| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab5:теория_54 [2019/04/14 15:56]
root_s [Спектр прямоугольного импульса] |
lab5:теория_54 [2019/04/14 18:17] (текущий)
root_s [Введение] |
| \begin{equation} | \begin{equation} |
| x\left(t\right)=a_{0} +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right) +b_{n} \sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right), | x\left(t\right)=a_{0} +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos \left(\frac{2\pi nt}{T} \right) +b_{n} \sin \left(\frac{2\pi nt}{T} \right), |
| \end{equation} | \end{equation} |
| где значение коэффициентов определяется формулами | где значение коэффициентов определяется формулами |
| \[ | \[ |
| |
| Множество всех коэффициентов ряда Фурье $c_{n} $ называется спектром функции $x\left(t\right)$. В частности, $c_{0} $ является средним значением функции $x\left(t\right)$, а величина $c_{1} $ называется комплексной величиной основной гармоники. Если функция $x\left(t\right)$ является вещественной, тогда выполняется следующее тождество | Множество всех коэффициентов ряда Фурье $c_{n} $ называется спектром функции $x\left(t\right)$. В частности, $c_{0} $ является средним значением функции $x\left(t\right)$, а величина $c_{1} $ называется комплексной величиной основной гармоники. Если функция $x\left(t\right)$ является вещественной, тогда выполняется следующее тождество |
| \[c_{n}^{*} =c_{-n} ,\] | $$c_{n}^{*} =c_{-n} ,$$ |
| где * $-$ операция комплексного сопряжения. Отсюда следует, что модуль спектра является четной функцией индекса $n,$ а аргумент --- нечетной. Таким образом, в случае вещественной функции $x\left(t\right)$ достаточно знать только часть спектра, соответствующую положительным частотам. | где * $-$ операция комплексного сопряжения. Отсюда следует, что модуль спектра является четной функцией индекса $n,$ а аргумент --- нечетной. Таким образом, в случае вещественной функции $x\left(t\right)$ достаточно знать только часть спектра, соответствующую положительным частотам. |
| ===== Спектр прямоугольного импульса ===== | ===== Спектр прямоугольного импульса ===== |
| Метод дискретного преобразования Фурье применяется для спектрального анализа сигнала, представленного в виде ряда отсчетов. Например, такой ряд получается при измерении сигнала с помощью АЦП (аналого-цифрового преобразователя) через определенные промежутки времени. | Метод дискретного преобразования Фурье применяется для спектрального анализа сигнала, представленного в виде ряда отсчетов. Например, такой ряд получается при измерении сигнала с помощью АЦП (аналого-цифрового преобразователя) через определенные промежутки времени. |
| |
| Из теоремы Найквиста $-$ Котельникова следует [2], что при дискретизации с частотой $f_{switch} $ изначально непрерывного сигнала полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты $f_{\max } $ | Из теоремы Найквиста --- Котельникова следует [2], что при дискретизации с частотой $f_{switch} $ изначально непрерывного сигнала полезную информацию будут нести только частоты ниже частоты $f_{\max } $ |
| \[f_{switch} =2\cdot f_{\max } .\] | \[f_{switch} =2\cdot f_{\max } .\] |
| Эта частота носит название частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста будут проецироваться в область нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то только в этом случае он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений. Поэтому если в сигнале изначально присутствуют высокочастотные компоненты, то необходимо либо использование более высокочастотных АЦП, либо предварительная фильтрация сигнала с помощью аналогового фильтра (см. ч. I, п. 5.4). | Эта частота носит название частоты Найквиста. Частоты выше частоты Найквиста будут проецироваться в область нижних частот. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то только в этом случае он может быть оцифрован и затем восстановлен без искажений. Поэтому если в сигнале изначально присутствуют высокочастотные компоненты, то необходимо либо использование более высокочастотных АЦП, либо предварительная фильтрация сигнала с помощью аналогового фильтра (см. ч. I, п. 5.4). |
| |
| \noindent \includegraphics*[width=2.04in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image92}\includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image93} | |
| |
| n = 1 n = 2 | |
| |
| \noindent \includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image94}\includegraphics*[width=2.06in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.17in 0.10in 0.07in]{image95} | |
