Оборудование: Генератор низкой частоты (например, GFG — 8255A), дифференциальный трансформатор, двухканальный осциллограф (например, Tektronix TDS 1012), исследуемые образцы.

Бесконтактные методы измерения электропроводности во многих случаях имеют существенные преимущества перед контактными способами.

Известно, что при низких температурах длина свободного пробега электронов в чистых металлах достигает нескольких миллиметров. Поэтому правильное значение электропроводности можно получить лишь на образцах достаточно большого диаметра. Такие измерения целесообразно проводить бесконтактными методами. В частности, это относится к контролю чистоты металлов по остаточному удельному сопротивлению.

Бесконтактные методы можно использовать для измерения электропроводности металлов, сплавов, полупроводников и электролитов, в том числе и в тех случаях, когда образец помещен в герметичную ампулу для изоляции исследуемого материала от окружающей среды.

В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле [18] (метод дифференциального трансформатора). Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (см. рис. 4). Образец 1 помещают внутрь одной из катушек датчика. Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю. При помещении образца 1 внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца: $$ U_{вых}\propto\frac{\partial M}{\partial t}= \frac{\partial }{\partial t}(\chi H_0 e^{-i\omega t})= -i\omega \chi H_0 e^{-i\omega t}= $$ $$ -i\omega \chi_0 e^{i\beta} H_0 e^{-i\omega t}= i\omega \chi_0 H_0 e^{-i(\omega t+\frac{\pi}{2}-\beta )}. $$ Здесь мы представили $\chi $ в виде $\chi = \chi_0 e^{i\beta}$, где $\mbox{tg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}$ — из соотношения (12). Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину $\varphi = \frac{\pi}{2}-\beta$ относительно магнитного поля. Воспользовавшись тем, что $\mbox{tg}(\frac{\pi}{2}-\beta) = \mbox{ctg}\beta,$ получим $$ \mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= -\frac{\pi^2\sigma d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (30) $$ Таким образом, построив график зависимости $\mbox{tg}(\varphi) $ от частоты $f,$ по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость $\sigma .$

Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т.е. $\alpha '_1 (\omega = 0) =\alpha _{01},$ то вместо формулы (13) следует воспользоваться выражением $$ \mbox{tg}(\varphi) = \mbox{ctg}\beta=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= \frac{16c^2\alpha _{10}}{\pi d^2\sigma \mu f} -\frac{\pi^2\sigma \mu d^2}{3c^2}f. \ \ \ \ \ (31) $$ Эта формула, как и выражение (30), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки $f = f_0,$ в которой $\mbox{tg}\varphi = 0.$

1) Соберите схему (см. рис.4, где 1 — образец; 2,3 — катушки взаимной индуктивности; $N$ — двухканальный осциллограф; G — генератор низких частот) и проведите измерения $\varphi $ для двух (или трех) цилиндрических образцов методом фигур Лиссажу.

Выбор полосы частот для проведения измерений зависит от величины проводимости материала образца. Например, для меди можно выбрать полосу частот от 200 Гц до 1 кГц (с интервалом 100 Гц). Для материалов с низкой проводимостью (таких, как титан) имеет смысл начинать измерения с частоты (1 — 2) кГц.

Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности частоты $f_0$ (на этой частоте, в соответствии с формулами (31) и (31а), фазовый сдвиг обращается в нуль). Примечание. Исследование влияния параметра $\mu $ на крутизну участка вблизи $f_0,$ а также исследование свойств меди и других проводников на высоких частотах можно рекомендовать в качестве курсовой работы.

2) Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости $\sigma $ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями.

На экране двухканального осциллографа результат сложения гармонических колебаний одинаковой частоты имеет вид эллипса. Действительно, если точка P одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законам $$ x = A_1 \sin(\omega t +\varphi _1) \ \ \mbox{ и } \ \ y = A_2 \sin(\omega t +\varphi _2), $$ где $x$ и $y$ — декартовы координаты точки $P,$ то уравнение траектории результирующего движения точки $P$ в плоскости XOY можно найти, исключив из выражений для координат $x$ и $y$ параметр $t:$ $$ (\frac{x}{A_1})^2 + (\frac{y}{A_2})^2 - 2[\frac{xy}{A_1A_2}]\cos(\varphi_2 -\varphi _1) = \sin^2 (\varphi _2 - \varphi_1). $$

