Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab5:типичные_четырехполюсники [2019/04/11 20:01]
root_s
+++ lab5:типичные_четырехполюсники [2019/10/02 16:02] (текущий)
root_s [Амплитудно-частотные характеристики фильтров]
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 Рассмотрим цепочку, изображенную на рис. 10. {{ :lab5:010.png?250 |}}
 Применим второй закон Кирхгофа к нашей цепи
-\[RI+\frac{q}{C} =U_{in} \left(t\right)\quad \Rightarrow \quad RI+\frac{1}{C} \cdot \int _{0}^{t}I{\kern 1pt} dt =U_{in} \left(t\right),\]
+\[RI+\frac{q}{C} =U_{in} \left(t\right)\quad \Rightarrow \quad RI+\frac{1}{C} \cdot \int \limits_{0}^{t}I{\kern 1pt} dt =U_{in} \left(t\right),\]
 где $I$ --- ток, протекающий по цепочке; $RI$ --- падение напряжения на сопротивление; $q_{0} $ --- начальный заряд в конденсаторе; $\frac qC$ --- напряжение на конденсаторе; $U\left(t\right)$ --- напряжение на источнике питания.
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 $$
 Напряжение на выходе данного четырехполюсника
-$$U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int _{0}^{t}I\left(t'\right) \, dt'.
+$$U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int \limits_{0}^{t}I\left(t'\right) \, dt'.
 $$
@@ Строка 23: / Строка 23: @@
 $$
 Напряжение на выходе четырехполюсника
-\[U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{RC} \int _{0}^{t}U_{in} \left(t'\right) \, dt'. \]
+$$
+U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{RC} \int \limits_{0}^{t}U_{in} \left(t'\right) \, dt'.
+$$
 Таким образом, данная схема в определенной области параметров «интегрирует» входной сигнал.
-\includegraphics*[width=1.72in, height=0.98in, keepaspectratio=false]{image30}
-\noindent \textit{Рис. 10.} Интегрирующая \textit{RC}-цепочка
 Продемонстрируем это свойство на примере простого импульса напряжения прямоугольной формы (рис. 11).
+{{ :lab5:011.png?300 |}}
+Действие такого импульса можно представить как мгновенное включение постоянного напряжения $U = U_{0}$ на время $T$ с последующим его выключением. Примем за начало отсчета времени момент «включения» напряжения (см. рис. 11) и проследим за изменением напряжения на выходе интегрирующей цепочки (на конденсаторе $С$). Решение дифференциального уравнения с начальными условиями $q_{0} =0$, $I_{t=0} =\frac{U_0}{R}$ (конденсатор не заряжен) при $t = 0$ имеет вид
+$$
+I\left(t\right)=\frac{U_{0} }{R} \cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau } \right),\quad 0\le t\le T,
+$$
+где $\tau =RC$ --- постоянная времени интегрирующей цепочки. А напряжение на конденсаторе на этом же отрезке времени есть
+$$
+U_{C} \left(t\right)=\frac{1}{C} \cdot \int \limits_{0}^{t}I{\kern 1pt} dt=U_{0} \left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)\right) .
+$$
+При малых $t$ ($t\ll RC = \tau $) экспоненту можно разложить в ряд $1-exp(\frac{t}{\tau }) \approx \frac{t}{\tau },$ поэтому при $t\le \tau$ напряжение на конденсаторе растет почти линейно, т.е. напряжение на конденсаторе пропорционально интегралу от входного напряжения:
+$$
+U_{C} \left(t\right)\propto \int \limits_{0}^{t}U\left(t\right){\kern 1pt} dt =\int \limits_{0}^{t}U_{0} dt =U_{0} t.
