lab5:типичные_четырехполюсники

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
lab5:типичные_четырехполюсники [2019/04/11 20:44]
root_s [Амплитудно-частотные характеристики фильтров] 		lab5:типичные_четырехполюсники [2019/10/02 16:02] (текущий)
root_s [Амплитудно-частотные характеристики фильтров]
Строка 72: Строка 72:
 ==== Амплитудно-частотные характеристики фильтров ==== ==== Амплитудно-частотные характеристики фильтров ====
  
-Для анализа амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) цепей с сосредоточенными параметрами удобно воспользоваться формализмом комплексных сопротивлений. В этом случае импедансы будут равны: резистора $Z_{R} =R$, емкости $Z_{C} = (i\omega \, C)^{-1}$ и индуктивности $Z_{L} =i\omega \, L.$ В справедливости этих выражений можно убедиться, если считать, что $I\left(t\right)=I\exp \left(i\omega \, t\right)$\textit{,}$U\left(t\right)=U\exp \left(i\omega \, t\right)$\textit{,} $\exp \left(i\omega \, t\right)=\cos \left(\omega \, t\right)+i\cdot \sin \left(\omega \, t\right)$, тогда+Для анализа амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) цепей с сосредоточенными параметрами удобно воспользоваться формализмом комплексных сопротивлений. В этом случае импедансы будут равны: резистора $Z_{R} =R$, емкости $Z_{C} = (i\omega \, C)^{-1}$ и индуктивности $Z_{L} =i\omega \, L.$ В справедливости этих выражений можно убедиться, если считать, что $I\left(t\right)=I\exp \left(i\omega t\right)$, $U\left(t\right)=U\exp \left(i\omega t\right)$, $\exp \left(i\omega  t\right)=\cos \left(\omega \, t\right)+i\cdot \sin \left(\omega \, t\right)$, тогда
 $$ $$
 U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t) dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right) \ \ \ \mbox{ (СИ), } U_{C} \left(t\right)=\frac{q}{C} =\frac{1}{C} \cdot \int I\cdot \exp (i\omega t) dt =\frac{1}{i\omega C} I\left(t\right) \ \ \ \mbox{ (СИ), }
 $$ $$
 $$ $$
-U_{L} (t)=L\frac{dI}{dt} =i\omega L{\kern 1pt} I(t)$  \ \ \ \mbox{ (СИ).}+U_{L} (t)=L\frac{dI}{dt} =i\omega L{\kern 1pt} I(t)  \ \ \ \mbox{ (СИ).}
 $$ $$
 Заметим, что вышеприведенные формулы написаны в системе СИ. В системе СГС их эквиваленты будут выглядеть как  Заметим, что вышеприведенные формулы написаны в системе СИ. В системе СГС их эквиваленты будут выглядеть как 
Строка 86: Строка 86:
 U_{L} (t)=\frac{L}{c^{2} } \frac{dI}{dt} =\frac{i\omega L}{c^{2} } {\kern 1pt} I(t) \ \ \ \mbox{   (СГС), } U_{L} (t)=\frac{L}{c^{2} } \frac{dI}{dt} =\frac{i\omega L}{c^{2} } {\kern 1pt} I(t) \ \ \ \mbox{   (СГС), }
 $$ $$
-где $c=3,10^{10} \frac{см}{c}$ --- скорость света в вакууме. +где $c=3\cdot 10^{10} \frac{см}{c}$ --- скорость света в вакууме. 
  
