Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:теория_63 [2019/04/21 14:43]
root_s [Приложение 1.]
+++ lab6:теория_63 [2022/09/09 14:19] (текущий)
root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-=====Теория =====
+В случае тонкостенной=====Теория =====
 Эффектной демонстрацией законов электродинамики является опыт с падением постоянного магнита в длинной проводящей трубе. Тормозящая сила, действующая на магнит, существенно замедляет его движение, а время падения магнита увеличивается во много раз.
@@ Строка 65: / Строка 65: @@
 \ \ \ \ \ (11)
 $$
-В случае тонкостенной трубки, $b-a\ll a,$ это выражение приводится к результату:
+В случае тонкостенной трубки толщины $h=b-a\ll a,$ это выражение приводится к виду:
 $$
 F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma m^{2} vh}{a^{4} c^{2} }.
@@ Строка 82: / Строка 82: @@
 \ \ \ \ \ (14)
 $$
-где $v_{1}$ --- скорость магнита в центре первой катушки. Для хорошо проводящих трубок магнит тормозится до конечной скорости $v_{\infty } $ очень быстро после начала падения; для таких трубок $v_{1} =v_{\infty } $. Коэффициент $\beta $\textit{ }может быть определен как отношение $\frac{g}{v_{\infty }}.$
+где $v_{1}$ --- скорость магнита в центре первой катушки. Для хорошо проводящих трубок магнит тормозится до конечной скорости $v_{\infty } $ очень быстро после начала падения и для таких трубок $v_{1} =v_{\infty } $, тогда $\ddot{z}_{m}=0$, следовательно, коэффициент $\beta =\frac{g}{v_{\infty }}$, а из (12) получим
+$$
+\beta =\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma m^{2} h}{Ma^{4} c^{2} }.
+$$
 Рассмотрим теперь другой способ измерения магнитного момента постоянного магнита. Пусть вокруг трубы в различных местах вдоль оси намотаны витки проволоки, соединенные последовательно между собой. Тогда при прохождении магнита через плоскость очередного витка на концах последнего будет возникать разность потенциалов. Для вычисления воспользуемся выражением (6):
 $$
-U_{i} \left(t\right)=E_{\alpha } \left(z_{i} ,t\right)\cdot 2\pi \rho =\frac{6\pi \rho }{c} \frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} },
+U_{i} \left(t\right)=E_{\alpha } \left(z_{i} ,t\right)\cdot 2\pi \rho =\frac{6\pi \rho \dot{z}_{m}}{c}  \frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} },
 \ \ \ \ \ (15)
 $$
 где $\rho =b+\frac d2$ --- радиус измерительного витка, $d$ --- диаметр проволоки, $z_{i} $ --- координата $i$-того витка, а $z_{m} (t)$ --- координата магнита в момент времени $t$, рассчитанная по формуле (14). Если все витки соединены последовательно, то напряжение, снимаемое со всех витков, равно сумме напряжений от каждого из $N$ витков:
 $$
-U\left(t\right)=\frac{6\pi \rho }{c} \sum _{i=1}^{N}\frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} }.
+U\left(t\right)=\frac{6\pi \rho \dot{z}_{m}}{c}  \sum _{i=1}^{N}\frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} }.
 \ \ \ \ \ (16)
 $$
@@ Строка 119: / Строка 122: @@
 \ \ \ \ \ (20)
 $$
-с точностью до нескольких процентов при $\Delta \alpha \le \frac{3\pi }{2} $. Подробное решение этой задачи приведено в приложении 1.
+с точностью до нескольких процентов при $\Delta \alpha \le \frac{3\pi }{2} $. Подробное решение этой задачи приведено в [[приложение_1|приложении 1]].
 ===== Литература =====
@@ Строка 128: / Строка 131: @@
   - Таблицы физических величин. Справочник. Под. ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.
-===== Приложение 1. =====
-Решение уравнения (18) будем искать в виде
+Назад к [[lab6:lab6|описанию]] лабораторных работ "Проникновение электромагнитного поля в вещество" или далее к [[:lab6:эксп63|экспериментальной установке]]
-$$
-\phi \left(\alpha ,z\right)=\int _{0}^{\infty }dk\sin (kz-kvt)\left[\mu _{k} \exp \left(ka\alpha \right)+\nu _{k} \exp \left(-ka\alpha \right)\right] ,
-\ \ \ \ \ (22)
-$$
-а коэффициенты $\mu _{k} $ и $\nu _{k} $ находятся из граничных условий для азимутальной компоненты плотности тока $j_{\alpha } =0$ на обоих краях разреза. Обозначив угловую ширину разреза через $\Delta \alpha $ и приняв, что краям разреза соответствуют азимуты $\alpha =\pm (\pi -\frac{\Delta \alpha }{2})$, находим:
-$$
-\mu _{k} =-\nu _{k} =-\frac{mv}{\pi c} \frac{kK_{1} (ka)}{\cosh \left[\left(\pi -\frac{\Delta \alpha}{2}\right)ka\right]} ,
-\ \ \ \ \ (22)
-$$
-где $K_{1} $ --- функция Бесселя первого порядка второго рода [2, с.777]. Мощность, диссипируемая в стенке равна
-$$
-P=\frac{h}{\sigma} \int _{-\pi +\Delta \alpha /2}^{\pi -\Delta \alpha /2}d\alpha a\int _{-\infty }^{\infty }dz\left[j_{\alpha }^{2} +j_{z}^{2} \right],
-\ \ \ \ \ (23)
-$$
-где компоненты плотности тока $j_{\alpha } $ и $j_{z} $ вычисляются с помощью уравнений (17), (21) и (22):
-$$
-j_{\alpha } =\frac{2m\sigma v}{\pi c} \int _{0}^{\infty }dkk^{2}  K_{1} \left(ka\right)\sin \left[k\left(z-vt\right)\right]\frac{\cosh \left[ka\alpha \right]-\cosh \left[\left(\pi -\alpha /2\right)ka\right]}{\cosh \left[\left(\pi -\alpha /2\right)ka\right]} ,
-$$
-$$
-j_{z} =\frac{2m\sigma v}{\pi c} \int _{0}^{\infty }dkk^{2}  K_{1} \left(ka\right)\cos \left[k\left(z-vt\right)\right]\frac{\sinh \left[ka\alpha \right]}{\cosh \left[\left(\pi -\alpha /2\right)ka\right]} .
-\ \ \ \ \ (24)
-$$
-Выполнив интегрирование по $\alpha $ и $z$ в уравнении (21) и разделив результат на $v$, находим силу торможения:
-$$
-F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma vh}{c^{2} } \frac{m^{2} }{a^{4} } Q\left(\pi -\frac 12 \alpha \right),
-$$
-где функция
-$$
-Q\left(\beta \right)=\frac{512}{45\pi ^{3} } \int _{0}^{\infty }d\xi \xi ^{3} K_{1}^{2}  \left(\xi \right)\left[\beta \xi -\tanh \left(\beta \xi \right)\right]
-\ \ \ \ \ (25)
-$$
-дает отношение тормозящей силы в трубе с разрезом и без разреза.