===== Резонанс в электрических цепях =====

==== Колебательный контур, свободные колебания ====

Колебательный контур является типичным представителем резонансных колебательных систем, играющих важную роль в большинстве разделов физики --- в механике это различного типа маятники и звуковые резонаторы (струны, мембраны, трубы, свистки, органы), в электродинамике --- колебательные контуры, закрытые и открытые резонаторы с распределенными параметрами, в оптике --- лазерные резонаторы, эталоны Фабри --- Перо и т.д. Принципы описания всех колебательных систем настолько общи, что теория колебаний стала самостоятельным разделом физики. Поэтому изучение параметров, свойств и характеристик колебательного контура полезно рассматривать как общее введение в мир резонансных колебательных систем.

В теории колебаний выделяются два класса явлений --- явления в линейных и нелинейных колебательных системах. Линейными называются такие системы, параметры которых не зависят от амплитуды колебаний. Например, для маятников это означает такие малые колебания, при которых упругость пружин и стержней не зависит от амплитуды колебания, а натяжение нити подвеса определяется только гравитационными силами. Для электрических колебательных контуров независимыми от амплитуды токов и напряжений должны оставаться такие величины, как индуктивность $L$, емкость $C$ и сопротивление $R$. 

Резонансные системы имеют два важных свойства.
  - Свойство избирательно реагировать на внешние источники сигналов, выделяя только те из них, частоты которых совпадают с собственной частотой колебательной системы.
  - Свойство запасать энергию колебаний, возбужденных внешним источником, поддерживая колебания в течение определенного времени после выключения внешнего источника.

Колебательный контур характеризуется двумя основными параметрами: частотой собственных (резонансных) колебаний $\omega _{0} $ и добротностью $Q$, характеризующей отношение мощности энергии собственного колебания к мощности потерь за период.

{{ :lab5:018.png?300 |}}

На рис. 18 приведены примеры «параллелей» электрических и механических колебательных систем. В электрических резонаторах происходит периодический переход электрической энергии, запасенной в конденсаторе $(W_Э =\frac 12 CU^2),$ в магнитную энергию катушки индуктивности $(W_M =\frac 12 LI^2)$ и обратно. В маятниках происходит аналогичный циклический переход энергии из потенциальной (поднятого груза или сжатой пружины) в кинетическую и обратно. 

Свободные колебания происходят в замкнутой цепи без вынуждающей силы (рис. 19,а). 
{{ :lab5:019.png?500 |}}
Согласно второму закону Кирхгофа для такой цепи можно написать: 
$$
R\cdot I+U_{C} =-L\cdot \frac{dI}{dt}.
$$
Выражая $U_{C} $ через заряд $q$, получим уравнение

$$
R\cdot I+L\cdot \frac{dI}{dt} +\frac{q}{C} =0 \ \ \ \mbox{ (СИ). }
$$
Дифференцируя по времени и учитывая равенство $I=\frac{dq}{dt} $, получаем
$$
L\frac{d^{2} I}{dt^{2} } +R\frac{dI}{dt} +\frac{I}{C} =0 \ \ \ \mbox{  (СИ). }
$$
Разделив на $L$ и вводя обозначения 
$\delta =\frac{R}{2\cdot L} $  и  $\omega _{0}^{2} =\frac{1}{LC} $,
получим общее уравнение для свободных колебаний линейной резонансной системы:
$$
I''+2\delta \, I'+\omega _{0}^{2} I=0,
$$ 
где параметр $\delta $ называется затухание, а параметр $\omega _{0} $ --- собственная частота, или частота свободных колебаний. Оно решается подстановкой $I=A\cdot e^{i\omega \, t} $, которая приводит к характеристическому уравнению 
$$
-\omega ^{2} +2i\omega \, \delta +\omega _{0}^{2} =0,
$$ 
с решением 
$$
\lambda \, _{1,2} =i\, \delta \pm \sqrt{\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} } .
$$
Общее решение имеет две составляющие
$$
I=A\cdot e^{i\omega _{1} \, t} +B\cdot e^{i\omega _{2} \, t} . 
$$ 
Константы $A$ и $B$ определяются начальными данными задачи, например, зарядом $q_{0} $ или напряжением на конденсаторе $U_{0} $. Характер начальных данных определяется конкретной физической системой. 

Частный пример схемы для возбуждения свободных колебаний в колебательном контуре приведен на рис. 19,б. Конденсатор $C$ заряжается от батареи до напряжения $U_{0} $ (положение «а» переключателя), а затем переключается в точку «б».  Свободные колебания будут представлять собой циклический переход энергии электрического поля (в конденсаторе) в энергию магнитного поля (в индуктивности) и обратно. 