Очевидно, координаты точек пересечения эллипса с осями координат зависят от величины $|\varphi _2 - \varphi_1 |.$ Вставьте исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Произведите измерение величины $\sin(\varphi _2 - \varphi_1).$ После этого вставьте исследуемый образец в другое гнездо дифференциального трансформатора и повторите измерения на той же частоте. Определите среднее значение $\varphi = \varphi _2 - \varphi_1 .$

Отчет должен содержать следующие измеренные данные, результаты их обработки и анализа:

• расчетные формулы;
• схему измерительной установки;
• графики зависимостей $\mbox{tg}\varphi $ от частоты;
• значения удельной проводимости для каждого из исследованных образцов с указанием погрешности и сравнение их с табличными значениями.

Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глубиc на проникновения поля $\delta = \frac{c}{\sqrt{2\pi \sigma \omega }}$ велика по сравнению с радиусом проводника ($\delta \gg a ,$ случай слабого скин–эффекта), методом последовательных приближений.

В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю $H_{stat}.$ C учетом граничных условий в нашей задаче $H_{stat} = H_e.$ Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения (2) электрического поля $E,$ потом, по формуле (6), соответствующих ему токов $j,$ а затем — создаваемого ими в проводнике поля $H_i.$ Подставив найденное $H_i$ в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т.д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость $\alpha ,$ только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами $j,$ с помощью уравнения $$ M_1=\frac{1}{2c}\int jr\ dV. \ \ \ \ \ (32)$$

Здесь $M_1,$ в отличие от $M,$ является магнитным моментом единицы длины цилиндра.

Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь следующие компоненты: $H_e = (0,0,H_0).$ Используя вид дифференциальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом: $$ \Delta \vec H_i=0 \Rightarrow \vec H_i=\vec H_e =\vec e_z H_0; $$ $$ \mbox{rot}\vec E = - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}= i\frac{\omega }{c}\vec H_e \Rightarrow E_{\varphi }=\frac{i\omega }{2c} H_0r; \ \ \ \ \ (33) $$ $$ \vec j =\sigma \vec E \Rightarrow j_{\varphi } = \frac{i\sigma \omega }{2c} H_0 r; \ \ \ \ \ (34) $$ $$ M_1 =\frac{1}{2c}\int jr \ dV = \frac{i\pi \sigma \omega }{8c^2}a^4H_0. \ \ \ \ \ (35) $$

Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра — чисто мнимая величина, равная $\alpha ''=\frac{\pi \sigma \omega}{8c^2}a^4.$ Так как мы рассматриваем случай слабого скин–эффекта, т.е. $\delta \gg a,$ то полученное значение $\alpha ''$ пропорционально величине второго порядка малости $\frac{a^2}{\delta ^2}.$

Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами $j$ из уравнения (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру: $$ \mbox{rot}\vec H = \frac{4\pi}c \vec j \Rightarrow H_z^{(2)} = \frac{i\pi\sigma \omega }{c^2}H_0. \ \ \ \ \ (36) $$

Индекс $^{(2)}$ означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe $z$ компоненты, равны нулю; индекс $(i),$ означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее $$ E_{\varphi } = -\frac{\pi \sigma \omega ^2}{2c^3}H_0r^3; \ \ \ \ \ (37) $$ $$ j_{\varphi} = -\frac{\pi \sigma ^2 \omega ^2}{2c^3}H_0r^3; \ \ \ \ \ (38) $$ $$ M_1 =\frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6 H_0. \ \ \ \ \ (39) $$

Другими словами, во втором приближении магнитная поляризуемость действительная величина $$ \alpha _1'= - \frac{\pi ^2 \sigma ^2 \omega ^2}{12c^4}a^6, $$ пропорциональная величине четвертого порядка малости $\frac{a^4}{\delta ^4}.$ Используя формулы (39) и (35), получим, что $$ \frac{\chi '}{\chi ''}=\frac{\alpha '}{\alpha ''}= -\frac{\pi ^2 \sigma d ^2}{3c^2}f, \ \ \ \ \ (40) $$ где $f =\frac{\omega}{2\pi}$ — частота, а $d = 2a$ — диаметр образца. Это приближенное соотношение (для достаточно малых частот) можно получить также из точного решения (27) при $\delta \gg a,$ разлагая функции Бесселя в ряд по степеням $ka$ (см. разд. 3.1).