===== Краткая теория =====

При рассмотрении магнитных свойств материальных сред с атомистической точки зрения, прежде всего, необходимо обратить внимание на то, что в последовательно классической теории магнетизм должен отсутствовать [16]. Действительно, Бор в 1911 г. и независимо от него Ван--Леевен в 1920 г., пользуясь методами классической статистики, строго доказали следующую теорему. //В состоянии термодинамического равновесия система электрически заряженных частиц (электронов, атомных ядер и пр.), помещенная в постоянное магнитное поле, не могла бы обладать магнитным моментом, если бы она строго подчинялась законам классической физики.// Такая система может быть намагничена только в неравновесном состоянии. Если она перейдет в равновесное состояние, то намагничивание исчезнет. 

Как известно, для корректного объяснения магнетизма требуется привлечение квантовой теории. И все же некоторые магнитные свойства веществ удалось объяснить Ланжевену еще в 1905 г. без использования квантовых представлений. Причина этого заключается в том, что в классических теориях намагничивания молчаливо вводились представления сугубо квантового характера. В частности, не объяснялось, а лишь предполагалось, что из электрически заряженных частиц можно построить устойчивые образования – атомы и молекулы. Объяснить не только намагничивание, но и устойчивость самих атомов удалось только с помощью квантовой механики. Поскольку квантовую механику изучают после классической электродинамики, то ниже будут использоваться полуклассические представления, изложенные в учебниках [13; 16].  

Микротоки, циркулирующие в атомах и молекулах вещества, получили общее название молекулярных токов. Они обусловлены орбитальным движением электронов вокруг атомных ядер, а также спиновыми вращениями электронов и нуклонов (протонов и нейтронов).  

Так как микроструктурные элементы веществ --- электроны и нуклоны --- суть элементарные носители магнитного момента, то и любые их комбинации – атомные ядра и электронные оболочки, а также комбинации этих комбинаций, т.е. атомы, молекулы и макроскопические тела, в принципе могут быть источниками магнетизма. Отсюда следует вывод об универсальном характере магнетизма веществ: магнитные свойства присущи всем веществам, т.е. все они являются магнетиками. 

Внешнее магнитное поле оказывает влияние на эти молекулярные токи (магнитные моменты). Известны два основных эффекта внешнего поля. Во-первых, диамагнитный эффект, являющийся следствием закона индукции Фарадея. По правилу Ленца магнитное поле создает такой индукционный ток, магнитное поле которого направлено против начального поля. Поэтому создаваемый внешним полем диамагнитный момент отрицателен по отношению к этому полю. Во--вторых, если в атоме существует результирующий, отличный от нуля магнитный момент (спиновый, орбитальный или оба), то внешнее поле будет стремиться ориентировать этот собственный атомный магнитный момент вдоль своего направления. В результате возникает параллельный полю положительный момент, который называют парамагнитным. 

Когда говорят, что среда в магнитном поле намагничивается, то подразумевают, что из--за молекулярных токов любой физически малый объем среды в магнитном поле приобретает магнитный момент. Следовательно, в создании магнитного поля в среде участвуют не только внешние источники но и внутренние токи, циркулирующие в пределах атомов и молекул.  

В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях векторы поля связаны друг с другом линейными соотношениями, причем у изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности (наиболее удачное в рамках классической электродинамики объяснение связи между величинами, описывающими магнитное поле в веществе, дано, на наш взгляд, в книге 
[14, С. 31]): 
$$
\vec B=\mu \vec H, \ \ \ \ \ (22) 
$$
$$
\vec M= \chi \vec H, \ \ \ \ \ (23)
$$
$$
\mu = 1+ 4\pi \chi , \ \ \ \ \ (24)
$$
где $\vec B$ --- силовой вектор, используемый для обозначения истинного магнитного поля [3; 15]; $\vec H$ --- вспомогательный вектор (аналог вектора $\vec D$ в диэлектриках); $\vec M$ --- вектор намагниченности вещества, представляющий собой магнитный момент единицы объема тела. Здесь использована гауссова система единиц, в которой магнитная проницаемость $\mu $ и магнитная восприимчивость вещества $\chi $ являются безразмерными величинами, а $\vec B, \vec H$ и $\vec M$  имеют одинаковую размерность (подробнее о системах единиц см. [1]). В отличие от диэлектрической восприимчивости, магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Вещества с $\chi > 0$ называются парамагнетиками, вещества с $\chi < 0$ --- диамагнетиками.  

В парамагнетиках в отсутствие внешнего поля магнитные моменты атомов ориентированы в пространстве беспорядочно и вектор намагниченности равен нулю. При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты атомов начинают прецессировать и происходит переориентировка магнитных моментов в результате взаимодействия атомов между собой. При этом магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно в направлении поля и возникает намагниченность, вектор которой направлен по полю. Таким образом, ориентационный эффект магнитного поля приводит к положительной магнитной восприимчивости. 

Атомы диамагнитных веществ не имеют постоянных магнитных моментов --- у них спиновые и орбитальные магнитные моменты электронов сбалансированы так, что суммарный магнитный момент, приходящийся на один атом равен нулю. Но если такой атом поместить в магнитное поле, то будет иметь место эффект магнитной поляризации, т. е. в атоме индуцируется дополнительный магнитный момент, направленный в соответствии с принципом Ленца против поля. Таким образом, поляризационный эффект магнитного поля приводит к отрицательной магнитной восприимчивости. Так как причиной диамагнетизма является электромагнитная индукция, то он должен проявляться в явной или скрытой форме во всех материальных средах. В тех случаях, когда атомы вещества изначально обладают собственными магнитными моментами, диамагнитный эффект перекрывается значительно более сильным парамагнитным эффектом.  

