| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab6:эксперимент62 [2025/07/01 11:59]
127.0.0.1 внешнее изменение |
lab6:эксперимент62 [2025/09/01 15:46] (текущий)
root [Контрольные вопросы] |
| ===== Экспериментальная установка ===== | ===== Экспериментальная установка ===== |
| |
| __Оборудование:__ Генератор низкой частоты (например, GFG --- 8255A), дифференциальный трансформатор, двухканальный осциллограф (например, Tektronix TDS 1012), исследуемые образцы. | Принципиальная схема экспериментальной установки представлена на рисунке: |
| | |
| Бесконтактные методы измерения электропроводности во многих случаях имеют существенные преимущества перед контактными способами. | |
| |
| Известно, что при низких температурах длина свободного пробега электронов в чистых металлах достигает нескольких миллиметров. Поэтому правильное значение электропроводности можно получить лишь на образцах достаточно большого диаметра. Такие измерения целесообразно проводить бесконтактными методами. В частности, это относится к контролю чистоты металлов по остаточному удельному сопротивлению. | {{ :lab6:6.2-1.jpg?400 |Экспериментальная установка}} |
| |
| Бесконтактные методы можно использовать для измерения электропроводности металлов, сплавов, полупроводников и электролитов, в том числе и в тех случаях, когда образец помещен в герметичную ампулу для изоляции исследуемого материала от окружающей среды. | Установка состоит из генератора АКИП-3408/2, осциллографа GDS--71054B и **дифференциального трансформатора**. |
| |
| В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле [18] (метод дифференциального трансформатора). Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (см. рис. 4). {{ :lab6:004.png?direct&400 |}} Образец 1 помещают внутрь одной из катушек датчика. Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю. При помещении образца 1 внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца: | Бесконтактные методы измерения электропроводности во многих случаях имеют существенные преимущества перед контактными способами. |
| | В частности, это относится к контролю чистоты металлов по остаточному удельному сопротивлению. |
| | Бесконтактные методы можно использовать для измерения электропроводности металлов, сплавов, полупроводников и электролитов, в том числе и в тех случаях, когда образец помещен в герметичную ампулу для изоляции исследуемого материала от окружающей среды. |
| | |
| | В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле. Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности. |
| | |
| | ==== Дифференциальный трансформатор ==== |
| | |
| | |
| | Исследуемый образец помещают внутрь одной из катушек дифференциального трансформатора (ДТ). Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю. |
| | |
| | {{ :lab6:6.2-2.jpg?400 |Дифференциальный трансформатор}} |
| | |
| | |
| | При помещении образца внутрь рабочей катушки в нём возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца: |
| $$ | $$ |
| U_{вых}\propto\frac{\partial M}{\partial t}= | U_{вых}\propto\frac{\partial M}{\partial t}= |
| \frac{\partial }{\partial t}(\chi H_0 e^{-i\omega t})= | \frac{\partial }{\partial t}(\chi H e^{-i\omega t})= |
| -i\omega \chi H_0 e^{-i\omega t}= | -i\omega \chi H e^{-i\omega t}= |
| $$ | $$ |
| $$ | $$ |
| -i\omega \chi_0 e^{i\beta} H_0 e^{-i\omega t}= | -i\omega \chi' e^{i\phi} H e^{-i\omega t}= |
| i\omega \chi_0 H_0 e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\beta )}. | i\omega \chi' H e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\phi )}. |
| $$ | $$ |
| Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi_0 e^{i\beta}$, где $\mbox{tg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}$ --- из | Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi' e^{i\phi }$. Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину $\varphi = \frac{\pi}{2}-\phi$ относительно магнитного поля и тока. Воспользовавшись тем, что $\mbox{tg}(\frac{\pi}{2}-\phi) = \mbox{ctg}\,\phi,$ получим (8): |
| соотношения (12). Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину $\varphi = \frac{\pi}{2}-\beta$ относительно магнитного поля. Воспользовавшись тем, что $\mbox{tg}(\frac{\pi}{2}-\beta) = \mbox{ctg}\beta,$ получим | |
| $$ | $$ |
| \mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= | \mbox{tg}\,\varphi = -\frac{\pi^2\sigma d^2}{3c^2}f. |
| -\frac{\pi^2\sigma d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (30) | |
| $$ | $$ |
| Таким образом, построив график зависимости $\mbox{tg}(\varphi) $ от частоты $f,$ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость $\sigma .$ | Таким образом, построив график зависимости $\mbox{tg}(\varphi) $ от частоты $f,$ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость $\sigma .$ |
| |
| Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т.е. $\alpha '_1 (\omega = 0) =\alpha _{01},$ то вместо формулы (13) следует воспользоваться выражением | |
