Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab5:резонанс [2019/04/11 21:28]
root_s [Колебательный контур, свободные колебания]
+++ lab5:резонанс [2019/04/11 22:16] (текущий)
root_s [Вынужденные колебания в параллельном контуре, резонанс токов]
@@ Строка 75: / Строка 75: @@
 {{ :lab5:020.png?300 |}}
-Введем понятия добротности $Q$ и логарифмического декремента затухания $\gammaup$ контура. Из отношение амплитуд $n$--того и $(n + k)$--го колебаний равно ${I_{n}  I_{+k}^{-1} =e^{k\delta \, T} $, где $T=2\, \pi  \omega ^{-1} $ --- период колебания («повторения нулей»). Логарифмическим декрементом затухания $\gamma $ называется величина
+Введем понятия добротности $Q$ и логарифмического декремента затухания $\gamma $ контура. Из отношение амплитуд $n$--того и $(n + k)$--го колебаний равно
+$I_{n} I_{n+k}^{-1} = e^{k\delta T}$, где $T=2\, \pi  \omega ^{-1} $ --- период колебания («повторения нулей»). Логарифмическим декрементом затухания $\gamma $ называется величина
 $$
 \gamma =\delta \, T=\frac{1}{k} \ln \frac{I_{n} }{I_{n+k} } =\ln \frac{I_{n} }{I_{n+1} } .
@@ Строка 89: / Строка 90: @@
 Q=\frac{\omega _{0} L}{R} =\frac{1}{\omega _{0} CR} =\frac{\rho }{R},
 $$
-где $\rho =\sqrt{\frac LC}} $  (СИ).
+где $\rho =\sqrt{\frac LC} $  (СИ).
 Физический смысл добротности заключается в отношении запасенной в контуре энергии к энергии потерь за период колебания
 $$
@@ Строка 110: / Строка 111: @@
 $$
 График этой функции приведен на рис. 21.
-{{ :lab5:021.png?400 |}}
+{{ :lab5:021.png?300 |}}
 Критическим условием, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс, является условие $\delta =\omega _{0} $. В этом случае решение общего уравнения имеет вид
 $$
@@ Строка 122: / Строка 123: @@
 В случае вынужденных колебаний мы должны подводить к контуру электрическую энергию от внешнего источника (генератора). Есть много способов для подключения источника внешней энергии к контуру, которые сводятся к той или иной комбинации двух основных: в разрыв цепи контура (рис. 22, а) или параллельно емкостной и индуктивной ветвям контура (рис. 22,б).
-{{ :lab5:022.png?400 |}}
+{{ :lab5:022.png?500 |}}
 В зависимости от способа включения различают соответственно последовательный (рис. 22,а) и параллельный (рис. 22,б) колебательные контуры. Они предъявляют разные требования к согласованию с генератором и нагрузкой. Поэтому нужно отличать собственные параметры контура от параметров нагруженного контура, получаемые с учетом влияния генератора и «нагрузки» (входного сопротивления той цепи, в которую включен контур). В параллельном контуре (рис. 22,б) возникает резонанс токов. Для его поддержания в качестве вынуждающей силы необходимо применение генератора стабильного тока. В последовательном контуре (рис. 22,а) имеет место резонанс напряжений, и для его поддержания должен применяться внешний генератор стабильного напряжения.
@@ Строка 134: / Строка 135: @@
 Контур представляет для генератора некоторое комплексное сопротивление
 $$
-\begin{array}{c} {Z=R_{L} +i\cdot (\omega L-\frac{1}{\omega C} ),}
+Z=R_L +i\cdot (\omega L-\frac{1}{\omega C} ),
 $$
 $$
-{\left|Z\right|=\sqrt{R_{L}^{2} +(\omega L-\frac{1}{\omega C} )^{2} } ,{\rm \; \; \; \; tg}\varphi =\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C} }{R_{L} } ,} \end{array}{\rm \; \; \; \; \; }
+\left|Z\right| = \sqrt{R_L^2 +(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}, \ \ \ \ \mbox{tg}\varphi =\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C} }{R_L}
 $$
-где $\left|Z\right|$ --- модуль комплексного сопротивления; $R_{L} $-- омическое сопротивление катушки индуктивности; $\varphi $ -- сдвиг фазы между активным и реактивным сопротивлениями, равный сдвигу фазы между током $I$ в цепи и входным напряжением $U$; $i$ -- мнимая единица.
+где $\left|Z\right|$ --- модуль комплексного сопротивления; $R_{L}$ --- омическое сопротивление катушки индуктивности; $\varphi $ --- сдвиг фазы между активным и реактивным сопротивлениями, равный сдвигу фазы между током $I$ в цепи и входным напряжением $U$.
-Из \eqref{GrindEQ__19_} видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_{L} $ на некоторой частоте $\omega _{0} $, определяемой условием
- $\omega _{0} L=\frac{1}{\omega _{0} C} ,{\rm \; \; \; 345\; \; }\omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} } $  (СИ).
