Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:теория_62 [2025/09/01 14:25]
root [Проводник в переменном поле]
+++ lab6:теория_62 [2025/09/01 15:18] (текущий)
root [Список литературы]
@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 \mu = 1 + 4\pi\chi,
 $$
-где $\mathbf{B}$ --- вектор магнитной индукции, как правило, говорят, что это истинное магнитное поле; $\mathbf{H}$ --- вектор напряжённости магнитного поля, который, как известно \cite{iakovkev}, является вспомогательным вектором; $\mathbf{M}$ --- вектор намагниченности вещества, представляющий собой магнитный момент единицы объёма тела; $\mu $  --- магнитная проницаемость; $\chi $ --- магнитная восприимчивость вещества.
+где $\mathbf{B}$ --- вектор магнитной индукции, как правило, говорят, что это истинное магнитное поле; $\mathbf{H}$ --- вектор напряжённости магнитного поля, который, как известно, является вспомогательным вектором; $\mathbf{M}$ --- вектор намагниченности вещества, представляющий собой магнитный момент единицы объёма тела; $\mu $  --- магнитная проницаемость; $\chi $ --- магнитная восприимчивость вещества.
 В отличие от диэлектрической восприимчивости магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Вещества с $\chi > 0$ называются парамагнетиками, вещества с $\chi < 0$ --- диамагнетиками.
@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 Найдем магнитную поляризуемость для цилиндрического проводника радиуса $a$, помещенного в однородное переменное магнитное поле, параллельное оси цилиндра ($\mathbf{H}_e = H_0 e^{-i\omega t}$). Эту задачу можно решить исходя из уравнений Максвелла:
 \begin{equation}\label{rot-E}
-	\mbox{rot}\mathbf{E}=-\frac 1c \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
+	\mbox{rot}\mathbf{E}=-\frac 1c \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \ \ \ \ (1)
 \end{equation}
 \begin{equation}\label{rot-H}
-	\mbox{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac 1c \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\approx \frac{4\pi}{c}\sigma\mathbf{E}.
+	\mbox{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\frac 1c \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\approx \frac{4\pi}{c}\sigma\mathbf{E}. \ \ \ \ \ (2)
 \end{equation}
 В этой системе уравнений не учтён ток смещения, так как он мал по сравнению с током проводимости при $\omega \ll 4\pi\sigma/\varepsilon$. Предполагается также, что длина волны, соответствующая частоте поля $\omega$, велика по сравнению с размерами тела ($c/\omega \gg \ell $), период изменения поля мал по сравнению с характерным временем микроскопического механизма проводимости ($1/\omega \ll \tau$, $\tau$ --- время свободного пробега электронов), а длина свободного пробега электронов мала по сравнению с масштабом, на котором заметно изменяется поле.
+==== Метод последовательных приближений ====
+Будем искать магнитную поляризуемость методом последовательных приближений в случае слабого скин--эффекта, когда глубина проникновения поля
+\begin{equation}\label{delta}
+	\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }} \ \ \ \ \ (3)
+\end{equation}
+велика по сравнению с радиусом проводника --- $\delta \gg a$.
+В нулевом приближении можно считать, что магнитное поле внутри проводника постоянное и равно внешнему полю $\mathbf{H}_0=\mathbf{H}$. Следующим шагом, с помощью уравнения (1) вычислим электрическое поле $\mathbf{E}_0$, далее по формуле $\mathbf{j}_0=\sigma\mathbf{E}_0$, вычислим соответствующий ему ток. Затем в первом приближении вычислим поле в проводнике $\mathbf{H}_1$, создаваемое этим током. Далее повтор --- вычислим $\mathbf{E}_1$, $\mathbf{j}_1$ и поляризуемость $\beta ,$ вычисляя магнитный момент, создаваемый  этими токами, с помощью уравнения
+$$
+\mathbf{M}=\frac{1}{2c}\int \mathbf{r}\times \mathbf{j}\ dV.
+$$
+В данном случае $\mathbf{M}$ является магнитным моментом единицы длины цилиндра.
+Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля
+\begin{equation}\label{field-H}
+	\mathbf{H} = (H_r,H_\phi,H_z) = (0,0,He^{-i\omega t}). \ \ \ \ \ (4)
+\end{equation}
+Используя дифференциальные операторы в цилиндрических координатах, произведём вычисления:
+$$
+\mbox{rot}\mathbf{E} =\frac{1}{r}\frac{\partial(rE_{\phi})}{\partial r} = - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac{i\omega}{c}H_{z} \Rightarrow
+$$
+\begin{equation}\label{p0}
+E_0=\frac{i\omega }{2c} r\mu H_z \ \Rightarrow \ j_0 = \frac{i\sigma \omega }{2c} r\mu H_z  \
+\Rightarrow \
+M_0 =\frac{i\pi \sigma \omega }{8c^2}a^4\mu H_z. \ \ \ \ \ (5)
+\end{equation}
+В нулевом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра --- чисто мнимая величина
+\begin{equation}\label{beta0}
+	\beta _0=\frac{\pi \sigma \omega \mu a^4}{8c^2}. \ \ \ \ \ (6)
+\end{equation}
+Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами $j_0$ из уравнения (5) и повторим процедуру:
+\begin{equation}\label{field-H1}
+	\mbox{rot}\mathbf{H}_1 = \frac{4\pi}c \mathbf{j}_0 \ \Rightarrow \ H_1 = \frac{i\pi\sigma \omega \mu }{c^2}r^2H_z. \ \ \ \ \  (7)
+\end{equation}
+Далее
+$$
+E_1 = -\frac{\pi \sigma \omega ^2\mu ^2}{2c^3}H_zr^3
+\ \Rightarrow \
+j_1 = -\frac{\pi \sigma ^2 \omega ^2\mu ^2}{2c^3}H_zr^3
+\ \Rightarrow \
+$$
+$$
+M_1 =\frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2\mu ^2}{12c^4}a^6 H_z
+\ \Rightarrow \
+\beta _1= - \frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2\mu ^2}{12c^4}a^6.
