3.32. Найти вольт–амперную характеристику плоского диода (площадь электродов — $S$, расстояние между ними — $d$), катод которого неограниченно испускает электроны с нулевой начальной скоростью (закон «3/2»). Считать, что электрическое поле у катода отсутствует (внешнее поле самого диода компенсируется полем образовавшегося между электродами объемного заряда).
Запишем уравнение Пуассона для координаты $x$, отсчитываемой от катода (заземленного электрода): \[\triangle\varphi(x)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=j/v.\] Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных \[mv^{2}/2=e\varphi(x),\] откуда \[v(x)=\sqrt{2e/m\cdot\varphi(x)}.\] Подставляя выражение для скорости через потенциал в уравнение Пуассона, получаем \[\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=4\pi\sqrt{\frac{m}{2e}\frac{J}{S}}\varphi^{-1/2}\equiv A\varphi^{-1/2},\,\,\,\mbox{где}\,\,\,A=2\pi\sqrt{\frac{2m}{e}\frac{J}{S}}.\]
\[\varphi(0)=0,~~\varphi(d)=U,~~(d\varphi/dx)_{x=0}=0.\] Граничные условия на катоде и аноде имеют вид, причем третье условие – это условие равенства нулю электрического поля вблизи анода.
Представим уравнение в виде $$dx\cdot\frac{d\varphi}{dx}\cdot\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=\frac{1}{2}d\left(\frac{d\varphi}{dx}\right)^{2}=A\varphi^{-1/2}d\varphi$$ и проинтегрируем его, домножив обе части на 2: $$\left(\frac{d\varphi}{dx}\right)^{2}=2A\int\varphi^{-1/2}d\varphi=4A\varphi^{1/2}+C_{1},$$ $C_{1}=0$ из граничных условий $\varphi(0)=0$ и $E(0)=0$.
Тогда $$\frac{d\varphi}{dx}=2\sqrt{A}\varphi^{1/4}.$$
Интегрируем еще раз: $$2\sqrt{A}x=\int\varphi^{-1/4}d\varphi=\frac{4}{3}\varphi^{3/4}+C_{2};~~~C_{2}=0~~~{\mbox{при}}~~~\varphi(0)=0.$$
Так как $\varphi(d)=U$, то $$2\sqrt{A}d=\frac{4}{3}U^{3/4}, ~~~{\mbox{откуда}}~~~\frac{9}{4}Ad^{2}=U^{3/2}.$$
Подставляя $$A=2\pi\sqrt{\frac{2m}{e}}\cdot\frac{J}{S},$$ имеем $$\frac{9}{4}\cdot 2\pi\sqrt{\frac{2m}{e}}\cdot\frac{Jd^{2}}{S}=U^{3/2},$$ т. е. $$J=\frac{\sqrt{2}}{9\pi}\sqrt{\frac{e}{m}} \frac{S}{d^{2}}\cdot U^{3/2}.$$