+$$
+Если выполняется обратное условие к уже рассмотренному, т.е. $\mid Z_C\mid \gg Z_R$ (или $\omega \ll \tau ^{-1}$), то падение напряжения в цепи практически полностью определяется емкостью и решение дифференциального уравнения можно приближенно записать как
-\includegraphics*[width=2.47in, height=0.78in, keepaspectratio=false]{image39}
+$$
-\textit{Рис. 11.} Импульс напряжения
-Действие такого импульса можно представить как мгновенное включение постоянного напряжения \textit{U = U${}_{0}$} на время \textit{T} с последующим его выключением. Примем за начало отсчета времени момент «включения» напряжения (см. рис. 11) и проследим за изменением напряжения на выходе интегрирующей цепочки (на конденсаторе \textit{С}). Решение уравнения \eqref{GrindEQ__10_} с начальными условиями $q_{0} =0$, $I_{t=0} ={U_{0}  \mathord{\left/{\vphantom{U_{0}  R}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} R} $ (конденсатор не заряжен) при \textit{t = 0 }имеет вид
-\[I\left(t\right)=\frac{U_{0} }{R} \cdot \exp \left({-t \mathord{\left/{\vphantom{-t \tau }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \tau } \right),\quad 0\le t\le T, \]
-где $\tau =RC$ -- постоянная времени интегрирующей цепочки. А напряжение на конденсаторе на этом же отрезке времени есть
-\[U_{C} \left(t\right)=\frac{1}{C} \cdot \int _{0}^{t}I{\kern 1pt} dt=U_{0} \left(1-\exp \left({-t \mathord{\left/{\vphantom{-t \tau }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \tau } \right)\right) . \]
-При малых \textit{t} (\textit{t}~\textit{$<$$<$}~\textit{RC}~\textit{=}~\textit{$\tau$}) экспоненту можно разложить в ряд                    \textit{1-exp(t/$\tau$)}~\textit{$\approx$}~\textit{t/$\tau$}, поэтому при \textit{t}~\textit{$\le$}~\textit{$\tau$} напряжение на конденсаторе растет почти линейно, т. е. напряжение на конденсаторе пропорционально интегралу от входного напряжения:
-\[U_{C} \left(t\right)\propto \int _{0}^{t}U\left(t\right){\kern 1pt} dt =\int _{0}^{t}U_{0} {\kern 1pt} dt =U_{0} t.\]
-Если выполняется обратное условие к уже рассмотренному, т. е. $\mid$\textit{Z${}_{\textrm{С}}$}$\mid$~$\mathrm{>}$$\mathrm{>}$ ~\textit{Z${}_{R}$}${}_{\ }$(или $\omega$~\textit{$<$$<$}~1\textit{/$\tau$}), то падение напряжения в цепи практически полностью определяется емкостью и решение уравнения \eqref{GrindEQ__10_} можно приближенно записать как
-\begin{equation} \label{GrindEQ__11_}
 I\approx C\frac{dU_{in} }{dt} .
-\end{equation}
+$$
 Тогда напряжение на выходе четырехполюсника
-\[U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int _{0}^{t}I\left(t'\right) \, dt'\approx U_{in} \left(t\right). \]
+$$
+U_{out} \left(t\right)=\frac{1}{C} \int \limits_{0}^{t}I\left(t'\right) \, dt'\approx U_{in} \left(t\right).
-Т. е. низкочастотный сигнал интегрирующая цепочка пропускает практически без искажений, в отличие от высокочастотного сигнала, который интегрируется.
+$$
-\includegraphics*[width=1.78in, height=0.98in, keepaspectratio=false]{image40}
-\textit{Рис. 12.} Дифференцирующая \textit{RC}-цепочка
+Т.е. низкочастотный сигнал интегрирующая цепочка пропускает практически без искажений, в отличие от высокочастотного сигнала, который интегрируется.
+{{ :lab5:012.png?300 |}}
 Дифференцирующая цепь изображена на рис. 12. В отличие от интегрирующей цепи в качестве выходного сигнала выступает напряжение на сопротивление,
-\[U_{out} \left(t\right)=RI. \]
+$$U_{out} \left(t\right)=RI.
-Анализ процессов аналогичен случаю интегрирующей цепочки. В случае $\mid$\textit{Z${}_{\textrm{С}}$}$\mid$~$\mathrm{>}$$\mathrm{>}$ ~\textit{Z${}_{R}$}${}_{\ }$(или $\omega$~\textit{$<$$<$}~1\textit{/$\tau$}) ток равен \eqref{GrindEQ__11_} и напряжение на выходе цепи пропорционально
+$$
-\begin{equation} \label{GrindEQ__12_}
+Анализ процессов аналогичен случаю интегрирующей цепочки. В случае $\mid Z_C \mid \gg Z_{R}$ (или $\omega \ll \tau^{-1}$) ток равен $I\approx C\frac{dU_{in} }{dt} $ и напряжение на выходе цепи пропорционально
+$$
 U_{out} \left(t\right)=RC\frac{dU_{in} }{dt} .