+Из последнего выражения видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_{L} $ на некоторой частоте $\omega _{0} $, определяемой условием
+$$
+\omega _0 L=\frac{1}{\omega _0 C} , \  \  \ \mbox{ где } \ \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC}}  \ \ \ \mbox{ (СИ).}
+$$
 Таким образом, на резонансной частоте сопротивление контура минимально, чисто активно, а ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (напряжением генератора). Фактически это и есть определение резонанса в последовательном колебательном контуре.
 Для практических целей представляет интерес исследовать поведение напряжений на реактивных элементах контура в зависимости от частоты генератора  и определить его добротность $Q$.
-Поскольку фазы $U_{L} $ и $U_{C} $ независимо от частоты всегда сдвинуты относительно тока $I$ на + и -- 90$\mathrm{{}^\circ}$ соответственно, то достаточно исследовать зависимость от частоты их модулей. Это можно сделать исходя из уравнений
+Поскольку фазы $U_{L} $ и $U_{C} $ независимо от частоты всегда сдвинуты относительно тока $I$ на $+$ и $-90^{\circ}$ соответственно, то достаточно исследовать зависимость от частоты их модулей. Это можно сделать исходя из уравнений
-\[U_{R} =IR,{\rm \; \; \; }U_{L} =I\omega L,{\rm \; \; \; }U_{C} =\frac{I}{\omega C} ,{\rm \; \; \; }I=\frac{U}{Z} . \]
+$$
+U_{R} =IR, \ \ U_{L} =I\omega L, \ \ U_{C} =\frac{I}{\omega C}, \ \ I=\frac{U}{Z} .
+$$
-Для примера раскроем уравнения для $I$ и $U_{L} $. Используя введенное для свободных колебаний понятие добротности $Q={1 \mathord{\left/{\vphantom{1 \left(\omega _{0} RC\right)}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \left(\omega _{0} RC\right)} $ \eqref{GrindEQ__16_}, получим следующее выражение для тока в последовательном контуре:
+Для примера раскроем уравнения для $I$ и $U_{L} $. Используя введенное для свободных колебаний понятие добротности $Q=\left(\omega _{0} RC\right)^{-1}$, получим следующее выражение для тока в последовательном контуре:
-\[I=\frac{U}{\sqrt{R^{2} +(\omega L-\frac{1}{\omega C} )^{2} } } =\frac{U}{R} \frac{1}{\sqrt{1+Q^{2} (\frac{\omega }{\omega _{0} } -\frac{\omega _{0} }{\omega } )^{2} } } . \]
+$$
+I=\frac{U}{\sqrt{R^{2} +(\omega L-\frac{1}{\omega C} )^{2} } } =\frac{U}{R} \frac{1}{\sqrt{1+Q^{2} (\frac{\omega }{\omega _{0} } -\frac{\omega _{0} }{\omega } )^{2} } } .
+$$
 Тогда напряжение на индуктивности будет равно
-\begin{equation} \label{GrindEQ__20_}
+$$
 U_{L} =\omega LI=U\frac{Q\frac{\omega }{\omega _{0} } }{\sqrt{1+Q^{2} (\frac{\omega }{\omega _{0} } -\frac{\omega _{0} }{\omega } )^{2} } } .
-\end{equation}
+$$
-Аналогичное уравнение можно получить для напряжения на $C$. При $\omega =\omega _{0} $ напряжения на $L$ и $C$ будут равны $U_{L0} =U_{C0} =Q\cdot U$,   т. е. в $Q$ раз больше напряжения вынуждающей э.д.с.
+Аналогичное уравнение можно получить для напряжения на $C$. При $\omega =\omega _{0} $ напряжения на $L$ и $C$ будут равны $U_{L0} =U_{C0} =Q\cdot U$,   т.е. в $Q$ раз больше напряжения вынуждающей эдс.
 На самом деле максимумы напряжения на элементах $L$ и $C$ несколько выше и смещены от резонансной частоты и выражаются следующими соотношениями:
-\[\omega _{L\max } =\omega _{0} \sqrt{\frac{2}{2-\frac{R^{2} C}{L} } } =\omega _{0} \sqrt{\frac{2}{2-\left(\frac{1}{Q} \right)^{2} } } ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }\omega _{C\max } =\frac{\omega _{0}^{2} }{\omega _{L} } . \]
+$$
+\omega _{L\max } =\omega _{0} \sqrt{\frac{2}{2-\frac{R^{2} C}{L} } } =\omega _{0} \sqrt{\frac{2}{2-\left(\frac{1}{Q} \right)^{2} } } , \ \ \ \omega _{C\max } =\frac{\omega _{0}^{2} }{\omega _{L} } .
