Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:эксперимент62 [2019/04/20 13:47]
root_s создано
+++ lab6:эксперимент62 [2019/04/22 10:42] (текущий)
root_s [Экспериментальная установка]
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле [18] (метод дифференциального трансформатора). Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (см. рис. 4). {{ :lab6:004.png?direct&400 |}} Образец 1 помещают внутрь одной из катушек датчика. Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю. При помещении образца 1 внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца:
 $$
----
+U_{вых}\propto\frac{\partial M}{\partial t}=
+\frac{\partial }{\partial t}(\chi H_0 e^{-i\omega t})=
+-i\omega \chi H_0 e^{-i\omega t}=
 $$
-Здесь мы представили χ в виде χ χ= 0eiβ, где tgβ=α/ − из α
+$$
-соотношения (12). Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину ϕ= (π β/ 2− ) относительно магнитного поля. Воспользовавшись тем, что tg(π/ 2 −β) = ctgβ, получим
+-i\omega \chi_0 e^{i\beta} H_0 e^{-i\omega t}=
-	α πσ/	2 d 2
+i\omega \chi_0 H_0 e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\beta )}.
-	tgϕ β= ctg	=α// = −	3c2	f .  	 	 	  	 (30)
+$$
-Таким образом, построив график зависимости tgϕ от частоты f , по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость σ.
+Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi_0 e^{i\beta}$, где $\mbox{tg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}$ --- из
-Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т. е. α1/ (ω= 0) =α01 , то вместо формулы (13) следует воспользоваться выражением
+соотношения (12). Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину $\varphi = \frac{\pi}{2}-\beta$ относительно магнитного поля. Воспользовавшись тем, что $\mbox{tg}(\frac{\pi}{2}-\beta) = \mbox{ctg}\beta,$ получим
-	tgϕ β= ctg	=α π σµα/// = 16dc22α01f −πσµ23c2d 2 f .                     (31)
+$$
-Эта формула, как и выражение (30), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки f = f0 , в которой tgϕ= 0 .
+\mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}=
+-\frac{\pi^2\sigma d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (30)
+$$
+Таким образом, построив график зависимости $\mbox{tg}(\varphi) $ от частоты $f,$ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость $\sigma .$
+Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т.е. $\alpha '_1 (\omega = 0) =\alpha _{01},$ то вместо формулы (13) следует воспользоваться выражением
+$$
+\mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}=
+\frac{16c^2\alpha _{10}}{\pi d^2\sigma \mu f}
+-\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (31)
+$$
+Эта формула, как и выражение (30), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки $f = f_0,$ в которой $\mbox{tg}\varphi = 0.$
+===== Порядок выполнения эксперимента =====
+) Соберите схему (см. рис.4, где 1 --- образец; 2,3 --- катушки взаимной индуктивности; $N$ --- двухканальный осциллограф; G --- генератор низких частот) и проведите измерения $\varphi $ для двух (или трех) цилиндрических образцов методом фигур Лиссажу.
+{{ :lab6:004.png?direct&400 |}}
+Выбор полосы частот для проведения измерений зависит от величины проводимости материала образца. Например, для меди можно выбрать полосу частот от 200 Гц до 1 кГц (с интервалом 100 Гц). Для материалов с низкой проводимостью (таких, как титан) имеет смысл начинать измерения с частоты (1 --- 2) кГц.
+Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты $f_0$ (на этой частоте, в соответствии с формулами (31) и (31а), фазовый сдвиг обращается в нуль). __Примечание.__ Исследование влияния параметра $\mu $ на крутизну участка вблизи $f_0,$ а также исследование свойств меди и других проводников на высоких частотах можно рекомендовать в качестве курсовой работы.
+) Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости $\sigma $ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями.
+===== Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу [5] =====
+На экране двухканального осциллографа результат сложения гармонических колебаний одинаковой частоты имеет вид эллипса. Действительно, если точка P одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законам
+$$
+x = A_1 \sin(\omega t +\varphi _1) \ \ \mbox{ и } \ \ y = A_2 \sin(\omega t +\varphi _2),
+$$
+где $x$ и $y$ --- декартовы координаты точки $P,$ то
+уравнение траектории результирующего движения точки $P$ в плоскости **XOY** можно найти, исключив из выражений для координат $x$ и $y$ параметр $t:$
+$$
+(\frac{x}{A_1})^2 + (\frac{y}{A_2})^2 - 2[\frac{xy}{A_1A_2}]\cos(\varphi_2 -\varphi _1) = \sin^2 (\varphi _2 - \varphi_1).
