На комплексном сопротивлении контура Z(f) выделяется напряжение дробовых шумов ¯U2др=2eI0∞∫0|Z(f)|2df=eIaπ∞∫0|Z(ω)|2dω.
Здесь Z(ω)=(R+jωL)/jωC(R+jωL)+1/jωC=R+jωLjωRC−ω2LC+1, причем величина R это сумма сопротивления провода катушки и сопротивления делителя схемы R2:
Обозначая x=ωω0; ω0=1√LC; Q=ω0LR=1ω0CR, получим Z(x)=R+jRQx(1−x2)+jx/Q и |Z(x)|2=|R−jRQx(1/Q2+1−x2)(1−x2)2+(x/Q)2|2.
Поскольку нас интересуют лишь значения х≈1 и Q≥10, то множитель в скобке знаменателя можно принять равным 1 и записать |Z(x)|2=|R−jRQx(1−x2)2+(x/Q)2|2=R2+R2Q2x2(1−x2)2+(x/Q)2≈R2Q2x2(1−x2)2+(x/Q)2
Последнее приближение сделано ввиду R≪RQx. Используя соотношение RQ=1ω0С, получим ¯U2др=eI0πω0C2∞∫0x2(1−x2)2+(x/Q)2dx
Вводя новую переменную y=Q(1x−x), тогда dy=−Q(1x2+1)dx≈2Qdx, следовательно, получим ∞∫−∞Q2(y2+1)dy=Q2arctg(y)|∞−∞=Qπ2. И окончательно ¯U2др=eI0Q2ω0C2.