+$$
+В итоге получим, что
+\begin{equation}\label{tg}
+	\text{tg}\, \varphi =\frac{\chi _1}{\chi _0}=\frac{\beta _1}{\beta _0}=
+-\frac{\pi ^2 \sigma d ^2\mu }{3c^2}f, \ \ \ \ \ (8)
+\end{equation}
+где $f =\frac{\omega}{2\pi}$ --- частота, а $d = 2a$ --- диаметр образца.
+Из (8) получим выражение для расчёта проводимости
+\begin{equation}\label{sigma}
+\sigma=	-\frac{3c^2\text{tg}\, \varphi }{\pi ^2 d ^2 \mu f }. \ \ \ \ \ (9)
+\end{equation}
+Магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создаётся, в основном, возникающими в теле токами проводимости, он отличен от нуля даже при $\mu =1,$ когда статический момент обращается в нуль. Cтатический магнитный момент должен получаться из $\mathbf{M}(\omega )$ при $\omega \to 0.$ Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости $\beta _1$ при $\omega \to 0$ стремится к постоянному значению (равному нулю при $\mu =1$). Возникновение вихревых токов сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Диссипация энергии определяется мнимой частью магнитной поляризуемости $\beta _0$.
+Полученное приближённое соотношение (8) может использоваться для бесконтактного определения проводимости.
+Приближённое решение (8) можно получить (задача 382, задачника Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., Сборник задач по электродинамике. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.) из точного решения:
+$$
+\beta = -\frac{1}{4\pi}\Big(1-\frac{2}{ka}\frac{J_1(ka)}{J_0(ka)}\Big),
+$$
+где $k = \frac{1+ i}\delta$ при $\delta \gg a$, разлагая функции Бесселя в ряд по степеням $ka$
+$$
+J_0(ka)=1-\frac{(ka)^2}{2^2}+\frac{(ka)^4}{(2\cdot 4)^2}-\frac{(ka)^6}{(2\cdot 4\cdot 6)^2} + \ldots ,
+$$
+$$
+J_1(ka)=\frac{ka}{2}\Big(1-\frac{(ka)^2}{2\cdot 2^2}+\frac{(ka)^4}{3\cdot (2\cdot 4)^2}-\frac{(ka)^6}{4\cdot (2\cdot 4\cdot 6)^2} + \ldots \Big).
+$$
+Учёт последующих порядков разложения по параметру $ka$ приведёт к модификации выражения (9)
+\begin{equation}\label{sigma2}
+	\sigma=	-\frac{3c^2\, \text{tg}\,(\varphi) \, F(\text{tg}\, \varphi)}{\pi ^2 d ^2 \mu f }, \ \ \ \ \ (10)
+\end{equation}
+где функцию $F(x)$ в интервале $x\in [0;5]$ можно аппроксимировать полиномом:
+$$
+F(x)\approx 1+0,0121x+0,0112x^2+0,018x^3-0,00254x^4.
+$$
+Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т.е. $\beta _0 (\omega = 0) =\overline{\beta }\neq 0$, то вместо формулы (8) следует воспользоваться выражением
+\begin{equation}\label{tg-mod}
+	\mbox{tg}(\varphi) =
+\frac{16c^2\overline{\beta }}{\pi d^2\sigma \mu f}
+-\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (11)
+\end{equation}
+Эта формула правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки $f = f_0,$ в которой $\mbox{tg}\, \varphi = 0.$
+Полученное приближённое выражение (10) может использовать для бесконтактного определения проводимости на малых частотах.
+==== Список литературы ====
+  - Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2001.
+  - Вонсовский С. В. Магнетизм. М.: Наука: Физматлит, 1984.
+  - Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1. Новосибирск: НГУ, 2003.
+  - Батыгин В. В., Топтыгин И. Н., Сборник задач по электродинамике. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.
+  - Варченко A.A., Канель O.M., Крафтмахер Я.А., Романенко А.И. Измерение остаточного сопротивления методом комплексной магнитной восприимчивости. Научные труды Гиредмета, 1980, Т. 96, c. 26--40.
+  - Крафтмахер Я.А. Измерение электропроводности по фазовому углу эффективной магнитной восприимчивости. Новосибирск: АН СССР, Сибирское отделение, Институт неорганической химии. Препринт № 89--24, 1989.
+[[:lab6:эксперимент62|Далее к эксперименту]]