===== Примесная и собственная проводимость полупроводников =====

Проводимость чистых полупроводников, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, возникающих за счет нарушения валентных связей, называется собственной. При комнатной температуре в чистых полупроводниках ионизуется очень небольшое число атомов, так как энергия возбуждения (энергия перехода из валентной зоны в зону проводимости) намного превосходит среднюю энергию частиц, равную $\frac{3}{2}kT$ (при $T=300$ K, $E=\frac{3}{2}kT$ составляет всего $0,04$ эВ). Но кинетическая энергия частиц (электроны, атомы в твердом теле) только в среднем равна $\frac{3}{2} \; kT.$ Мгновенные же скорости распределяются по закону Максвелла; всегда имеется некоторое число частиц, скорости которых намного больше и значительно меньше средних; вероятность того, что электрон имеет энергию $E_{g}$, пропорциональна $e^{-\frac{E_{g}}{kT}}$. Отсюда следует, что число свободных электронов в таком полупроводнике гораздо меньше свободных электронов в металле и это число сильно зависит от температуры. Поэтому проводимость полупроводника сильно зависит от примесей, т. е. введение небольшого числа примесных, легко ионизуемых атомов в полупроводник резко меняет число свободных носителей. 

В полупроводниках с примесной проводимостью некоторые атомы основного кристалла заменены атомами с другой валентностью. При этом, если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, полупроводник обладает так называемой **n**--проводимостью (электронной). При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется **p**--проводимость (дырочная). При наличии дырок электрон одного из соседних атомов может занять вакантное место, где будет восстановлена обычная связь, но зато на его прежнем месте появится дырка. При наличии поля $E$ в образце такой процесс будет повторяться многократно, образуя дырочную проводимость. 

Рассмотрим теперь, как зависит концентрация свободных носителей примесного полупроводника от температуры. На рисунке
{{ :lab4:45.png?400 |Зависимость логарифма концентрации электронов от обратной температуры}}
приведена зависимость натурального логарифма равновесной концентрации свободных электронов в полупроводнике от обратной температуры. При низких температурах концентрация электронов в полупроводнике определяется концентрацией примесных центров. С ростом температуры примесная концентрация растет, а следовательно, возрастает и проводимость. При некоторой температуре концентрация электронов перестает зависеть от температуры. Это область примесного истощения. Все атомы примеси уже ионизованы, а собственная концентрация все еще гораздо меньше чем примесная. И, наконец, в области еще более высоких температур начинается резкий рост концентрации с дальнейшим повышением температуры. Это область собственной проводимости, где концентрация свободных носителей определяется зависимостью $e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Так как величина проводимости прямо пропорциональна концентрации носителей, то $\sigma \sim e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Отсюда видно, что из температурной зависимости проводимости можно извлечь важную характеристику полупроводника --- ширину запрещенной зоны. 

Рассмотрим теперь количественно температурную зависимость проводимости. В общем случае проводимость полупроводника равна сумме собственной $(\sigma _{i} )$ и примесной $(\sigma _{np})$ электропроводностей: 
$$
\sigma =\sigma _{i} +\sigma _{np} . 
$$
При низкой концентрации примеси и высоких температурах. $\sigma _{i} >\sigma _{np}.$ Именно этот случай будет интересовать нас в данной работе. Тогда электропроводность собственного полупроводника (беспримесного) можно выразить формулой
$$
(*) \ \ \ \ \sigma _{i} =n_{i} eu_{n} +p_{i} eu_{p} , 
$$
где $e$ --- заряд электрона, $n_{i}, p_{i}, u_{n}, u_{p}$ --- собственные концентрации и подвижности электронов и дырок соответственно. Индекс $i$ обозначает, что данное значение концентрации носителей получено для собственного (intrinsic) полупроводника, в котором $n_{i} =p_{i}$.

Входящие в формулу (*) концентрация и подвижность являются функциями от температуры. Как было рассмотрено ранее, качественно температурная зависимость концентрации определяется зависимостью $n\sim e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Для чистых (собственных) полупроводников количественная зависимость концентрации носителей от температуры определяется выражением (см. приложение)
$$
n_{i} =p_{i} =A(T)\cdot e^{-\frac{E_{g}}{2kT}} ,     
$$
где температурная зависимость предэкспоненциального множителя имеет вид
$$ 
A(T)=\frac{2 (2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{\frac 32}}{h^{3}}.    
$$

Рассмотрим теперь температурную зависимость подвижности свободных носителей. По определению, подвижность равна отношению дрейфовой скорости $\vartheta $ к напряженности электрического поля $E$:
$$
u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E}.     
$$
Иными словами, подвижность --- это скорость дрейфа электронов (дырок) в поле напряженностью $1 \frac{В}{см}.$ Средняя скорость направленного движения ${\overline{\vartheta }}$ (**дрейфовая скорость**) равняется произведению ускорения на среднее время между столкновениями $\tau $ (**время свободного пробега, время релаксации**): 
$$
{\overline{\vartheta }}= \frac{e\tau }{m} E.     
$$
Тогда для подвижности электронов и дырок получаем
$$
u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} =\frac{e\tau _{n,p} }{m_{n,p}^{*} } ,    
$$ 
где $\tau _{n,p} $ --- время свободного пробега электрона (дырки). Время свободного пробега $\tau _{n,p} $ равно отношению длины свободного пробега $\lambda _{n,p} $ к скорости теплового движения частицы $\vartheta _{T\, n,p} :$
$$
\tau _{n,p} =\frac{\lambda _{n,p} }{\vartheta _{T\, n,p}} .     
$$

Подвижность носителей в собственном полупроводнике в области используемых температур определяется рассеянием носителей заряда на колебаниях решетки. В этом случае длина свободного пробега электрона (дырки) обратно пропорциональна температуре (чем ниже температура, тем меньше амплитуда колебаний атомов и тем больше длина свободного пробега): 
$$
\lambda _{n,p} =\frac{Const_{n,p} }{T} ;      
$$
$$
\vartheta _{T\, n,p} =\sqrt{\frac{3kT}{m_{n,p}^{*} } } .     
$$
Из последних трёх формул получаем выражение для подвижности электронов и дырок:
$$
u_{n,p} =\frac{e\cdot Const_{n,p} }{\sqrt{3km_{n,p}^{*} } } T^{-\frac{3}{2}}.   
$$
Подставляя выражения для концентраций и подвижностей в формулу (*), получаем выражение для температурной зависимости электропроводности собственного (беспримесного) полупроводника:
$$
\sigma _{i} =\sigma _{0} e^{-\frac{E_g}{2kT}} ,    
$$
где предэкспоненциальный множитель $\sigma _{0} $ не зависит от температуры и определяется свойствами полупроводника.

Назад к  [[:lab4:элементы_зонной_теории|Элементы зонной теории твердого тела]], далее  [[:lab4:подвижность|Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда  в полупроводниках]]