| $$ | |
| \mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= | |
| \frac{16c^2\alpha _{10}}{\pi d^2\sigma \mu f} | |
| -\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (31) | |
| $$ | |
| Эта формула, как и выражение (30), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки $f = f_0,$ в которой $\mbox{tg}\varphi = 0.$ | |
| |
| ===== Порядок выполнения эксперимента ===== | ==== Допуск к эксперименту ==== |
| |
| 1) Соберите схему (см. рис.4, где 1 --- образец; 2,3 --- катушки взаимной индуктивности; $N$ --- двухканальный осциллограф; G --- генератор низких частот) и проведите измерения $\varphi $ для двух (или трех) цилиндрических образцов методом фигур Лиссажу. | - Воспользовавшись правилами преобразования уравнений из системы СГС в СИ, запишите выражение (10) в системе СИ. |
| {{ :lab6:004.png?direct&400 |}} | - Ориентируясь на табличные значения проводимости, вычислите зависимости толщины скин--слоя $\delta$ от частоты $f =\frac{\omega}{2\pi}$ по формуле (3) для используемых материалов в интервале частот от 10 Гц до 10 кГц. Определите частоты для сильного и слабого скин-эффекта для различных материалов. |
| |
| Выбор полосы частот для проведения измерений зависит от величины проводимости материала образца. Например, для меди можно выбрать полосу частот от 200 Гц до 1 кГц (с интервалом 100 Гц). Для материалов с низкой проводимостью (таких, как титан) имеет смысл начинать измерения с частоты (1 --- 2) кГц. | ==== Порядок выполнения работы ==== |
| | |
| Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты $f_0$ (на этой частоте, в соответствии с формулами (31) и (31а), фазовый сдвиг обращается в нуль). __Примечание.__ Исследование влияния параметра $\mu $ на крутизну участка вблизи $f_0,$ а также исследование свойств меди и других проводников на высоких частотах можно рекомендовать в качестве курсовой работы. | |
| |
| 2) Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости $\sigma $ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями. | Перед началом измерений прочитайте все пункты |
| | задания и лишь после этого приступайте к выполнению работы. |
| ===== Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу [5] ===== | * Узнайте у преподавателя, с какими образцами провести эксперименты. Желательно использовать не менее трёх образцов. Измерьте и запишите их геометрические характеристики в своём отчете. |
| | * На генераторе установите синусоидальный сигнал максимальной амплитуды. |
| | * Для удобного определения {\em амплитуды сигналов} и {\em разности фаз} между сигналами $U_R$ и $U$ на осциллографе GDS--71054B добавьте соответствующие измерения. Для этого нажмите кнопку **Измерения**, подменю **добавить измерение**, в котором выберите для подключенных каналов, измерение параметра **пик--пик** (показывающий полный размах сигнала). Затем, выбрав каналы, между которыми вы хотите измерить **разность фаз**, добавьте соответствующее измерение. Возможно, измерения ранее уже были активированы и они остались в памяти осциллографа. Если активированы лишние измерения, то их можно удалить, выбрав пункт в подменю **удалить измерение**. |
| | * Изменяя частоту генератора $f$ в пределах от 100~Гц до 2~кГц для начений частоты, например, $1\cdot n$ Гц; $2\cdot n$~Гц и $4\cdot n$~Гц, где $n=10^2,10^3$, проведите измерения без образца $(U_0 \sim H_0)$ и с разными образцами $(U_i\sim H_i$, где $i$ --- номера образцов$)$. Измеренные величины сигналов $U_{R},$ $U_i$ и разности фаз $\varphi _i$ между ними запишите в //таблицу отчета// |
| |
| На экране двухканального осциллографа результат сложения гармонических колебаний одинаковой частоты имеет вид эллипса. Действительно, если точка P одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законам | ^ $f$ ^ $U_R$ ^ $U_0$ ^ $\varphi _0$ ^ $U_1$ ^ $\varphi _1$ ^ $U_2$ ^ $\varphi _2$ ^ $U_3$ ^ $\varphi _3$ ^ |
| $$ | | | | | | | | | | | | |
| x = A_1 \sin(\omega t +\varphi _1) \ \ \mbox{ и } \ \ y = A_2 \sin(\omega t +\varphi _2), | | | | | | | | | | | | |
| $$ | |
| где $x$ и $y$ --- декартовы координаты точки $P,$ то | |
| уравнение траектории результирующего движения точки $P$ в плоскости **XOY** можно найти, исключив из выражений для координат $x$ и $y$ параметр $t:$ | |
| $$ | |
| (\frac{x}{A_1})^2 + (\frac{y}{A_2})^2 - 2[\frac{xy}{A_1A_2}]\cos(\varphi_2 -\varphi _1) = \sin^2 (\varphi _2 - \varphi_1). | |
| $$ | |
| |
| Очевидно, координаты точек пересечения эллипса с осями координат зависят от величины $|\varphi _2 - \varphi_1 |.$ | * Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты $f_0$, на частоте, в соответствии с формулами (11), фазовый сдвиг обращается в нуль. Исследование влияния параметра $\mu $ на крутизну участка вблизи $f_0$. |
