Приложение
На комплексном сопротивлении контура $Z(f)$ выделяется напряжение дробовых шумов $$ \overline{U_{др}^{2} }=2eI_{0} \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2} df=\frac{eI_{a} }{\pi } \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2} d\omega . $$
Здесь $Z(\omega )=\frac{(R+j\omega L)/j\omega C}{(R+j\omega L)+1/j\omega C} =\frac{R+j\omega L}{j\omega RC-\omega ^{2} LC+1} $, причем величина $R$ это сумма сопротивления провода катушки и сопротивления делителя схемы $R_2$:
Обозначая $x=\frac{\omega}{\omega _0}$; $\omega _0 =\frac 1{\sqrt{LC}}$; $Q=\frac{\omega _0 L}{R}= \frac 1{\omega _0 CR}$, получим $$ Z(x)=\frac{R+jRQx}{(1-x^{2} )+jx/Q} \hspace{10pt} \text{ и } \hspace{10pt} \left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx(1/Q^{2} +1-x^{2} )}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2}. $$
Поскольку нас интересуют лишь значения $х \approx 1$ и $Q \geq 10$, то множитель в скобке знаменателя можно принять равным 1 и записать $$ \left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2} =\frac{R^{2} +R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \approx \frac{R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } $$
Последнее приближение сделано ввиду $R \ll RQx$. Используя соотношение $RQ = \frac 1{\omega_0С}$, получим $$ \overline{U_{др}^2}=\frac{eI_0}{\pi \omega _{0} C^{2} } \int \limits_{0}^{\infty }\frac{x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } dx $$
Вводя новую переменную $y=Q(\frac{1}{x} -x)$, тогда $dy=-Q(\frac{1}{x^{2} } +1)dx\approx 2Qdx$, следовательно, получим $$\int \limits_{-\infty }^{\infty }\frac{Q}{2(y^{2} +1)} dy=\frac{Q}{2} \text{arctg} \Biggl. (y) \Biggr|_{-\infty }^{\infty } =\frac{Q\pi }{2} . $$ И окончательно $$\overline{U_{др}^{2} }=\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } . $$