Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab5:резонанс [2019/04/11 15:03]
root_s [Вынужденные колебания в последовательном контуре, резонанс напряжений]
+++ lab5:резонанс [2025/07/01 11:59] (текущий)
@@ Строка 144: / Строка 144: @@
 Из последнего выражения видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_{L} $ на некоторой частоте $\omega _{0} $, определяемой условием
 $$
-\omega _0 L=\frac{1}{\omega _0 C} , \  \  \ \mbox{ где } \ \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC}  \ \ \ \mbox{ (СИ).}
+\omega _0 L=\frac{1}{\omega _0 C} , \  \  \ \mbox{ где } \ \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC}}  \ \ \ \mbox{ (СИ).}
 $$
 Таким образом, на резонансной частоте сопротивление контура минимально, чисто активно, а ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (напряжением генератора). Фактически это и есть определение резонанса в последовательном колебательном контуре.
@@ Строка 177: / Строка 177: @@
 ==== Вынужденные колебания в параллельном контуре, резонанс токов ====
-Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21, \textit{б}. Из-за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.
+Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21,б. Из--за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$ может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.
 Комплексное сопротивление параллельного контура равно
-\[Z=\frac{Z_{1} Z_{2} }{Z_{1} +Z_{2} } =\frac{(R_{L} +i\omega L){\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/{\vphantom{1 i\omega C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ i\omega C $}} }{R_{L} +i(\omega L-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/{\vphantom{1 \omega !}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ \omega ! $}} )} \approx \frac{{\raise0.7ex\hbox{$ L $}\!\mathord{\left/{\vphantom{L C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ C $}} }{R_{L} +i(\omega L-{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/{\vphantom{1 \omega C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ \omega C $}} )} .   \]
+$$
+Z=\frac{Z_{1} Z_{2} }{Z_{1} +Z_{2} } =
+\frac{(R_{L} +i\omega L)(i\omega C)^{-1}}{R_{L} +i(\omega L-(\omega C)^{-1} )} \approx
+\frac{LC^{-1}}{R_{L} +i(\omega L-(\omega C)^{-1})} .
+$$
 Мы пренебрегли величиной $R_{L} $ в числителе, поскольку она в $Q$ раз меньше индуктивного сопротивления, но этого нельзя делать в знаменателе, поскольку при резонансе величина в скобках стремится к нулю.
-Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного -- равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$:
+Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного --- равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$:
+$$
- $\omega _{0} L=\frac{1}{\omega _{0} C} ,{\rm \; \; \; 345\; \; }\omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} } $  (СИ).
+\omega _{0} L=\frac{1}{\omega _{0} C}, \ \ \mbox{ где } \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} } \ \ \mbox{ (СИ). }
+$$
 Таким образом, при резонансе сопротивление контура становится чисто активным и равным
-\begin{equation} \label{GrindEQ__21_}
+$$
-R_{M} =\frac{{\raise0.7ex\hbox{$ L $}\!\mathord{\left/{\vphantom{L C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ C $}} }{R_{L} } =\frac{\rho ^{2} }{R_{L} } ,
+R_{э} =\frac{L}{ C R_{L} } =\frac{\rho ^{2} }{R_{L} } ,
-\end{equation}
+$$
-где $-$ $\rho =\sqrt{{L \mathord{\left/{\vphantom{L C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} C} } $ волновое сопротивление контура.
+где --- $\rho =\sqrt{\frac LC} $ волновое сопротивление контура.
-Сопротивление $R_{M} $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $\rho $ и сопротивления потерь $R_{L} $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда-либо или к чему-нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_{M} $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $\rho $ и $R_{L} $, даваемой формулой \eqref{GrindEQ__21_}.
+Сопротивление $R_{э} $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $\rho $ и сопротивления потерь $R_{L} $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда--либо или к чему--нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_{э} $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $\rho $ и $R_{L} $, даваемой последней формулой.
 Добротность параллельного контура
-\[Q=\frac{\omega _{0} L}{R_{L} } =\frac{1}{R_{L} \omega _{0} C} =\frac{R_{M} }{\rho } =R_{M} \sqrt{\frac{C}{L} } . \]
+$$
+Q=\frac{\omega _{0} L}{R_{L} } =\frac{1}{R_{L} \omega _{0} C} =\frac{R_{э} }{\rho } =R_{э} \sqrt{\frac{C}{L} } .
-Собственные параметры параллельного контура, т. е. резонансная частота $\omega _{0} $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и$R_{L} $.
+$$
-\noindent
+Собственные параметры параллельного контура, т.е. резонансная частота $\omega _{0} $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и $R_{L}.$