-\end{equation}
+$$
-\textbf{3.2. Фильтры}
+==== Фильтры ====
-Благодаря тому, что импеданс (сопротивление) конденсаторов и индуктивностей зависит от частоты, с их помощью можно строить частотно-избирательные схемы. Например, четырехполюсник, изображенный на рис. 13, слева, хорошо пропускает сигнал низкой частоты (емкость -- разрыв цепи для постоянного тока) и плохо пропускает высокочастотный сигнал (емкость -- короткое замыкание для высоких частот).
+Благодаря тому, что импеданс (сопротивление) конденсаторов и индуктивностей зависит от частоты, с их помощью можно строить частотно-избирательные схемы. Например, четырехполюсник, изображенный на рис. 13, слева, хорошо пропускает сигнал низкой частоты (емкость --- разрыв цепи для постоянного тока) и плохо пропускает высокочастотный сигнал (емкость --- короткое замыкание для высоких частот).
-\noindent \includegraphics*[width=1.84in, height=0.98in, keepaspectratio=false]{image41}      \includegraphics*[width=1.76in, height=0.98in, keepaspectratio=false]{image42}
+{{ :lab5:013.png?400 |}}
+Четырехполюсник, изображенный на рис. 13, справа, ведет себя «с точностью до наоборот». При высокой частоте конденсатор --- хорошо проводящий элемент цепи --- и сигнал с $U_{in}$ достигает $U_{out}$, а для низких --- «разрыв» и сигнала на $U_{out}$ нет.
+==== Амплитудно-частотные характеристики фильтров ====
+Для анализа амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) цепей с сосредоточенными параметрами удобно воспользоваться формализмом комплексных сопротивлений. В этом случае импедансы будут равны: резистора $Z_{R} =R$, емкости $Z_{C} = (i\omega \, C)^{-1}$ и индуктивности $Z_{L} =i\omega \, L.$ В справедливости этих выражений можно убедиться, если считать, что $I\left(t\right)=I\exp \left(i\omega t\right)$, $U\left(t\right)=U\exp \left(i\omega t\right)$, $\exp \left(i\omega  t\right)=\cos \left(\omega \, t\right)+i\cdot \sin \left(\omega \, t\right)$, тогда
+$$
+U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t) dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right) \ \ \ \mbox{ (СИ), }
+$$
+$$
+U_{L} (t)=L\frac{dI}{dt} =i\omega L{\kern 1pt} I(t)  \ \ \ \mbox{ (СИ).}
+$$
+Заметим, что вышеприведенные формулы написаны в системе СИ. В системе СГС их эквиваленты будут выглядеть как
+$$
+U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t) dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right) \ \ \ \mbox{  (СГС), }
+$$
+$$
+U_{L} (t)=\frac{L}{c^{2} } \frac{dI}{dt} =\frac{i\omega L}{c^{2} } {\kern 1pt} I(t) \ \ \ \mbox{   (СГС), }
+$$
+где $c=3\cdot 10^{10} \frac{см}{c}$ --- скорость света в вакууме.
-\noindent \textit{Рис. 13.} Фильтры низких (слева) и высоких (справа) частот
+Закон Ома для комплексных величин записывается в привычном виде. Поэтому фильтр низких частот, или ФНЧ (рис. 14),
+{{ :lab5:014.png?500 |}}
-Четырехполюсник, изображенный на рис. 13, справа, ведет себя «с точностью до наоборот». При высокой частоте конденсатор $-$ хорошо проводящий элемент цепи $-$ и сигнал с \textit{U${}_{in}$} достигает \textit{U${}_{out}$}, а для низких $-$ «разрыв» и сигнала на \textit{U${}_{out}$} нет.
+может быть представлен как простой делитель напряжения, но на частотно-зависимых резисторах. Тогда сигнал на выходе мы можем записать как
+$$
+U_{вых} =\frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{вх} =\frac{1}{1+i\omega RC} U_{вх} =T(\omega )U_{вх} .
+$$
-\textbf{3.3. Амплитудно-частотные характеристики фильтров}
+Основной характеристикой четырехполюсников в качестве фильтров является передаточная функция $Т = U_{вых}U_{вх}^{-1}.$ Комплексную передаточную функцию $T(\omega)=\mid T(\omega )\mid \cdot exp(i \varphi (\omega))$ можно трактовать следующим образом. Амплитуда передаточной функции $\mid T(\omega)\mid$ описывает изменение выходного сигнала по амплитуде. Фазовая функция $\varphi (\omega)$ описывает сдвиг фаз между входным и выходным сигналами. Эти две функции $\mid T(\omega)\mid $ и $\varphi (\omega)$ полностью описывают действие нашей схемы. Разлагая входной сигнал на отдельные гармонические составляющие, подвергая их действию передаточной функции $T(\omega )$ и суммируя эти гармоники, мы получим выходной сигнал.