Подставив найденные значения $A$ и $B$, получим общее решение для свободных колебаний в контуре
$$
I=i\frac{U_{0} }{L\sqrt{\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} } } e^{-\delta \, t} \frac{e^{i\sqrt{\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} } \, t} -e^{-i\sqrt{\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} } \, t} }{2} .  
$$

Если бы колебательный контур состоял только из идеальных (без потерь) реактивных элементов (индуктивности $L$ и емкости $C$), то переход энергии из электрической в магнитную и обратно совершался бы без потерь, а в контуре существовали бы незатухающие свободные колебания с собственной частотой $\omega _{0} =2\pi \, f=\sqrt{\frac{1}{LC}}.$ 

Наличие в схеме активного элемента $R$ приводит к тому, что часть энергии за каждый период переходит в тепло и колебания затухают с некоторой постоянной времени $\tau $. Роль частоты в уравнении теперь играет величина $\omega _{p} =\sqrt{\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} } $, зависящая от отношения реактивной мощности к потерям на активном сопротивлении $R$. При этом вовсе не обязательно в схему должен быть включен отдельный резистор. В его качестве может выступать, например, омическое сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности, а также сопротивление утечки изоляторов конденсатора. Кроме того, часть энергии колебаний может излучаться контуром в окружающее пространство в виде электромагнитной волны. На этом основано действие так называемых связанных контуров: если вблизи данного колебательного контура расположен другой, то в нем «наводятся» (возникают) колебания за счет того, что часть энергии трансформируется из первого контура во второй. Передача энергии совершается переменным электромагнитным полем, возникающим вокруг первого контура.

Если затухание мало, т. е. $\delta <\omega _{0} $, то мы получаем уравнение слабо затухающих колебаний в виде
$$
I=-\frac{U_{0} }{L\omega _{p} } e^{-\delta \, t} \sin \omega _{p} t=-I_{0} e^{-\delta \, t} \sin \omega _{p} t.  
$$
При этом резонансная частота приближается к частоте собственных колебаний: 
$$
\omega _{p} =\sqrt{\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} } \approx \omega _{0} \left(1-\frac{1}{2} \frac{\delta ^{2} }{\omega _{0}^{2} } \right). 
$$ 
Таким образом, при малом затухании резонансная частота практически совпадает с собственной, однако колебания при этом не являются гармоническими. Для гармонических колебаний должно соблюдаться условие $I\left(t\right)=I\left(t+T\right)$, где $T$ --- период колебания. В нашем случае $I\left(t\right)\ne I\left(t+T\right)$, и о периоде можно говорить лишь как о времени, через которое повторяются нули функции (рис. 20). Именно в этом смысле мы будем ниже использовать термин «период колебаний». 

{{ :lab5:020.png?300 |}}

Введем понятия добротности $Q$ и логарифмического декремента затухания $\gamma $ контура. Из отношение амплитуд $n$--того и $(n + k)$--го колебаний равно 
$I_{n} I_{n+k}^{-1} = e^{k\delta T}$, где $T=2\, \pi  \omega ^{-1} $ --- период колебания («повторения нулей»). Логарифмическим декрементом затухания $\gamma $ называется величина
$$
\gamma =\delta \, T=\frac{1}{k} \ln \frac{I_{n} }{I_{n+k} } =\ln \frac{I_{n} }{I_{n+1} } .  
$$
Из уравнения для тока видно, что величина $\delta $ обратно пропорциональна времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в $e$ раз. Из последнего уравнения следует, что декремент затухания $\gamma $ показывает уменьшение амплитуды за период колебания:
$$
\gamma =\delta \, T=\frac{2\; \pi \, \delta }{\omega } .
$$ 
С логарифмическим коэффициентом затухания однозначно связан другой, более распространенный параметр, характеризующий колебательную систему, добротность $Q$.

Добротность контура $Q$ определяется соотношением
$$
Q=\frac{\omega _{0} L}{R} =\frac{1}{\omega _{0} CR} =\frac{\rho }{R},
$$
где $\rho =\sqrt{\frac LC} $  (СИ). 
Физический смысл добротности заключается в отношении запасенной в контуре энергии к энергии потерь за период колебания 
$$
Q=\omega \cdot \frac{W_0}{\Delta W},
$$
откуда можно найти связь добротности с другими параметрами контура
$$
Q=\frac{\pi }{\gamma } =\frac{\pi }{\delta \, T} =\frac{\omega }{2\, \delta } =\omega \frac{L}{R} \ \ \ \mbox{ (СИ).}
$$

Экспериментально добротность определяется по резонансной кривой как отношение резонансной частоты $\omega _{p} $ к полосе частот $2\cdot \Delta \omega $, определяемой на уровне $U_{1,2} =\pm \frac{U_p}{\sqrt{2}}$: 
$$
Q=\frac{\omega _{з}}{2\cdot \Delta \omega } =\frac{f_{з}}{2\cdot \Delta f} , 
$$ 
где $U_{p} $ --- амплитуда колебания на резонансной частоте контура. Величина  $\rho =\sqrt{\frac LC}$ называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура. 

