Ток в твердых телах может быть вызван не только наличием электрического поля. Если в полупроводнике создать область неравновесных носителей, например неоднородным легированием, то в нем возникнет диффузионный поток из-за наличия градиента концентрации носителей. Его можно описать уравнением вида $$ I_{n} =-D_{n} \frac{dn}{dx} , $$ где $D_{n} $ — коэффициент диффузии электронов. Аналогичное выражение имеет место для дырок. Диффузионным потокам носителей заряда соответствуют диффузионные токи $$ j_{n} =eD_{n} \frac{dn}{dx} . $$ Диффузионный ток — это самый настоящий ток, ничем неуступающий дрейфовому току, возникающему под действием электрического поля $E$. При прохождении диффузионного тока, также как и прохождении дрейфового тока, выделяется джоулево тепло. Наличие в полупроводнике диффузионного тока приводит к пространственному разделению зарядов. В свою очередь, разделение зарядов порождает статическое электрическое поле $E_{st},$ которое создает дрейфовые токи носителей зарядов. Дрейфовая составляющая плотности тока записывается на основании закона Ома в виде $$ j_{n} =enu_{n} E_{st} . $$ Полный ток складывается из диффузионного и дрейфового токов. Для электронов он будет равен $$ j_{n} =enu_{n} E_{st} +eD_{n} \frac{dn}{dx} . $$ Так как плотность тока в изолированном полупроводнике должна быть равна нулю, то очевидно, что в равновесном состоянии диффузионный ток электронов должен быть уравновешен током дрейфа электронов в поле $E_{st} .$ Аналогичное равновесное состояние должно иметь место также между диффузионным током дырок и дырочным током проводимости. В равновесном состоянии $j_{n,p} =0.$ Приравнивая правую часть последнего выражения к нулю, в общем виде получаем $$ (*) \ \ \ \ \ u_{n} nE_{st} =-D_{n} \frac{dn}{dx} . $$ Если учесть, что в полупроводнике имеется электростатическое поле $E_{st} $, то электроны, находящиеся в этом поле, будут обладать потенциальной энергией $U=-e\varphi $. Поэтому концентрация электронов в зоне проводимости будет удовлетворять соотношению Больцмана вида $$ n=n_{0} e^{\frac{e\varphi}{kT}}, $$ где $n_{0} $~ – равновесная концентрация электронов; $\varphi $ — электро-статический потенциал.

Учитывая, что $E_{st} =-\frac{d\varphi }{dx} $, и подставляя значения $n$ и $\frac{dn}{dx}$ в уравнение (*), получаем $$ -u_{n} n_{0} e^{\frac{e\varphi}{kT}} \frac{d\varphi }{dx} =-D_{n} \frac{e}{kT} n_{0} e^{\frac{e\varphi}{kT}} \frac{d\varphi }{dx} , $$ откуда для электронов будем иметь $$ \frac{u_{n} }{D_{n} } =\frac{e}{kT} . $$ Аналогично для дырок $$ \frac{u_{p} }{D_{p} } =\frac{e}{kT} . $$ Соотношение, связывающее коэффициент диффузии носителей заряда и их подвижность в условиях термодинамического равновесия, носит название соотношение Эйнштейна.

Связь между подвижностью и коэффициентом диффузии можно установить и другим способом. Как видно из ранее приведённой формулы подвижность носителей прямо пропорциональна времени релаксации носителей. Но и коэффициент диффузии частиц определяется аналогичной зависимостью от среднего времени свободного пробега: $$ D=\frac{1}{3} \vartheta _{T}^{2} \tau . $$ Поэтому между обеими величинами существует связь. Подставляя значение тепловой скорости из выражения $$ \vartheta _{T\, n,p} =\sqrt{\frac{3kT}{m_{n,p}^{*} } } , $$и учитывая формулу $$ u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} =\frac{e\tau _{n,p} }{m_{n,p}^{*} } , $$ легко получить известное соотношение Эйнштейна, связывающее коэффициент диффузии с подвижностью: $$ D=\frac{kT}{e} u. $$ Связь между подвижностью и коэффициентом диффузии справедлива не только для электронов и дырок, но и для любых частиц, заряженных и незаряженных, движущихся в поле силы тяжести или в электрическом поле. Эта связь является наглядным отражением того обстоятельства, что и направленному движению частиц под действием силы, и процессу диффузии мешает один и тот же процесс: столкновения частиц, происходящие через средний промежуток времени $\tau $ при средней тепловой скорости $\vartheta _{T} .$

Назад к Примесная и собственная проводимость полупроводников, далее Движение носителей заряда в полупроводниках, помещенных в магнитное поле. Эффект Холла