-Для анализа амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) цепей с сосредоточенными параметрами удобно воспользоваться формализмом комплексных сопротивлений. В этом случае импедансы будут равны: резистора $Z_{R} =R$, емкости $Z_{C} ={1 \mathord{\left/{\vphantom{1 i\omega \, C}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} i\omega \, C} $ и индуктивности $Z_{L} =i\omega \, L$ ($i$--~мнимая единица). В справедливости этих выражений можно убедиться, если считать, что $I\left(t\right)=I\exp \left(i\omega \, t\right)$\textit{,}$U\left(t\right)=U\exp \left(i\omega \, t\right)$\textit{,} $\exp \left(i\omega \, t\right)=\cos \left(\omega \, t\right)+i\cdot \sin \left(\omega \, t\right)$ (см. раздел 2.1), тогда
- $U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t){\kern 1pt} dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right)$  (СИ),
- $U_{L} (t)=L\frac{dI}{dt} =i\omega L{\kern 1pt} I(t)$  (СИ).
-\noindent Заметим, что вышеприведенные формулы написаны в системе СИ. В системе СГС их эквиваленты будут выглядеть как
- $U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t){\kern 1pt} dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right)$  (СГС),
- $U_{L} (t)=\frac{L}{c^{2} } \frac{dI}{dt} =\frac{i\omega L}{c^{2} } {\kern 1pt} I(t)$  (СГС),
-\noindent где c~=~3$.$10${}^{10}$ см/c $-$ скорость света в вакууме.
-Закон Ома для комплексных величин записывается в привычном виде. Поэтому фильтр низких частот, или ФНЧ (рис. 14), может быть представлен как простой делитель напряжения, но на частотно-зависимых резисторах. Тогда сигнал на выходе мы можем записать как
-\[U_{2KE} =\frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} =\frac{1}{1+i\omega RC} U_{2E} =T(\omega )U_{2E} . \]
-\includegraphics*[width=1.04in, height=0.80in, keepaspectratio=false]{image43}       \includegraphics*[width=2.60in, height=2.24in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.15in 0.15in 0.15in]{image44}
-\noindent \textit{Рис. 14.} Схема фильтра низких частот и его амплитудно-частотная характеристика
-\includegraphics*[width=1.09in, height=0.75in, keepaspectratio=false]{image45}     \includegraphics*[width=2.62in, height=2.25in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.15in 0.15in 0.15in]{image46}
-\noindent \textit{Рис. 15.} Схема фильтра высоких частот и его амплитудно-частотная характеристика
-Основной характеристикой четырехполюсников в качестве фильтров является передаточная функция \textit{Т = U${}_{\textrm{в}\textrm{ы}\textrm{х}}$/U${}_{\textrm{в}\textrm{х}}$}. Комплексную передаточную функцию \textit{T($\omega$)}~=~$\mid$T($\omega$)$\mid$$.$\textit{exp(i$\varphi$($\omega$))} можно трактовать следующим образом. Амплитуда передаточной функции $\mid$T($\omega$)$\mid$ описывает изменение выходного сигнала по амплитуде. Фазовая функция \textit{$\varphi$($\omega$) }описывает сдвиг фаз между входным и выходным сигналами. Эти две функции $\mid$T($\omega$)$\mid$и \textit{$\varphi$($\omega$)} полностью описывают действие нашей схемы. Разлагая входной сигнал на отдельные гармонические составляющие, подвергая их действию передаточной функции \textit{T}($\omega$) и суммируя эти гармоники, мы получим выходной сигнал.
 Для ФНЧ (или интегрирующей цепочки) передаточная функция
-\[\left|T\left(f\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{2} } } \]
+$$
-изображена на рис. 14.
+\left|T\left(f\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(2\pi f RC\right)^{2} } }
+$$
+изображена на рис. 14.
 Для фильтра высоких частот (или дифференцирующей цепочки) все рассуждения полностью аналогичны:
-\[U_{2KE} =\frac{Z_{R} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} =\frac{i\omega RC}{1+i\omega RC} U_{2E} , \]
+$$
+U_{вых} =\frac{Z_{R} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{вх} =\frac{i\omega RC}{1+i\omega RC} U_{вх},
+$$
 а передаточная функция есть
-\[\left|T\left(f\right)\right|=\frac{\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)}{\sqrt{1+\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{2} } } . \]
+$$
+\left|T\left(f\right)\right|=\frac{\left(2\pi f RC\right)}{\sqrt{1+\left(2\pi  f RC\right)^{2} } } .
