Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:теория61 [2022/08/30 10:41]
root [Проводник в переменном поле]
+++ lab6:теория61 [2022/08/30 10:47] (текущий)
root [Слабый скин-эффект]
@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника найдём
-из уравнений Максвелла, подействовав оператором $\mbox{rot}$ на уравнение (2) и используя тождество:
+из уравнений Максвелла, подействовав оператором $\mbox{rot}$ на уравнение (4) и используя тождество:
 $$
 \mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=\mbox{grad}(\mbox{div} \vec{H}) - \Delta \vec{H}
@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 Окончательно получаем
 \begin{equation}\label{fuko}
-\Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (4)
+\Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (5)
 \end{equation}
 Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем
@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин--слоя
 \begin{equation}\label{eq12}
-\delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (5)
+\delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (6)
 \end{equation}
 значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается.
 ===== Сильный скин-эффект =====
-{{ :lab6:01.jpg?300 | Токи и поля при сильном скин-эффекте}}
+{{ :lab6:01.jpg?300 | Рис. 1. Токи и поля при сильном скин-эффекте}}
 Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле,
 меняющееся по гармоническому закону с частотой $\omega .$ Здесь и далее предполагается,
@@ Строка 67: / Строка 67: @@
 H(x,t)=H_z(x)e^{-i\omega t}.
 $$
-Тогда уравнение (4) примет вид:
+Тогда уравнение (5) примет вид:
 \begin{equation}\label{eq11}
-\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (6)
+\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}.  \ \ \ \ \ \ \ \ (7)
 \end{equation}
@@ Строка 76: / Строка 76: @@
 будет выражение
 \begin{equation}\label{eq13}
-H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (7)
+H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (8)
 \end{equation}
 которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает,
 а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения
-(7) следует, что величина $\delta$
+(8) следует, что величина $\delta$
 определяет масштаб ослабления поля в $e$ раз и характеризует
 собой толщину скин--слоя.
@@ Строка 86: / Строка 86: @@
-При выводе выражения (7) с самого начала предполагалось, что $\delta\ll h$, где $h$ --- толщина проводника. По этой причине из решения выпадает радиус цилиндра $R$ (см. рисунок).
+При выводе выражения (8) с самого начала предполагалось, что $\delta\ll h$, где $h$ --- толщина проводника. По этой причине из решения выпадает радиус цилиндра $R$ (см. рисунок).
-{{ :lab6:02-mod.jpg?400 |Токи и поля при слабом скин-эффекте}}
+{{ :lab6:02-mod.jpg?400 |Рис 2. Токи и поля при слабом скин-эффекте}}
 Решение для произвольного соотношения $\delta,h$ и $R$ выражается
 функциями Бесселя и не очень удобно для простого анализа, поэтому
@@ Строка 107: / Строка 107: @@
 В итоге получим:
 \begin{equation}\label{eq17}
-H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (8)
+H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (9)
 \end{equation}
 где $H_{0}$ и $H_{1}$ --- амплитуды магнитного поля снаружи и внутри
@@ Строка 130: / Строка 130: @@
 В итоге получим
 \begin{equation}\label{eq18}
-E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (9)
+E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (10)
 \end{equation}
-Подставляя (8) в (9),
+Подставляя (9) в (10),
 найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра:
 $$
@@ Строка 139: / Строка 139: @@
 Преобразуем в экспоненциальную форму:
 \begin{equation}\label{eq20}
-H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (10)
+H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (11)
 \end{equation}
 Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная
 величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является **параметром подобия**.
-Из (10) следует, что ослабление поля внутри цилиндра зависит
+Из (11) следует, что ослабление поля внутри цилиндра зависит
 не только от отношения $\frac{\delta}{h},$ но и от величины $\frac{\delta}{R}.$
 Очевидно, что поле в полости существенно ослабляется при $\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}\gg1.$
@@ Строка 155: / Строка 155: @@
 проводником. Для работы этого условия достаточно, чтобы $\delta$ лишь в два раза было меньше
 $\sqrt{hR}$.
-Выражение (10) справедливо вплоть до значений
+Выражение (11) справедливо вплоть до значений
 $\delta\sim h.$ При более высоких частотах оно становится неприменимым,
-и следует воспользоваться выражением (7).
+и следует воспользоваться выражением (8).