=====Вывод расчетных теоретических соотношений для диода с коаксиальной системой электродов=====

Приведем вывод формул для тока вакуумного диода с коаксиальными электродами, 
{{ :lab2:pic06.png?500 |}}
где катод прямого накала расположен по оси цилиндрического анода (режим
начальных токов на рис. 6, б, или область I на рис. 7, б.). Если радиус
катода намного меньше радиуса анода, то можно считать, что начальные
скорости электронов имеют составляющие по оси цилиндра $V_{z}$ и
по радиусу цилиндра $V_{r}$. Силовые линии электрического поля направлены
по радиусу цилиндра. Чтобы определить ток диода при отрицательных
анодных напряжениях, надо вычислить интеграл 
$$
I=S\int_{V_{0}}^{\infty}eV_{r}f(\vec{V})d^{3}\vec{V},
$$
где $S$ --- площадь катода; $e>0$ --- элементарный заряд; $V_{0}$
--- граничная скорость электронов на катоде, начиная с которой они
уже достигают анода. 

Для расчётов удобно воспользоваться цилиндрической системой координат.
В этой системе распределение Максвелла имеет вид 
$$
f(\vec{V})d^{3}\vec{V=Ae^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}dV_{r}dV_{z}d\alpha,}
$$
где $\alpha$ --- азимутальный угол. Полный ток диода определяется
выражением 
$$
I=eSA\int_{-\infty}^{\infty}dV_{z}\int_{0}^{2\pi}d\alpha\int_{V_{r0}}^{\infty}e^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}^{2}dV_{r},
$$
где $A$ --- нормировочная константа, а скорость $V_{r0}$ определяется
из соотношения $\frac{mV_{r0}^{2}}{2}=-eU_{a}$. 

После интегрирования по $V_{z}$ и углу $\alpha$ получим, что ток диода прямо пропорционален интегралу 
$$
I\sim\int_{V_{r0}}^{\infty}e^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}^{2}dV_{r}.
$$ 

{{ :lab2:pic07.png?500 |}} Произведя замену переменных $y=\sqrt{\frac{mV_{r}^{2}}{2kT}}$ и проинтегрировав
по частям, получим формулу для вольт--амперной характеристики диода
в режиме задерживающего потенциала (область I на рис. 7, б) 
$$
\text{ (*) } \ \ I=I_{0}F(\frac{-eU_{a}}{kT})\equiv2C\int_{\eta}^{\infty}y^{2}e^{-y^{2}}dy=C\left[\eta e^{-\eta^{2}}+\int_{\eta}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right], 
$$
где $\eta=\sqrt{\frac{-eU_{a}}{kT}}$. Константу $C$ можно найти
из условия, что при отсутствии запирающего напряжения ($\eta=0$)
должен получиться полный ток эмиссии $I_{0}$: 
$$
C=\frac{2I_{0}}{\sqrt{2\pi}}.\label{eq:9}
$$

Интеграл $\text{erfc} (\eta) = 1-\text{erf} (\eta)=\frac 2{\sqrt{\pi}}\int_{\eta}^{\infty}e^{-y^{2}}dy$ --- [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_ошибок|дополнительная функция ошибок,]] его значения можно вычислить как в математических пакетах Maple, Matlab, Mathematica и Maxima, так и в программе обработке данных [[books:scidavis|SciDAVis]].
/*График зависимости $\frac{I}{I_{0}}=F(\frac{-eU_{a}}{kT})$ приведен в прил. 2. */

Отметим сразу, что эта формула может применяться и в области I' рис. 7, б, где в качестве запирающего потенциала выступает минимальный потенциала пространства $\varphi_{m}$, который в этом случае надо
подставить в формулу (*) вместо $U_{a}$.

Назад к теме [[обработка_вах|Общие практические рекомендации по обработке ВАХ при выполнении работ]] или далее к [[lab2:lab2|описаниям лабораторных работ.]]