| |
| n = 3 n = 7 | |
| |
| \noindent \textit{Рис. 2.} Частичные суммы ряда Фурье в случае прямоугольного сигнала | |
| |
| Другим важным параметром спектрального анализа является спектральное разрешение. Оно характеризует способность различать близкие по частоте сигналы и равно минимальной разнице частот колебаний, которую способен фиксировать прибор. В случае \textit{N} измерений с временным шагом $\tau$ спектральное разрешение равно | Другим важным параметром спектрального анализа является спектральное разрешение. Оно характеризует способность различать близкие по частоте сигналы и равно минимальной разнице частот колебаний, которую способен фиксировать прибор. В случае \textit{N} измерений с временным шагом $\tau$ спектральное разрешение равно |
| \[f_{\min } =\frac{1}{N\cdot \tau } .\] | \[f_{\min } =\frac{1}{N\cdot \tau } .\] |
| Эта же величина равна шагу по частоте $\Delta f=f_{\min } $ для спектра сигнала в случае дискретного преобразования Фурье. | Эта же величина равна шагу по частоте $\Delta f=f_{\min } $ для спектра сигнала в случае дискретного преобразования Фурье. |
| |
| \noindent | |
| |
| \noindent | |
| |
| \noindent | |
| |
| ===== Фильтрация ===== | ===== Фильтрация ===== |
| |
| Каждый обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность. Ее, разумеется, можно менять и регулировать, но она обязательно остается конечной. Если мы анализируем сигнал $x\left(t\right)$ на конечном промежутке $T$, то это означает, что он может быть представлен в виде | Каждый обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность. Ее, разумеется, можно менять и регулировать, но она обязательно остается конечной. Если мы анализируем сигнал $x\left(t\right)$ на конечном промежутке $T$, то это означает, что он может быть представлен в виде |
| \[x\left(t\right)=x_{1} \left(t\right)\cdot f\left(t\right), f\left(t\right)=\left(\begin{array}{c} {1,\; \left|t\right|<T} \\ {\, 0,\left|t\right|>T\; } \end{array}\right. ,\] | \[ |
| где $x_{1} \left(t\right)$ есть непрерывная функция, определенная на всем временном интервале. Прямоугольный вид функции $f\left(t\right)$ называется естественным временным окном, но используются и другие формы $f\left(t\right)$. Она влияет на обнаружимость гармоник в присутствии других гармоник большой амплитуды и на спектральное разрешение. Роль этого эффекта продемонстрирована на рис. 3 и 4. Из бесконечного сигнала с фиксированной частотой и амплитудой вырезается конечный интервал с помощью треугольного или прямоугольного окна. На рис. 5 приведены соответствующие спектры сигналов. Видно, что, несмотря на то, что исходный сигнал характеризуется одной гармоникой, показанной на рис. 5 вертикальным отрезком, после ограничения сигнала на конечный интервал в его спектре появляются паразитные гармоники. Причина этого в том, что дискретное преобразование Фурье требует периодичности ряда. Последняя точка временного ряда замыкается с его первой точкой. В результате реально обрабатываемый сигнал отличается от исходного. Использование правильно подобранной весовой функции окна $f\left(t\right)$ позволяет существенно уменьшить этот эффект, как это видно из примера с треугольным окном. | x\left(t\right)=x_{1} \left(t\right)\cdot f\left(t\right), \ \ f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; \left|t\right|<T} \\ {\, 0,\left|t\right|>T\; } \end{array}\right. , |
| | \] |
| \noindent | где $x_{1} \left(t\right)$ есть непрерывная функция, определенная на всем временном интервале. Прямоугольный вид функции $f\left(t\right)$ называется естественным временным окном, но используются и другие формы $f\left(t\right)$. Она влияет на обнаружимость гармоник в присутствии других гармоник большой амплитуды и на спектральное разрешение. Роль этого эффекта продемонстрирована на рис. 3. |
| | {{ :lab5:l403.png?direct&500 |}} |
| \noindent \includegraphics*[width=2.77in, height=1.68in, keepaspectratio=false, trim=0.12in 0.12in 0.12in 0.12in]{image96} | Из бесконечного сигнала с фиксированной частотой и амплитудой вырезается конечный интервал с помощью треугольного или прямоугольного окна. На рис. 4 приведены соответствующие спектры сигналов. |
| | {{ :lab5:l404.png?direct&500 |}} |
