3.38.
Найти вольт--амперную характеристику цилиндрического диода с
нулевым радиусом катода (радиус анода $r_a$).

-----
Запишем уравнение Пуассона для координаты $r$, отсчитываемой от
катода (заземленного электрода):
\[\triangle\varphi(r)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=-\frac jv,\]
где знак плотности тока выбрали с учётом того, что заряд электрона --- отрицательный.
Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных
\[mv^{2}/2=-e\varphi(r)=|e|\varphi(r),\]
откуда
\[v(r)=\sqrt{\frac{2|e|}{m}\cdot\varphi(r)}.\]
Плотность тока:
\[j=\frac{J}{S}=\frac{J}{2\pi r \ell}.\]

Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается
так: $$
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi
J }{2\pi r\ell}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
$$
\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)=
\frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(r_a)=U.$$

Ищем решение в виде $ \varphi(r)=Cr^{\alpha}.$

Подставляем в уравнение и получаем $$
C\alpha(\alpha-1)r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$

Степени $r$ должны быть одинаковы: $\alpha-1\!=\!-\alpha/2$,
откуда $\alpha\!=\!\frac{2}{3}$.

Подставляя $\alpha=\frac{2}{3}$ в предыдущее уравнение и сокращая
на $r^{2/3}$, получаем уравнение для $C$: $$
\frac{9}{4}C=AC^{-1/2},$$ откуда
$$C=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3}.$$

Таким образом, $$
\varphi(r)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},$$ откуда $$
U=\frac{4r_aA}{9},~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{r_a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$