При большом затухании, т.е. при $\delta >\omega _{0} $, величина $\omega _{0}^{2} -\delta ^{2} $ отрицательна, корень из нее мнимый. Такой случай называется апериодическим процессом. Общее решение, аналогичное, полученному ранее, будет иметь вид
$$
I=-\frac{U_{0} }{L\sqrt{(\delta ^{2} -\omega _{0}^{2} )} } e^{-\delta \, \, t} \mbox{sh}\sqrt{(\delta ^{2} -\omega _{0}^{2} )} \, t.  
$$
График этой функции приведен на рис. 21. 
{{ :lab5:021.png?300 |}}
Критическим условием, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс, является условие $\delta =\omega _{0} $. В этом случае решение общего уравнения имеет вид
$$
I=-\frac{U_{0} }{\omega L} (\omega t)e^{-\delta \, t} \, =-\frac{U_{0} }{L} t\, e^{-\delta \, t} . 
$$ 
Остается добавить, что аналогичные параметры могут быть введены для любой резонансной колебательной системы независимо от ее физической природы (механические, термодинамические, электромагнитные, оптические, аэро-- и гидродинамические системы).

==== Вынужденные колебания ====

Колебательный контур, рассмотренный в предыдущем разделе, представлял собой замкнутую электрическую цепь, в которой совершаются свободные колебания. 

В случае вынужденных колебаний мы должны подводить к контуру электрическую энергию от внешнего источника (генератора). Есть много способов для подключения источника внешней энергии к контуру, которые сводятся к той или иной комбинации двух основных: в разрыв цепи контура (рис. 22, а) или параллельно емкостной и индуктивной ветвям контура (рис. 22,б). 
{{ :lab5:022.png?500 |}}
В зависимости от способа включения различают соответственно последовательный (рис. 22,а) и параллельный (рис. 22,б) колебательные контуры. Они предъявляют разные требования к согласованию с генератором и нагрузкой. Поэтому нужно отличать собственные параметры контура от параметров нагруженного контура, получаемые с учетом влияния генератора и «нагрузки» (входного сопротивления той цепи, в которую включен контур). В параллельном контуре (рис. 22,б) возникает резонанс токов. Для его поддержания в качестве вынуждающей силы необходимо применение генератора стабильного тока. В последовательном контуре (рис. 22,а) имеет место резонанс напряжений, и для его поддержания должен применяться внешний генератор стабильного напряжения.


==== Вынужденные колебания в последовательном контуре, резонанс напряжений ====

Закон Кирхгофа, позволяющий исследовать процессы в контуре (рис. 22,а) в зависимости от частоты, записывается в виде
$$
U=U_{R} +U_{L} +U_{C} =IR+iI(\omega L-\frac{1}{\omega C} )=I\cdot Z.  
$$
Контур представляет для генератора некоторое комплексное сопротивление 
$$
Z=R_L +i\cdot (\omega L-\frac{1}{\omega C} ),
$$
$$
\left|Z\right| = \sqrt{R_L^2 +(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}, \ \ \ \ \mbox{tg}\varphi =\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C} }{R_L}
$$
где $\left|Z\right|$ --- модуль комплексного сопротивления; $R_{L}$ --- омическое сопротивление катушки индуктивности; $\varphi $ --- сдвиг фазы между активным и реактивным сопротивлениями, равный сдвигу фазы между током $I$ в цепи и входным напряжением $U$.

Из последнего выражения видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_{L} $ на некоторой частоте $\omega _{0} $, определяемой условием
$$
\omega _0 L=\frac{1}{\omega _0 C} , \  \  \ \mbox{ где } \ \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC}}  \ \ \ \mbox{ (СИ).} 
$$
Таким образом, на резонансной частоте сопротивление контура минимально, чисто активно, а ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (напряжением генератора). Фактически это и есть определение резонанса в последовательном колебательном контуре.

Для практических целей представляет интерес исследовать поведение напряжений на реактивных элементах контура в зависимости от частоты генератора  и определить его добротность $Q$.