 Закон Ома для комплексных величин записывается в привычном виде. Поэтому фильтр низких частот, или ФНЧ (рис. 14),  Закон Ома для комплексных величин записывается в привычном виде. Поэтому фильтр низких частот, или ФНЧ (рис. 14), 
-{{ :lab5:014.png?400 |}}+{{ :lab5:014.png?500 |}}
 может быть представлен как простой делитель напряжения, но на частотно-зависимых резисторах. Тогда сигнал на выходе мы можем записать как может быть представлен как простой делитель напряжения, но на частотно-зависимых резисторах. Тогда сигнал на выходе мы можем записать как
 $$ $$
-U_{2KE} =\frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{2E} =\frac{1}{1+i\omega RC} U_{2E} =T(\omega )U_{2E} . +U_{вых} =\frac{Z_{C} }{Z_{R} +Z_{C} } U_{вх} =\frac{1}{1+i\omega RC} U_{вх} =T(\omega )U_{вх} . 
 $$  $$ 
 Основной характеристикой четырехполюсников в качестве фильтров является передаточная функция $Т = U_{вых}U_{вх}^{-1}.$ Комплексную передаточную функцию $T(\omega)=\mid T(\omega )\mid \cdot exp(i \varphi (\omega))$ можно трактовать следующим образом. Амплитуда передаточной функции $\mid T(\omega)\mid$ описывает изменение выходного сигнала по амплитуде. Фазовая функция $\varphi (\omega)$ описывает сдвиг фаз между входным и выходным сигналами. Эти две функции $\mid T(\omega)\mid $ и $\varphi (\omega)$ полностью описывают действие нашей схемы. Разлагая входной сигнал на отдельные гармонические составляющие, подвергая их действию передаточной функции $T(\omega )$ и суммируя эти гармоники, мы получим выходной сигнал.  Основной характеристикой четырехполюсников в качестве фильтров является передаточная функция $Т = U_{вых}U_{вх}^{-1}.$ Комплексную передаточную функцию $T(\omega)=\mid T(\omega )\mid \cdot exp(i \varphi (\omega))$ можно трактовать следующим образом. Амплитуда передаточной функции $\mid T(\omega)\mid$ описывает изменение выходного сигнала по амплитуде. Фазовая функция $\varphi (\omega)$ описывает сдвиг фаз между входным и выходным сигналами. Эти две функции $\mid T(\omega)\mid $ и $\varphi (\omega)$ полностью описывают действие нашей схемы. Разлагая входной сигнал на отдельные гармонические составляющие, подвергая их действию передаточной функции $T(\omega )$ и суммируя эти гармоники, мы получим выходной сигнал. 
Строка 111: Строка 111:
 $$ $$
  
-Схема фильтра ФВЧ и его передаточная функция изображены на рис. 15. {{ :lab5:015.png?400 |}}+Схема фильтра ФВЧ и его передаточная функция изображены на рис. 15. {{ :lab5:015.png?500 |}}
  
 Полосовой фильтр является последовательной комбинацией фильтров низких и высоких частот. После несложных, но громоздких выкладок можно найти его передаточную функцию: Полосовой фильтр является последовательной комбинацией фильтров низких и высоких частот. После несложных, но громоздких выкладок можно найти его передаточную функцию:
Строка 122: Строка 122:
  
 Схема полосового фильтра и его передаточная функция показаны на рис. 16. Схема полосового фильтра и его передаточная функция показаны на рис. 16.
-{{ :lab5:016.png?400 |}}+{{ :lab5:016.png?500 |}}
  
 В качестве полосового и заградительного фильтров часто используют схемы на основе резонансных контуров. Использование в фильтрах конденсаторов в сочетании с индуктивностями позволяет сильно «заострить» частотную характеристику схемы по сравнению с пологими характеристиками $RC$--  и $RL$--схем. В качестве полосового и заградительного фильтров часто используют схемы на основе резонансных контуров. Использование в фильтрах конденсаторов в сочетании с индуктивностями позволяет сильно «заострить» частотную характеристику схемы по сравнению с пологими характеристиками $RC$--  и $RL$--схем.
  
-{{ :lab5:017.png?400 |}}+{{ :lab5:017.png?500 |}}
 Например, для схемы, изображенной на рис. 17, импеданс резонансного контура равен  Например, для схемы, изображенной на рис. 17, импеданс резонансного контура равен 
 $$ $$
-Z_{LC} =\sqrt{\frac{L}{C} } \frac{1}{LC\, \sqrt{\left(\omega ^{2} -\frac{1}{LC} \right)^{2} +\omega ^{2} \frac{r^{2} }{L^{2} } } } ,+Z_{LC} =\frac{\sqrt{r^2+\omega ^2 L^2}}{\sqrt{\left(1- \omega ^{2}{LC} \right)^{2} +\omega ^{2} {r^{2} }{C^{2} } } } ,
 $$  $$ 
 и можно получить полуширину резонансной кривой фильтра порядка $\frac{\Delta \omega }{\omega _{0} } \approx \frac{r}{2} \sqrt{\frac{C}{L} } $ при $\omega _{0} L\gg r.$ На рис. 17, справа, показана передаточная функция для следующих параметров: $L=100$мкГн, $C=100$нФ, $R=5$кОм, $r=1$ и $10$Ом.  и можно получить полуширину резонансной кривой фильтра порядка $\frac{\Delta \omega }{\omega _{0} } \approx \frac{r}{2} \sqrt{\frac{C}{L} } $ при $\omega _{0} L\gg r.$ На рис. 17, справа, показана передаточная функция для следующих параметров: $L=100$мкГн, $C=100$нФ, $R=5$кОм, $r=1$ и $10$Ом.