Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:теория61 [2019/09/13 11:57]
root_s
+++ lab6:теория61 [2022/08/30 10:47] (текущий)
root [Слабый скин-эффект]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-===== Проникновение переменного магнитного поля внутрь проводящей трубки =====
+===== Проводник в переменном поле =====
-Лабораторная работа посвящена исследованию проникновения переменного магнитного поля внутрь трубок из проводящих материалов, помещенных в соленоид. «Внешнее» магнитное поле создается переменным током, текущим в соленоиде. Магнитное поле внутри трубки измеряется по величине э.д.с., наводимой переменным магнитным полем в измерительной катушке.
+Из уравнений Максвелла
+\begin{equation} \label{m01}
+\mbox{rot}\vec{E}=-\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
+\end{equation}
+\begin{equation} \label{m1}
+\mbox{rot}\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
+\end{equation}
+следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого
+магнитного поля и наоборот. Для относительно медленного изменения поля (случай квазистационарного приближения) первое слагаемое в (2) значительно больше второго, т.е. **ток проводимости** значительно больше **тока смещения**
+\begin{equation}\label{ogr}
+\frac{4\pi}{c}\vec{j}\gg\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (3)
+\end{equation}
+так что уравнение упрощается, приобретая вид
+\[
+\mbox{rot}\vec{H}\approx \frac{4\pi}{c}\vec{j}. \ \ \ \ \ \ \ \ (4)
+\]
-Теория, которую необходимо проверить в лабораторной работе частично изложена в задаче № 379 [[lab6:теория6#Библиографический список|задачника]] [17]:\\
+В этом приближении
-// Металлический цилиндр бесконечной длины с проводимостью $\sigma $ и магнитной проницаемостью $\mu $ расположен так, что его ось совпадает с осью бесконечного соленоида кругового сечения, по которому течет переменный ток $I =
+вихревое электрическое
-I_0 e^{-i\omega t}$. Найти напряженность магнитного поля во всем пространстве; радиус цилиндра $a,$ радиус соленоида $b,$ число витков на единицу длины $n.$ //
+поле создается изменением магнитного поля, а вихревое магнитное поле
-\\
+создается токами Фуко, текущими по проводнику $\vec{j}=\sigma\vec{E}.$
-Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а первичное магнитное поле $H_0$ однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси.
+Током смещения можно пренебречь лишь при достаточно
-Эти токи создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы множеством отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во внешнем
+высокой проводимости среды $\sigma.$
-пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси.
+===== Скин-эффект и токи Фуко =====
-Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадет с полем $H_0,$ а внутри цилиндра определяется уравнением $ \Delta \vec H=\frac{4\pi \sigma \mu }{c^2}\frac{\partial \vec H}{\partial t},$ которое ввиду осевой симметрии примет вид
-$$\frac{d^2 H}{dr^2}+\frac 1r\frac{dH}{dr}+k^2H=0,$$
-где $k^2=\frac{1+i}{\delta},$ $\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \mu \sigma \omega}},$ $H=H_z(r), H_{\alpha}=H_r=0$ и граничным условием $H(a)= H_0.$
-Решение, удовлетворяющее этому граничному
+Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника найдём
-условию, выразится через [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Бесселя|функцию Бесселя]] нулевого порядка:
+из уравнений Максвелла, подействовав оператором $\mbox{rot}$ на уравнение (4) и используя тождество:
 $$
-H=H_0\frac{J_0(kr)}{J_0(ka)}.
+\mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=\mbox{grad}(\mbox{div} \vec{H}) - \Delta \vec{H}
 $$
-/*Вне цилиндра имеем $H = H_0$ при $a < r < b,$ $H = 0$ при $ r > b.$*/
+с учётом $\mbox{div} \vec{H}=\frac 1\mu\mbox{div} \vec{B}=0, $ запишем цепочку равенств
-Если рассмотреть, как в нашем случае, трубу с внутренним диаметром $b$, то поле внутри трубы будет
+$$
+\mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=- \Delta \vec{H}=
+\mbox{rot}(\frac{4\pi}{c}\vec{j}\,)=\frac{4\pi\sigma}{c}\mbox{rot}\, \vec{E}=-
+\frac{4\pi\sigma}{c^{2}}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
+$$
+Окончательно получаем
+\begin{equation}\label{fuko}
+\Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (5)
+\end{equation}
+Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем
 $
-H=H_0\frac{J_0(kb)}{J_0(ka)}.
+H(t)=H_{0}e^{-i\omega t}.
 $
+Расписывая лапласиан в цилиндрических координатах, придём к уравнению
+$$
+\frac 1r\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial H_z}{\partial r} \right) + \frac{i4\pi\omega \sigma\mu}{c^{2}} H_z=0.
+$$
+Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин--слоя
+\begin{equation}\label{eq12}
+\delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (6)
+\end{equation}
+значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается.
+===== Сильный скин-эффект =====
+{{ :lab6:01.jpg?300 | Рис. 1. Токи и поля при сильном скин-эффекте}}
+Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле,
+меняющееся по гармоническому закону с частотой $\omega .$ Здесь и далее предполагается,
+что поперечные размеры системы  $R$ значительно меньше длины волны электромагнитного
+поля $2\pi c\omega^{-1}$, т.е. $R\ll2\pi c\omega^{-1}$ так, что эффектами запаздывания можно
+пренебречь, рассматривая задачу как квазистационарную.