В случае гармонической зависимости от времени, поле $\vec B$ может быть представлено в комплексном виде $(\vec B = \vec B_0e^{−i\omega t}),$ а значит, $\vec H$ и $\vec M$ также являются комплексными величинами. Поэтому, вообще говоря, и коэффициент связи между ними $\chi $ (то же самое относится и к $\mu $) также должен рассматриваться как комплексное число: $\chi= \chi ' + i \chi ''.$ У диамагнетиков и парамагнетиков магнитная проницаемость очень мало отличается от единицы, а поле в веществе $H_i$ связано с внешним полем He линейно, поэтому намагниченность тела также линейно зависит от $H_e$ 
$$
\vec M =\alpha \vec H_e. \ \ \ \ \ (25) 
$$
Безразмерный коэффициент $\alpha ,$ называемый магнитной поляризуемостью, также является комплексной величиной: $\alpha = \alpha ' + i \alpha '',$ это означает, что намагниченность не совпадает с внешним полем по фазе. 

Найдем магнитную поляризуемость для цилиндрического проводника радиуса $\alpha ,$ помещенного в однородное переменное магнитное поле, параллельное оси цилиндра $(H_e = H_0 e^{−i\omega t}).$ Эту задачу можно решить исходя из уравнений (2), (3) и (6).  

В уравнении (6) не учтен ток смещения, так как он мал по сравнению с током проводимости при $ \omega \ll 4\pi \sigma \varepsilon .$ Предполагается также, что длина волны, соответствующая частоте поля $\omega ,$ велика по сравнению с размерами тела, период изменения поля мал по сравнению с характерным временем микроскопического механизма проводимости ($\omega \ll \tau ^{-1}$,где $\tau $ --- время свободного пробега электронов), а длина свободного пробега электронов мала по сравнению с масштабом, на котором заметно изменяется поле. 

Поле внутри проводника описывается уравнением (8). С учетом временной зависимости поля $H_e = H_0 e^{−i\omega t},$ полагая $\mu =1,$ получаем уравнение 
$$
\Delta \vec H = − \frac{i4\pi \omega \sigma }{c^2}\vec H. \ \ \ \ \ (26) 
$$
Это уравнение вместе с уравнением div$\vec H = 0$ составляет полную систему, достаточную для определения магнитного поля.  

Токи Фуко в цилиндре циркулярны (т.е. $j$ имеет в цилиндрических координатах только угловую компоненту $j_{\varphi }$) и определяются по полю согласно  
$$
\frac{4\pi j}{c}=\frac{\partial H}{\partial r}
$$

Магнитный момент единицы длины цилиндра, создаваемый токами проводимости, направлен вдоль его оси и равен 
$$
M_1=\frac 1{2c}\int jr\ dV=\frac 1{4}\int \frac{\partial H}{\partial r}r^2 \ dr
$$

Приближенное решение данной задачи достаточно подробно рассмотрено в Приложении. Здесь же приведем результат точного решения (задача 3 к § 59 в работе [16] и задача 382 в работе [17]): 
$$
\alpha = \frac{\alpha _1}{\pi a^2}=-\frac{1}{4\pi}(1-\frac{2}{ka}\frac{J_1(ka)}{J_0(ka)})
$$
где $k = 1+ i,$ $\delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega}}$ --- глубина проникновения магнитного поля в проводник; 
$$
J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{(2\cdot 4)^2}-\frac{x^6}{(2\cdot 4\cdot 6)^2} + \ldots ;
$$
$$
J_1(x)=\frac{x}{2}(1-\frac{x^2}{2\cdot 2^2}+\frac{x^4}{3\cdot (2\cdot 4)^2}-\frac{x^6}{4\cdot (2\cdot 4\cdot 6)^2} + \ldots );
$$
--- функции Бесселя. 

В предельном случае низких частот $(\delta \gg a)$ 
$$
\alpha '=-\frac{1}{48}(\frac{a}{\delta })^4=-\frac{\pi a^4\sigma ^2 \omega ^2}{12 c^4},
\alpha ''=-\frac{1}{16 \pi}(\frac{a}{\delta })^2=-\frac{a^2\sigma \omega }{8 c^2},
\ \ \ \ \ (28)
$$
Отсюда получим 
$$
\frac{\chi '}{\chi ''}=\frac{\alpha '}{\alpha ''}=-\frac{\pi ^2\sigma d^2}{3c^2}f,
\ \ \ \ \ (29)
$$
где $f =\frac{\omega }{2\pi}$ --- частота, а $d = 2a$ --- диаметр образца.  

Таким образом, магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создается, в основном, возникающими в теле токами проводимости; он отличен от нуля даже при $\mu =1,$ когда статический момент обращается в нуль. Cтатический магнитный момент должен получаться из $\vec M(\omega )$ при $\omega \to 0.$ Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости $\alpha '$ при $\omega \to 0$ стремится к постоянному значению (равному нулю при $\mu =1$). Возникновение вихревых токов сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Диссипация энергии определяется мнимой частью магнитной поляризуемости $\alpha ''$ [16], причем $\alpha '' > 0.$
 
Полученное приближенное соотношение (29) может использоваться для бесконтактного определения проводимости (на достаточно малых частотах) в тех случаях, когда вещественная часть магнитной поляризуемости $\alpha ' < 0,$ а $\mu =1.$ Однако необходимо иметь в виду, что если статический магнитный момент не равен нулю, то при $\omega \to 0$ $\alpha '$ стремится к постоянному значению, также отличному от нуля, и его необходимо учитывать в выражениях (28) и, соответственно, в формуле (29).