+$$
-При добротности контура Q $\mathrm{\ge}$ 10 сдвиг частот максимумов $U_{L} $ и $U_{C} $ относительно резонансной частоты $\omega _{0} $ не превышает 1 \% и экспериментально резонансную частоту и добротность можно определять по резонансной кривой любого из напряжений $U_{L} $ и $U_{C} $. Напряжение на реактивных элементах $U_{L} $ и $U_{C} $ при $\omega =\omega _{0} $ в $Q$ раз больше, чем входное напряжение $U$ \eqref{GrindEQ__20_}, поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.
+При добротности контура $Q \ge 10$ сдвиг частот максимумов $U_{L} $ и $U_{C} $ относительно резонансной частоты $\omega _{0} $ не превышает 1% и экспериментально резонансную частоту и добротность можно определять по резонансной кривой любого из напряжений $U_{L} $ и $U_{C} $. Напряжение на реактивных элементах $U_{L} $ и $U_{C} $ при $\omega =\omega _{0} $ в $Q$ раз больше, чем входное напряжение $U$, поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.
 Важно отметить, что для нашего анализа существенно, что само входное напряжение $U$ от частоты  не зависит. В противном случае все параметры зависели бы не только от самого контура, но и от параметров источника сигнала. Как было показано в предыдущем параграфе, для этого выходное сопротивление генератора должно быть много меньше $R$.
 ==== Вынужденные колебания в параллельном контуре, резонанс токов ====
-Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21, \textit{б}. Из-за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.
+Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21,б. Из--за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$ может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.
 Комплексное сопротивление параллельного контура равно
-\[Z=\frac{Z_{1} Z_{2} }{Z_{1} +Z_{2} } =\frac{(R_{L} +i\omega L){\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/{\vphantom{1 i\omega C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ i\omega C $}} }{R_{L} +i(\omega L-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/{\vphantom{1 \omega !}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ \omega ! $}} )} \approx \frac{{\raise0.7ex\hbox{$ L $}\!\mathord{\left/{\vphantom{L C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ C $}} }{R_{L} +i(\omega L-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/{\vphantom{1 \omega C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ \omega C $}} )} .   \]
+$$
+Z=\frac{Z_{1} Z_{2} }{Z_{1} +Z_{2} } =
+\frac{(R_{L} +i\omega L)(i\omega C)^{-1}}{R_{L} +i(\omega L-(\omega C)^{-1} )} \approx
+\frac{LC^{-1}}{R_{L} +i(\omega L-(\omega C)^{-1})} .
+$$
 Мы пренебрегли величиной $R_{L} $ в числителе, поскольку она в $Q$ раз меньше индуктивного сопротивления, но этого нельзя делать в знаменателе, поскольку при резонансе величина в скобках стремится к нулю.
-Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного -- равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$:
+Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного --- равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$:
+$$
- $\omega _{0} L=\frac{1}{\omega _{0} C} ,{\rm \; \; \; 345\; \; }\omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} } $  (СИ).
+\omega _{0} L=\frac{1}{\omega _{0} C}, \ \ \mbox{ где } \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} } \ \ \mbox{ (СИ). }
+$$
 Таким образом, при резонансе сопротивление контура становится чисто активным и равным
-\begin{equation} \label{GrindEQ__21_}
+$$
-R_{M} =\frac{{\raise0.7ex\hbox{$ L $}\!\mathord{\left/{\vphantom{L C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ C $}} }{R_{L} } =\frac{\rho ^{2} }{R_{L} } ,
+R_{э} =\frac{L}{ C R_{L} } =\frac{\rho ^{2} }{R_{L} } ,
-\end{equation}
+$$
-где $-$ $\rho =\sqrt{{L \mathord{\left/{\vphantom{L C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} C} } $ волновое сопротивление контура.
+где --- $\rho =\sqrt{\frac LC} $ волновое сопротивление контура.
-Сопротивление $R_{M} $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $\rho $ и сопротивления потерь $R_{L} $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда-либо или к чему-нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_{M} $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $\rho $ и $R_{L} $, даваемой формулой \eqref{GrindEQ__21_}.
+Сопротивление $R_{э} $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $\rho $ и сопротивления потерь $R_{L} $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда--либо или к чему--нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_{э} $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $\rho $ и $R_{L} $, даваемой последней формулой.
 Добротность параллельного контура
-\[Q=\frac{\omega _{0} L}{R_{L} } =\frac{1}{R_{L} \omega _{0} C} =\frac{R_{M} }{\rho } =R_{M} \sqrt{\frac{C}{L} } . \]
+$$
+Q=\frac{\omega _{0} L}{R_{L} } =\frac{1}{R_{L} \omega _{0} C} =\frac{R_{э} }{\rho } =R_{э} \sqrt{\frac{C}{L} } .
-Собственные параметры параллельного контура, т. е. резонансная частота $\omega _{0} $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и$R_{L} $.
+$$
-\noindent
+Собственные параметры параллельного контура, т.е. резонансная частота $\omega _{0} $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и $R_{L}.$