Поскольку фазы $U_{L} $ и $U_{C} $ независимо от частоты всегда сдвинуты относительно тока $I$ на $+$ и $-90^{\circ}$ соответственно, то достаточно исследовать зависимость от частоты их модулей. Это можно сделать исходя из уравнений
$$
U_{R} =IR, \ \ U_{L} =I\omega L, \ \ U_{C} =\frac{I}{\omega C}, \ \ I=\frac{U}{Z} . 
$$ 

Для примера раскроем уравнения для $I$ и $U_{L} $. Используя введенное для свободных колебаний понятие добротности $Q=\left(\omega _{0} RC\right)^{-1}$, получим следующее выражение для тока в последовательном контуре: 
$$
I=\frac{U}{\sqrt{R^{2} +(\omega L-\frac{1}{\omega C} )^{2} } } =\frac{U}{R} \frac{1}{\sqrt{1+Q^{2} (\frac{\omega }{\omega _{0} } -\frac{\omega _{0} }{\omega } )^{2} } } .
$$ 
Тогда напряжение на индуктивности будет равно
$$
U_{L} =\omega LI=U\frac{Q\frac{\omega }{\omega _{0} } }{\sqrt{1+Q^{2} (\frac{\omega }{\omega _{0} } -\frac{\omega _{0} }{\omega } )^{2} } } .  
$$

Аналогичное уравнение можно получить для напряжения на $C$. При $\omega =\omega _{0} $ напряжения на $L$ и $C$ будут равны $U_{L0} =U_{C0} =Q\cdot U$,   т.е. в $Q$ раз больше напряжения вынуждающей эдс. 

На самом деле максимумы напряжения на элементах $L$ и $C$ несколько выше и смещены от резонансной частоты и выражаются следующими соотношениями:
$$
\omega _{L\max } =\omega _{0} \sqrt{\frac{2}{2-\frac{R^{2} C}{L} } } =\omega _{0} \sqrt{\frac{2}{2-\left(\frac{1}{Q} \right)^{2} } } , \ \ \ \omega _{C\max } =\frac{\omega _{0}^{2} }{\omega _{L} } . 
$$ 

При добротности контура $Q \ge 10$ сдвиг частот максимумов $U_{L} $ и $U_{C} $ относительно резонансной частоты $\omega _{0} $ не превышает 1% и экспериментально резонансную частоту и добротность можно определять по резонансной кривой любого из напряжений $U_{L} $ и $U_{C} $. Напряжение на реактивных элементах $U_{L} $ и $U_{C} $ при $\omega =\omega _{0} $ в $Q$ раз больше, чем входное напряжение $U$, поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

Важно отметить, что для нашего анализа существенно, что само входное напряжение $U$ от частоты  не зависит. В противном случае все параметры зависели бы не только от самого контура, но и от параметров источника сигнала. Как было показано в предыдущем параграфе, для этого выходное сопротивление генератора должно быть много меньше $R$. 

==== Вынужденные колебания в параллельном контуре, резонанс токов ====

Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21,б. Из--за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$ может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов. 

Комплексное сопротивление параллельного контура равно
$$
Z=\frac{Z_{1} Z_{2} }{Z_{1} +Z_{2} } =
\frac{(R_{L} +i\omega L)(i\omega C)^{-1}}{R_{L} +i(\omega L-(\omega C)^{-1} )} \approx 
\frac{LC^{-1}}{R_{L} +i(\omega L-(\omega C)^{-1})} . 
$$ 

Мы пренебрегли величиной $R_{L} $ в числителе, поскольку она в $Q$ раз меньше индуктивного сопротивления, но этого нельзя делать в знаменателе, поскольку при резонансе величина в скобках стремится к нулю.

Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного --- равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$:
$$
\omega _{0} L=\frac{1}{\omega _{0} C}, \ \ \mbox{ где } \ \ \omega _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} } \ \ \mbox{ (СИ). }
$$
Таким образом, при резонансе сопротивление контура становится чисто активным и равным
$$
R_{э} =\frac{L}{ C R_{L} } =\frac{\rho ^{2} }{R_{L} } ,  
$$
где --- $\rho =\sqrt{\frac LC} $ волновое сопротивление контура. 

Сопротивление $R_{э} $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $\rho $ и сопротивления потерь $R_{L} $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда--либо или к чему--нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_{э} $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $\rho $ и $R_{L} $, даваемой последней формулой. 

Добротность параллельного контура
$$
Q=\frac{\omega _{0} L}{R_{L} } =\frac{1}{R_{L} \omega _{0} C} =\frac{R_{э} }{\rho } =R_{э} \sqrt{\frac{C}{L} } . 
$$ 

Собственные параметры параллельного контура, т.е. резонансная частота $\omega _{0} $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и $R_{L}.$