lab6:эксперимент62

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
lab6:эксперимент62 [2019/04/21 11:25]
root_s [Приложение. Метод последовательных приближений] 		lab6:эксперимент62 [2019/04/22 10:42] (текущий)
root_s [Экспериментальная установка]
Строка 17: Строка 17:
 $$ $$
 -i\omega \chi_0 e^{i\beta} H_0 e^{-i\omega t}= -i\omega \chi_0 e^{i\beta} H_0 e^{-i\omega t}=
-i\omega \chi_0 H_0 e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\beta}.+i\omega \chi_0 H_0 e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\beta )}.
 $$ $$
 Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi_0 e^{i\beta}$, где $\mbox{tg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}$ --- из  Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi_0 e^{i\beta}$, где $\mbox{tg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}$ --- из 
Строка 30: Строка 30:
 $$ $$
 \mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= \mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}=
-\frac{16c^2\alpha _{10}}{\pi d^2\sigma \mu f}-+\frac{16c^2\alpha _{10}}{\pi d^2\sigma \mu f}
 -\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (31)  -\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (31) 
 $$ $$
Строка 73: Строка 73:
 Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубиc Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубиc
 на проникновения поля $\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }}$ на проникновения поля $\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }}$
-велика по сравнению с радиусом проводника (δ>> a , случай слабого скин-эффекта), методом последовательных приближений.   +велика по сравнению с радиусом проводника ($\delta \gg a ,$ случай слабого //скин--эффекта//), методом последовательных приближений.   
-В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю Hstat . C учетом граничных условий в нашей задаче Hstat = He . Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения(2) электрического поля E , потом, по формуле (6), соответствующих ему токов j , а затем − создаваемого ими в проводнике поля Hi . Подставив найденное Hi в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т. д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость α, только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами j , с помощью уравнения  + 
- M jrdV .  (32)  +В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю $H_{stat}.$ C учетом граничных условий в нашей задаче $H_{stat} = H_e.$ Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения (2) электрического поля $E,$ потом, по формуле (6), соответствующих ему токов $j,$ а затем --- создаваемого ими в проводнике поля $H_i.$ Подставив найденное $H_i$ в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т.д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость $\alpha ,$ только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами $j,$ с помощью уравнения  
-Здесь M1, в отличие от M , является магнитным моментом единицы длины цилиндра.  +$$ 
-Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты: He = (0,0,H0 ) . Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом:  +M_1=\frac{1}{2c}\int jr\ dV. 
-∆ =Hi 0 ⇒H Hi = e = H0ez ;    +\ \ \ \ \ (32)$$ 
-  + 
-(32)  +Здесь $M_1,$ в отличие от $M,$ является магнитным моментом единицы длины цилиндра.  
-1 + 
-rotE = − ∂B = iωHe ⇒ Eϕ = iωH r0 ;  +Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты: $H_e = (0,0,H_0).$ Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом:  
- c ∂t c 2c +$$ 
-  +\Delta \vec H_i=0 \Rightarrow \vec H_i=\vec H_e =\vec e_z H_0; 
-(33)  +$$  
-i +$$ 
- j =σE ⇒ jϕ = σωH r0 ;  +\mbox{rot}\vec E = - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}= 
-2c +i\frac{\omega }{c}\vec H_e \Rightarrow E_{\varphi }=\frac{i\omega }{2c} H_0r; \ \ \ \ \ (33)  
-  +$$ 
-(34)  +$$ 
- 1 i +\vec j =\sigma \vec E \Rightarrow j_{\varphi } = \frac{i\sigma \omega }{2c} H_0 r; \ \ \ \ \ (34) 
- M1 = ∫ jrdV = πσω2 a H4 0 .  +$$ 
-  +$$ 
-(35)  +M_1 =\frac{1}{2c}\int jr \ dV = \frac{i\pi \sigma \omega }{8c^2}a^4H_0. 
- 2c 8c +\ \ \ \ \ (35) 
-Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра − чисто мнимая величина, равная // iπσωa4 . Так как мы рассматриваем случай слабого скин- +$$ 
-iα = 8c2 + 
-эффекта, т. е. δ>> a , то полученное значение α// пропорционально величине второго порядка малости (a /δ)2 .  +Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра --- чисто мнимая величина, равная $\alpha ''=\frac{\pi \sigma \omega}{8c^2}a^4.$ Так как мы рассматриваем случай слабого скин--эффекта, т.е. $\delta \gg a,$ то полученное значение $\alpha ''$ пропорционально величине второго порядка малости $\frac{a^2}{\delta ^2}.$
-Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами j из уравнения (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру:  +
- rotH = 4cπj⇒ Hz( )2 = iπσωc2 H0 . (36)  +
-Индекс (2) означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe z компоненты, равны нулю; индекс ( )i , означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее  +
-2 +
- Eϕ = −πσω2c3 H r0 3 ;  (37)  +
- jϕ = −πσω2c23 2 3 +
- H r0 ; (38)  +
- M1 =πσω122 c24 2 a H6 0 . (39)  +
-Другими словами, во втором приближении магнитная поляри- +
- 2 2 2 +
-зуемость действительная величина α1/ = −πσω12c4 a6 , пропорцио- +
-4 +
-нальная величине четвертого порядка малости ⎛⎜ a ⎞⎟ . Используя  +
-⎝δ⎠ +
-формулы (39) и (35), получим, что   +
- χ α πσ/ / 2 d 2 +
-= = − f ,   (40) χ α// // 3c2 +
-где f =ω/ 2π – частота, а d = 2a – диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (27) при δ>> a , разлагая функции Бесселя в ряд по степеням ka (см. разд. 3.1). +
    
 +Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами $j$ из уравнения (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру: 
 +$$
 +\mbox{rot}\vec H = \frac{4\pi}c \vec j \Rightarrow H_z^{(2)} = \frac{i\pi\sigma \omega }{c^2}H_0. \ \ \ \ \ (36)
 +$$
 +
 +Индекс $^{(2)}$ означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe $z$ компоненты, равны нулю; индекс $(i),$ означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее 
 +$$
 +E_{\varphi } = −\frac{\pi \sigma \omega ^2}{2c^3}H_0r^3;
 +\ \ \ \ \ (37)
 +$$
 +$$
 +j_{\varphi} = −\frac{\pi \sigma ^2 \omega ^2}{2c^3}H_0r^3; \ \ \ \ \ (38)
 +$$
 +$$
 +M_1 =\frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6 H_0. \ \ \ \ \ (39)
 +$$
 +
 +Другими словами, во втором приближении магнитная поляризуемость действительная величина 
 +$$
 +\alpha _1'= - \frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6,
 +$$
 +пропорциональная величине четвертого порядка малости $\frac{a^4}{\delta ^4}.$ Используя формулы (39) и (35), получим, что  
 +$$
 +\frac{\chi '}{\chi ''}=\frac{\alpha '}{\alpha ''}=
 +-\frac{\pi ^2 \sigma d ^2}{3c^2}f, \ \ \ \ \ (40)
 +$$
 +где $f =\frac{\omega}{2\pi}$ --- частота, а $d = 2a$ --- диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (27) при $\delta \gg a,$ разлагая функции Бесселя в ряд по степеням $ka$ (см. разд. 3.1).