+Введем ось $x,$ направленную по нормали внутрь проводника и будем искать решение
+в виде
+$$
+H(x,t)=H_z(x)e^{-i\omega t}.
+$$
+Тогда уравнение (5) примет вид:
+\begin{equation}\label{eq11}
+\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (7)
+\end{equation}
+Решением этого уравнения
+будет выражение
+\begin{equation}\label{eq13}
+H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (8)
+\end{equation}
+которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает,
+а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения
+(8) следует, что величина $\delta$
+определяет масштаб ослабления поля в $e$ раз и характеризует
+собой толщину скин--слоя.
+===== Слабый скин-эффект =====
+При выводе выражения (8) с самого начала предполагалось, что $\delta\ll h$, где $h$ --- толщина проводника. По этой причине из решения выпадает радиус цилиндра $R$ (см. рисунок).
+{{ :lab6:02-mod.jpg?400 |Рис 2. Токи и поля при слабом скин-эффекте}}
+Решение для произвольного соотношения $\delta,h$ и $R$ выражается
+функциями Бесселя и не очень удобно для простого анализа, поэтому
+для выяснения роли размеров цилиндра рассмотрим другой предельный
+случай тонкого цилиндра, когда $\delta\gg h$  и $h\ll R.$
+Первое из этих условий позволяет считать,
+что индуцированное электрическое поле $E_{\varphi}$ и зависящая от
+него плотность тока $j_{\varphi}=\sigma E_{\varphi}$ в стенке цилиндра практически
+однородны.
+Тогда из уравнения Максвелла (2), интегрируя по площади, запишем
+$$
+\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{H}\cdot d\vec S=\int\limits_S\frac{4\pi}{c}\vec{j}\cdot d\vec S = - \frac{4\pi}{c}j_{\varphi}Lh = -\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}Lh.
+$$
+Первый интеграл запишем, воспользовавшись теоремой Стокса
+$$
+\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{H}\cdot d\vec S=\oint\limits_{L}\vec{H}\cdot d\vec \ell= (H_0-H_1)L
+$$
+и интегрируя по замкнутому контуру, ограничивающему площадь $S$.
+В итоге получим:
+\begin{equation}\label{eq17}
+H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (9)
+\end{equation}
+где $H_{0}$ и $H_{1}$ --- амплитуды магнитного поля снаружи и внутри
+цилиндра.
+Из условия $ h\ll R$ следует, что сечение стенки цилиндра $S=h\cdot L$ значительно меньше сечения полости $R\cdot L$, тогда изменением магнитного поля в стенке можно пренебречь. Выражение для циркуляции  электрического поля получим из уравнения Максвелла (1):
+$$
+\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{E}\cdot d\vec S=
+-\int\limits_{S}\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec S =
+\int\limits_{S}\frac {i\omega \mu}c H_z \cdot d S =
+\frac {i\omega \mu}c H_z\pi R^2,
+$$
+где воспользовались тем, что поле
+$
+H(r,t)=H_ze^{-i\omega t}.
+$
+Первый интеграл найдём с учётом теоремы Стокса
+$$
+\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{E}\cdot d\vec S=
+\oint\limits_{L}\vec{E}\cdot d\vec \ell =E_{\varphi}2\pi R.
+$$
+В итоге получим
+\begin{equation}\label{eq18}
+E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (10)
+\end{equation}
+Подставляя (9) в (10),
+найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра:
+$$
+H_{1}=H_{0}\left( 1-\frac{ihR}{\delta^{2}}\right) ^{-1}.
+$$
+Преобразуем в экспоненциальную форму:
+\begin{equation}\label{eq20}
+H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (11)
+\end{equation}
+Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная
+величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является **параметром подобия**.
+Из (11) следует, что ослабление поля внутри цилиндра зависит
+не только от отношения $\frac{\delta}{h},$ но и от величины $\frac{\delta}{R}.$
+Очевидно, что поле в полости существенно ослабляется при $\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}\gg1.$
+Если взять корень четвертой степени от этого выражения, то придём к очень слабому
+неравенству
+$
+\delta<\sqrt{hR},
+$
+которое является условием эффективного экранирования переменного поля тонкостенным
+проводником. Для работы этого условия достаточно, чтобы $\delta$ лишь в два раза было меньше
+$\sqrt{hR}$.
+Выражение (11) справедливо вплоть до значений
+$\delta\sim h.$ При более высоких частотах оно становится неприменимым,
+и следует воспользоваться выражением (8).
-Теория, которую необходимо прочитать до начала работы изложена в разделах основной теории раздела. Из неё следует, что в случае слабого скин--эффекта безразмерная величина $\frac{hR}{\delta ^2},$ являющаяся комбинацией среднего радиуса трубки, толщины ее стенки и толщины скин--слоя, является параметром подобия для задачи об экранировании поля. После ответа на контрольные вопросы можно приступать к эксперименту. При выполнении работы может быть использован специальный бланк, который предназначен для контроля готовности студента к выполнению работы, а также для внесения в него экспериментальных данных и результатов их обработки.
+Назад к [[lab6:lab6|описанию]] лабораторных работ "Проникновение электромагнитного поля в вещество" или далее к описанию [[:lab6:эксп61| экспериментальной установки.]]
-далее к  [[:lab6:допуск61|допуску к эксперименту]]