| \noindent Исходный сигнал для спектрального анализа | Видно, что, несмотря на то, что исходный сигнал характеризуется одной гармоникой, показанной на рис. 4 вертикальным отрезком, после ограничения сигнала на конечный интервал в его спектре появляются паразитные гармоники. Причина этого в том, что дискретное преобразование Фурье требует периодичности ряда. Последняя точка временного ряда замыкается с его первой точкой. В результате реально обрабатываемый сигнал отличается от исходного. Использование правильно подобранной весовой функции окна $f\left(t\right)$ позволяет существенно уменьшить этот эффект, как это видно из примера с треугольным окном. |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=2.09in, height=1.29in, keepaspectratio=false, trim=0.09in 0.09in 0.09in 0.09in]{image97}\includegraphics*[width=2.09in, height=1.29in, keepaspectratio=false, trim=0.09in 0.09in 0.09in 0.09in]{image98} | |
| | |
| \textit{Рис. 3.} Исходный сигнал после умножения на прямоугольное и треугольное окно | |
| | |
| \noindent | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=2.66in, height=1.68in, keepaspectratio=false, trim=0.10in 0.10in 0.10in 0.10in]{image99} | |
| | |
| \textit{Рис. 4.} Спектр (модуль амплитуды) гармонического сигнала в случае использования различных окон | |
| | |
| \noindent | |
| | |
| ===== Задания ===== | |
| | |
| 1. Установите на осциллографе развертку луча 2,5 мс. Оставляя развертку неизменной, запишите синусоидальный сигнал с осциллографа для частот 50 Гц, 250 Гц, 1,5 кГц, 5,0 кГц, 20 кГц, 50 кГц, 300 кГц, 500 кГц. Сигнал необходимо записывать в текстовом виде. С помощью специализированных программ (MathCad, Matlab, Maple) постройте спектры полученных сигналов, объясните полученные графики. Определите минимальную и максимальную частоты, регистрируемые данным осциллографом при выбранной развертке. | |
| | |
| 2. Установите генератор в режим генерации прямоугольных импульсов. Запишите сигнал в текстовом виде. С помощью специализированных программ (MathCad, Matlab, Maple) постройте спектры полученных сигналов, объясните полученные графики. Сравните полученные данные с уравнением 2, объясните наличие в спектре всех частот. | |
| | |
| 3. Воспользовавшись тем, что в спектре прямоугольного импульса содержатся все частоты, оцените амплитудно-частотную характеристику фильтров низких частот, высоких частот и многозвенного (см. рис. 5 и 6). Для этого установите на генераторе сигналов режим прямоугольных сигналов с частотой примерно 50 Гц. Выберите развертку осциллографа 25 мс/дел. На рис. 7 показан возможный вид экрана осциллографа в указанном режиме. Подавая прямоугольный сигнал на входы фильтров, запишите одновременные осциллограммы для выходного и входного сигналов в текстовом виде. По полученным данным рассчитайте АЧХ фильтров. При этом учитывайте, что из рассмотрения нужно исключить гармоники с малой амплитудой, так как полученные с их использованием данные содержат большую погрешность. При обработке результатов рекомендуется использовать треугольное окно. Пример обработки на программе MathCad показан на рис. 8. | |
| | |
| \eject \includegraphics*[width=1.06in, height=0.80in, keepaspectratio=false]{image100} \includegraphics*[width=1.21in, height=0.81in, keepaspectratio=false]{image101} | |
| | |
| а б | |
| | |
| \textit{Рис. 5.} Фильтр низких (а) и высоких частот (б) | |
| | |
| \noindent | |
| | |
| \noindent | |
| | |
| \includegraphics*[width=3.02in, height=0.82in, keepaspectratio=false]{image102} | |
| | |
| \noindent | |
| | |
| \textit{Рис. 6.} Многозвенный фильтр низких частот | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| \includegraphics*[width=3.77in, height=2.82in, keepaspectratio=false]{image103} | |
| | |
| \textit{Рис. 7.} Прохождение прямоугольного импульса через фильтр высоких частот | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.41in, height=5.83in, keepaspectratio=false]{image104} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 8.} Пример обработки результатов измерений на программе MathCad | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.45in, height=3.12in, keepaspectratio=false]{image105} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис .8.} Пример обработки результатов измерений на программе MathCad, продолжение | |
| | |
| \noindent | |
| |
| ===== Библиографический список ===== | ===== Библиографический список ===== |
| |
| 1. \textit{Часть I,} разделы 3 и 5 настоящего сборника. | - Мешков И.Н., Чириков Б.В., Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 1. |
| | - Марпл С.Л., Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. |
| 2. \textit{Мешков И. Н., Чириков Б. В.} Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 1. | |
| | |
| 3. \textit{Марпл С. Л.} Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. | |
| |