+$$
+Очевидно, координаты точек пересечения эллипса с осями координат зависят от величины $|\varphi _2 - \varphi_1 |.$
+Вставьте исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Произведите измерение величины $\sin(\varphi _2 - \varphi_1).$ После этого вставьте исследуемый образец в другое гнездо дифференциального трансформатора и повторите измерения на той же частоте. Определите среднее значение $\varphi = \varphi _2 - \varphi_1 .$
+===== Содержание отчета  =====
+Отчет должен содержать следующие измеренные данные, результаты их обработки и анализа:
+  * расчетные формулы;
+  * схему измерительной установки;
+  * графики зависимостей $\mbox{tg}\varphi $ от частоты;
+  * значения удельной проводимости для каждого из исследованных образцов с указанием погрешности и сравнение их с табличными значениями.
+===== Приложение. Метод последовательных приближений =====
+Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубиc
+на проникновения поля $\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }}$
+велика по сравнению с радиусом проводника ($\delta \gg a ,$ случай слабого //скин--эффекта//), методом последовательных приближений.
+В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю $H_{stat}.$ C учетом граничных условий в нашей задаче $H_{stat} = H_e.$ Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения (2) электрического поля $E,$ потом, по формуле (6), соответствующих ему токов $j,$ а затем --- создаваемого ими в проводнике поля $H_i.$ Подставив найденное $H_i$ в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т.д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость $\alpha ,$ только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами $j,$ с помощью уравнения
+$$
+M_1=\frac{1}{2c}\int jr\ dV.
+\ \ \ \ \ (32)$$
+Здесь $M_1,$ в отличие от $M,$ является магнитным моментом единицы длины цилиндра.
+Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты: $H_e = (0,0,H_0).$ Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом:
+$$
+\Delta \vec H_i=0 \Rightarrow \vec H_i=\vec H_e =\vec e_z H_0;
+$$
+$$
+\mbox{rot}\vec E = - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}=
+i\frac{\omega }{c}\vec H_e \Rightarrow E_{\varphi }=\frac{i\omega }{2c} H_0r; \ \ \ \ \ (33)
+$$
+$$
+\vec j =\sigma \vec E \Rightarrow j_{\varphi } = \frac{i\sigma \omega }{2c} H_0 r; \ \ \ \ \ (34)
+$$
+$$
+M_1 =\frac{1}{2c}\int jr \ dV = \frac{i\pi \sigma \omega }{8c^2}a^4H_0.
+\ \ \ \ \ (35)
+$$
+Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра --- чисто мнимая величина, равная $\alpha ''=\frac{\pi \sigma \omega}{8c^2}a^4.$ Так как мы рассматриваем случай слабого скин--эффекта, т.е. $\delta \gg a,$ то полученное значение $\alpha ''$ пропорционально величине второго порядка малости $\frac{a^2}{\delta ^2}.$
+Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами $j$ из уравнения (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру:
+$$
+\mbox{rot}\vec H = \frac{4\pi}c \vec j \Rightarrow H_z^{(2)} = \frac{i\pi\sigma \omega }{c^2}H_0. \ \ \ \ \ (36)
+$$
+Индекс $^{(2)}$ означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe $z$ компоненты, равны нулю; индекс $(i),$ означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее
+$$
+E_{\varphi } = −\frac{\pi \sigma \omega ^2}{2c^3}H_0r^3;
+\ \ \ \ \ (37)
+$$
+$$
+j_{\varphi} = −\frac{\pi \sigma ^2 \omega ^2}{2c^3}H_0r^3; \ \ \ \ \ (38)
+$$
+$$
+M_1 =\frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6 H_0. \ \ \ \ \ (39)
+$$
+Другими словами, во втором приближении магнитная поляризуемость действительная величина
+$$
+\alpha _1'= - \frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6,
+$$
+пропорциональная величине четвертого порядка малости $\frac{a^4}{\delta ^4}.$ Используя формулы (39) и (35), получим, что
+$$
+\frac{\chi '}{\chi ''}=\frac{\alpha '}{\alpha ''}=
+-\frac{\pi ^2 \sigma d ^2}{3c^2}f, \ \ \ \ \ (40)
+$$
+где $f =\frac{\omega}{2\pi}$ --- частота, а $d = 2a$ --- диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (27) при $\delta \gg a,$ разлагая функции Бесселя в ряд по степеням $ka$ (см. разд. 3.1).