собственные концентрации и подвижности электронов и дырок соответственно. Индекс $i$ обозначает, что данное значение концентрации носителей получено для собственного (intrinsic) полупроводника, в котором $n_{i} =p_{i}$. |
| |
| Входящие в формулу \eqref{GrindEQ__2_} концентрация и подвижность являются функциями от температуры. Как было рассмотрено ранее, качественно температурная зависимость концентрации определяется зависимостью $n\sim e^{-E_{g} /kT} .$ Для чистых (собственных) полупроводников количественная зависимость концентрации носителей от температуры определяется выражением (см. приложение) | Входящие в формулу (*) концентрация и подвижность являются функциями от температуры. Как было рассмотрено ранее, качественно температурная зависимость концентрации определяется зависимостью $n\sim e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Для чистых (собственных) полупроводников количественная зависимость концентрации носителей от температуры определяется выражением (см. приложение) |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__3_} | $$ |
| n_{i} =p_{i} =A(T)\cdot e^{-\frac{E_{g} }{2kT} } , | n_{i} =p_{i} =A(T)\cdot e^{-\frac{E_{g}}{2kT}} , |
| \end{equation} | $$ |
| где температурная зависимость предэкспоненциального множителя имеет вид | где температурная зависимость предэкспоненциального множителя имеет вид |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__4_} | $$ |
| A(T)=\frac{2(2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{{3\mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} } }{h^{3} } . | A(T)=\frac{2 (2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{\frac 32}}{h^{3}}. |
| \end{equation} | $$ |
| |
| Рассмотрим теперь температурную зависимость подвижности свободных носителей. По определению, подвижность равна отношению дрейфовой скорости $\vartheta $ к напряженности электрического поля $E$: | Рассмотрим теперь температурную зависимость подвижности свободных носителей. По определению, подвижность равна отношению дрейфовой скорости $\vartheta $ к напряженности электрического поля $E$: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__5_} | $$ |
| u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} . | u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E}. |
| \end{equation} | $$ |
| Иными словами, подвижность -- это скорость дрейфа электронов (дырок) в поле напряженностью 1~В/см. Средняя скорость направленного движения ${\mathop{\vartheta }\limits^{\_ }} $ (\textit{дрейфовая скорость}) равняется произведению ускорения на среднее время между столкновениями $\tau $ (\textit{время свободного пробега, время релаксации}): | Иными словами, подвижность --- это скорость дрейфа электронов (дырок) в поле напряженностью $1 \frac{В}{см}.$ Средняя скорость направленного движения ${\overline{\vartheta }}$ (**дрейфовая скорость**) равняется произведению ускорения на среднее время между столкновениями $\tau $ (**время свободного пробега, время релаксации**): |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__6_} | $$ |
| {\mathop{\vartheta }\limits^{\_ }} =\frac{e\tau }{m} E. | {\overline{\vartheta }}= \frac{e\tau }{m} E. |
| \end{equation} | $$ |
| Тогда для подвижности электронов и дырок получаем | Тогда для подвижности электронов и дырок получаем |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__7_} | $$ |
| u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} =\frac{e\tau _{n,p} }{m_{n,p}^{*} } , | u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} =\frac{e\tau _{n,p} }{m_{n,p}^{*} } , |
| \end{equation} | $$ |
| где $\tau _{n,p} $ -- время свободного пробега электрона (дырки). Время свободного пробега $\tau _{n,p} $ равно отношению длины свободного пробега $\lambda _{n,p} $ к скорости теплового движения частицы $\vartheta _{T\, n,p} :$ | где $\tau _{n,p} $ --- время свободного пробега электрона (дырки). Время свободного пробега $\tau _{n,p} $ равно отношению длины свободного пробега $\lambda _{n,p} $ к скорости теплового движения частицы $\vartheta _{T\, n,p} :$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__8_} | $$ |
| \tau _{n,p} =\frac{\lambda _{n,p} }{\vartheta _{T\, n,p} \, } . | \tau _{n,p} =\frac{\lambda _{n,p} }{\vartheta _{T\, n,p}} . |
| \end{equation} | $$ |
| |
| Подвижность носителей в собственном полупроводнике в области используемых температур определяется рассеянием носителей заряда на колебаниях решетки. В этом случае длина свободного пробега электрона (дырки) обратно пропорциональна температуре (чем ниже температура, тем меньше амплитуда колебаний атомов и тем больше длина свободного пробега): | Подвижность носителей в собственном полупроводнике в области используемых температур определяется рассеянием носителей заряда на колебаниях решетки. В этом случае длина свободного пробега электрона (дырки) обратно пропорциональна температуре (чем ниже температура, тем меньше амплитуда колебаний атомов и тем больше длина свободного пробега): |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__9_} | $$ |
| \lambda _{n,p} =\frac{Const_{n,p} }{T} ; | \lambda _{n,p} =\frac{Const_{n,p} }{T} ; |
| \end{equation} | $$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__10_} | $$ |
| \vartheta _{T\, n,p} =\sqrt{\frac{3kT}{m_{n,p}^{*} } } . | \vartheta _{T\, n,p} =\sqrt{\frac{3kT}{m_{n,p}^{*} } } . |
| \end{equation} | $$ |
| Из формул \eqref{GrindEQ__8_}, \eqref{GrindEQ__9_}, \eqref{GrindEQ__10_} получаем выражение для подвижности электронов и дырок: | Из последних трёх формул получаем выражение для подвижности электронов и дырок: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__11_} | $$ |
| u_{n,p} =\frac{e\cdot Const_{n,p} }{\sqrt{3km_{n,p}^{*} } } T^{{-3\mathord{\left/ {\vphantom {-3 }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} } 2} . | u_{n,p} =\frac{e\cdot Const_{n,p} }{\sqrt{3km_{n,p}^{*} } } T^{-\frac{3}{2}}. |
| \end{equation} | $$ |
| Подставляя выражения для концентраций \eqref{GrindEQ__3_}, \eqref{GrindEQ__4_} и подвижностей \eqref{GrindEQ__11_} в формулу \eqref{GrindEQ__2_}, получаем выражение для температурной зависимости электропроводности собственного (беспримесного) полупроводника: | Подставляя выражения для концентраций и подвижностей в формулу (*), получаем выражение для температурной зависимости электропроводности собственного (беспримесного) полупроводника: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__12_} | $$ |
| \sigma _{i} =\sigma _{0} e^{-Eg/2kT} , | \sigma _{i} =\sigma _{0} e^{-\frac{E_g}{2kT}} , |
| \end{equation} | $$ |
| где предэкспоненциальный множитель $\sigma _{0} $ не зависит от температуры и определяется свойствами полупроводника. | где предэкспоненциальный множитель $\sigma _{0} $ не зависит от температуры и определяется свойствами полупроводника. |
| |
| | Назад к [[:lab4:элементы_зонной_теории|Элементы зонной теории твердого тела]], далее [[:lab4:подвижность|Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда в полупроводниках]] |