+$$
-Схема фильтра ФВЧ и его передаточная функция изображены на рис. 15.
+Схема фильтра ФВЧ и его передаточная функция изображены на рис. 15. {{ :lab5:015.png?500 |}}
 Полосовой фильтр является последовательной комбинацией фильтров низких и высоких частот. После несложных, но громоздких выкладок можно найти его передаточную функцию:
-\[U_{2KE} =\frac{Y_{o} }{Y_{0} +Z_{C} } \cdot \frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} , \]
+$$
-\[\left|T\left(f\right)\right|=\frac{\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)}{\sqrt{1+7\cdot \left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{2} +\left(2\pi {\kern 1pt} f{\kern 1pt} RC\right)^{4} } } , \]
+U_{вых} = \frac{Y_0 }{Y_0 +Z_{C} } \cdot \frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{вх},
-где $Y_{0} =\frac{R\left(1+i\omega {\kern 1pt} RC\right)}{1+2i\omega {\kern 1pt} RC} $.
+$$
+$$\left|T\left(f\right)\right|=\frac{\left(2\pi f RC\right)}{\sqrt{1+7\cdot \left(2\pi f RC\right)^{2} +\left(2\pi  f RC\right)^{4} } } ,
+$$
+где $Y_0 =\frac{R\left(1+i\omega RC\right)}{1+2i\omega  RC} .$
 Схема полосового фильтра и его передаточная функция показаны на рис. 16.
+{{ :lab5:016.png?500 |}}
-\noindent \includegraphics*[width=1.09in, height=0.74in, keepaspectratio=false]{image47}     \includegraphics*[width=2.58in, height=2.24in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.15in 0.15in 0.15in]{image48}
+В качестве полосового и заградительного фильтров часто используют схемы на основе резонансных контуров. Использование в фильтрах конденсаторов в сочетании с индуктивностями позволяет сильно «заострить» частотную характеристику схемы по сравнению с пологими характеристиками $RC$--  и $RL$--схем.
-\noindent \textit{Рис. 16.} Схема полосового фильтра и его амплитудно-частотная характеристика
-\noindent \includegraphics*[width=1.32in, height=0.95in, keepaspectratio=false]{image49}     \includegraphics*[width=2.56in, height=2.23in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.14in 0.14in 0.14in]{image50}
-\noindent \textit{Рис. 17.} Фильтр на основе резонансного контура и его амплитудно-частотная характеристика
-В качестве полосового и заградительного фильтров часто используют схемы на основе резонансных контуров. Использование в фильтрах конденсаторов в сочетании с индуктивностями позволяет сильно «заострить» частотную характеристику схемы по сравнению с пологими характеристиками \textit{RC- } и \textit{RL-} схем.
+{{ :lab5:017.png?500 |}}
 Например, для схемы, изображенной на рис. 17, импеданс резонансного контура равен
-\[Z_{LC} =\sqrt{\frac{L}{C} } {\kern 1pt} \frac{1}{LC\, \sqrt{\left(\omega ^{2} -\frac{1}{LC} \right)^{2} +\omega ^{2} \frac{r^{2} }{L^{2} } } } , \]
+$$
-и можно получить полуширину резонансной кривой фильтра порядка $\frac{\Delta \omega }{\omega _{0} } \approx \frac{r}{2} {\kern 1pt} \sqrt{\frac{C}{L} } $ при $\omega _{0} L>>r$. На рис. 17, справа, показана передаточная функция для следующих параметров: \textit{L}~=~100 мкГн, \textit{C}~=~100 нФ, \textit{R}~=~5 кОм, \textit{r}~=~1 и 10 Ом.
+Z_{LC} =\frac{\sqrt{r^2+\omega ^2 L^2}}{\sqrt{\left(1- \omega ^{2}{LC} \right)^{2} +\omega ^{2} {r^{2} }{C^{2} } } } ,
+$$
+и можно получить полуширину резонансной кривой фильтра порядка $\frac{\Delta \omega }{\omega _{0} } \approx \frac{r}{2} \sqrt{\frac{C}{L} } $ при $\omega _{0} L\gg r.$ На рис. 17, справа, показана передаточная функция для следующих параметров: $L=100$мкГн, $C=100$нФ, $R=5$кОм, $r=1$ и $10$Ом.