| Вставьте исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Произведите измерение величины $\sin(\varphi _2 - \varphi_1).$ После этого вставьте исследуемый образец в другое гнездо дифференциального трансформатора и повторите измерения на той же частоте. Определите среднее значение $\varphi = \varphi _2 - \varphi_1 .$ | * Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости $\sigma $ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями. |
| | * Рассчитайте погрешность измерений. |
| ===== Содержание отчета ===== | |
| | |
| Отчет должен содержать следующие измеренные данные, результаты их обработки и анализа: | |
| * расчетные формулы; | |
| * схему измерительной установки; | |
| * графики зависимостей $\mbox{tg}\varphi $ от частоты; | |
| * значения удельной проводимости для каждого из исследованных образцов с указанием погрешности и сравнение их с табличными значениями. | |
| | |
| ===== Приложение. Метод последовательных приближений ===== | |
| |
| Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубиc | ==== Контрольные вопросы ==== |
| на проникновения поля $\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }}$ | |
| велика по сравнению с радиусом проводника ($\delta \gg a ,$ случай слабого //скин--эффекта//), методом последовательных приближений. | |
| |
| В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю $H_{stat}.$ C учетом граничных условий в нашей задаче $H_{stat} = H_e.$ Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения (2) электрического поля $E,$ потом, по формуле (6), соответствующих ему токов $j,$ а затем --- создаваемого ими в проводнике поля $H_i.$ Подставив найденное $H_i$ в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т.д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость $\alpha ,$ только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами $j,$ с помощью уравнения | - Привести вычисления, как по переменному магнитному полю $H_z$ (4) получить магнитную поляризуемость (6) и магнитное поле $H_1$ (7)? |
| $$ | - В каких случаях можно пользоваться формулой (8), а в каких (11)? |
| M_1=\frac{1}{2c}\int jr\ dV. | - Объясните, что такое импеданс нагрузки и как он влияет на величину магнитного поля в соленоиде (воспользуйтесь знаниями, полученными в курсе радиоэлектроники). |
| \ \ \ \ \ (32)$$ | |
| |
| Здесь $M_1,$ в отличие от $M,$ является магнитным моментом единицы длины цилиндра. | Далее к [[lab6:lab6|описанию работ]] |
| | |
| Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты: $H_e = (0,0,H_0).$ Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом: | |
| $$ | |
| \Delta \vec H_i=0 \Rightarrow \vec H_i=\vec H_e =\vec e_z H_0; | |
| $$ | |
| $$ | |
| \mbox{rot}\vec E = - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}= | |
| i\frac{\omega }{c}\vec H_e \Rightarrow E_{\varphi }=\frac{i\omega }{2c} H_0r; \ \ \ \ \ (33) | |
| $$ | |
| $$ | |
| \vec j =\sigma \vec E \Rightarrow j_{\varphi } = \frac{i\sigma \omega }{2c} H_0 r; \ \ \ \ \ (34) | |
| $$ | |
| $$ | |
| M_1 =\frac{1}{2c}\int jr \ dV = \frac{i\pi \sigma \omega }{8c^2}a^4H_0. | |
| \ \ \ \ \ (35) | |
| $$ | |
| | |
| Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра --- чисто мнимая величина, равная $\alpha ''=\frac{\pi \sigma \omega}{8c^2}a^4.$ Так как мы рассматриваем случай слабого скин--эффекта, т.е. $\delta \gg a,$ то полученное значение $\alpha ''$ пропорционально величине второго порядка малости $\frac{a^2}{\delta ^2}.$ | |
| | |
| Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами $j$ из уравнения (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру: | |
| $$ | |
| \mbox{rot}\vec H = \frac{4\pi}c \vec j \Rightarrow H_z^{(2)} = \frac{i\pi\sigma \omega }{c^2}H_0. \ \ \ \ \ (36) | |
| $$ | |
| | |
| Индекс $^{(2)}$ означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe $z$ компоненты, равны нулю; индекс $(i),$ означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее | |
| $$ | |
| E_{\varphi } = −\frac{\pi \sigma \omega ^2}{2c^3}H_0r^3; | |
| \ \ \ \ \ (37) | |
| $$ | |
| $$ | |
| j_{\varphi} = −\frac{\pi \sigma ^2 \omega ^2}{2c^3}H_0r^3; \ \ \ \ \ (38) | |
| $$ | |
| $$ | |
| M_1 =\frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6 H_0. \ \ \ \ \ (39) | |
| $$ | |
| | |
| Другими словами, во втором приближении магнитная поляризуемость действительная величина | |
| $$ | |
| \alpha _1'= - \frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6, | |
| $$ | |
| пропорциональная величине четвертого порядка малости $\frac{a^4}{\delta ^4}.$ Используя формулы (39) и (35), получим, что | |
| $$ | |
| \frac{\chi '}{\chi ''}=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= | |
| -\frac{\pi ^2 \sigma d ^2}{3c^2}f, \ \ \ \ \ (40) | |
| $$ | |
| где $f =\frac{\omega}{2\pi}$ --- частота, а $d = 2a$ --- диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (27) при $\delta \gg a,$ разлагая функции Бесселя в ряд по степеням $ka$ (см. разд. 3.1). | |