|
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab5:описание_процессов [2019/04/11 11:57]
root_s создано |
lab5:описание_процессов [2025/07/01 11:59] (текущий)
|
| Всякую комплексную величину $a + ib$ можно представить в виде $Ае^{i\varphi },$ где $А$ и $\varphi $ --- действительные числа и | Всякую комплексную величину $a + ib$ можно представить в виде $Ае^{i\varphi },$ где $А$ и $\varphi $ --- действительные числа и |
| $$ | $$ |
| a+ib=Ae^{i\varphi } \Rightarrow A=\sqrt{a^{2} +b^{2} } , \tg\varphi =\frac{b}{a} | a+ib=Ae^{i\varphi } \Rightarrow A=\sqrt{a^{2} +b^{2} } , \ \ \ \mbox{ tg}(\varphi) =\frac{b}{a} . |
| $$ | $$ |
| |
| Для представления гармонических функций в экспоненциальном виде используются формулы: | Для представления гармонических функций в экспоненциальном виде используются формулы: |
| | $$ |
| \noindent $e^{ikx} =\cos kx+i\sin kx,{\rm \; \; }\cos kx=\frac{1}{2} (e^{ikx} +e^{-ikx} ){\rm ,\; \; }\sin kx=\frac{1}{2i} (e^{ikx} +e^{-ikx} ),$где\textit{ i} -- мнимая единица (\textit{i$\bullet$ i = }$-$1)\textit{.} | e^{ikx} =\cos kx+i\sin kx, \ \ \ \cos kx=\frac{1}{2} (e^{ikx} +e^{-ikx}), \ \ \ \sin kx=\frac{1}{2i} (e^{ikx} -e^{-ikx} ), |
| | $$ |
| | где $i$ --- мнимая единица ($i^2=-1$). |
| |
| Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, то для перевода комплексного представления в реальные количественные величины достаточно воспользоваться следующим правилом: | Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, то для перевода комплексного представления в реальные количественные величины достаточно воспользоваться следующим правилом: |
| |
| |
| \textbf{2.2. Импенданс, активное и реактивное сопротивления} | ==== Импенданс, активное и реактивное сопротивления ==== |
| |
| Импеданс является обобщением понятия сопротивление. В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение постоянного напряжения и тока на нем, применение термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора --- к бесконечности. Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства этих элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс, или просто импеданс. | Импеданс является обобщением понятия сопротивление. В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение постоянного напряжения и тока на нем, применение термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора --- к бесконечности. Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства этих элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс, или просто импеданс. |
| |
| Импеданс линейного участка цепи есть комплексная величина. Модуль этой комплексной величины определяет связь между амплитудами тока и напряжения, как и обычное (активное) сопротивление элемента цепи. Фаза комплексного числа определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Комплексные величины позволяют полностью описать произвольный гармонический сигнал -- его амплитуду и фазу (разд. 2.1). Импеданс равен частному от деления комплексной амплитуды напряжения на данном участке на комплексную амплитуду тока. Действительная часть импеданса соответствует активному сопротивлению, а мнимая --- реактивному. То есть элемент цепи с импедансом можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением и чисто реактивный элемент с импедансом. | Импеданс линейного участка цепи есть комплексная величина. Модуль этой комплексной величины определяет связь между амплитудами тока и напряжения, как и обычное (активное) сопротивление элемента цепи. Фаза комплексного числа определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Комплексные величины позволяют полностью описать произвольный гармонический сигнал --- его амплитуду и фазу (разд. 2.1). Импеданс равен частному от деления комплексной амплитуды напряжения на данном участке на комплексную амплитуду тока. Действительная часть импеданса соответствует активному сопротивлению, а мнимая --- реактивному. То есть элемент цепи с импедансом можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением и чисто реактивный элемент с импедансом. |
| |
| Импеданс цепи, содержащей несколько элементов, находится по стандартным правилам. Импедансы последовательно соединенных элементов суммируются, а при параллельном соединении определяются по правилу | Импеданс цепи, содержащей несколько элементов, находится по стандартным правилам. Импедансы последовательно соединенных элементов суммируются, а при параллельном соединении определяются по правилу |
| \[\frac{1}{Z_{\Sigma } } =\frac{1}{Z_{1} } +\frac{1}{Z_{2} } +\frac{1}{Z_{3} } +... .\] | \[\frac{1}{Z_{\Sigma } } =\frac{1}{Z_{1} } +\frac{1}{Z_{2} } +\frac{1}{Z_{3} } +... .\] |
| |
| Импеданс может быть измерен специальными приборами: измерителем \textit{RLC} или анализатором импеданса (см. прил. 4). Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения. | Импеданс может быть измерен специальными приборами: измерителем $RLC$ или анализатором импеданса (см. прил. 4). Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения. |
| | ==== Векторные диаграммы ==== |
| |
| | Для теоретического анализа процессов в цепях, содержащих реактивные элементы, удобно использовать метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в следующем. В соответствии с формулой Эйлера комплексное число можно записать в виде $e^{i{\kern 1pt} \varphi } =\cos \left(\varphi \right)+i\cdot \sin \left(\varphi \right)$, где $i$ -- мнимая единица, и изобразить его на комплексной плоскости вектором, численно равным единице, под углом $\varphi $ к действительной оси (рис. 4,а). Вектор не единичной длины, например, функция $I=I_{0} \cdot e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} $ в этом случае будет представлена вектором, изображенным на рис. 4,б. |
| | {{ :lab5:004.png?500 |}} |
| |
| | Гармонические функции в комплексном виде представляются мнимой или действительной частью соответствующего комплексного числа. Например, косинусоидальный ток $I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega t\right)$, где $I_{a} $ --- амплитуда, можно представить в виде |
| \textbf{2.3. Векторные диаграммы } | |
| | |
| Для теоретического анализа процессов в цепях, содержащих реактивные элементы, удобно использовать метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в следующем. В соответствии с формулой Эйлера комплексное число можно записать в виде $e^{i{\kern 1pt} \varphi } =\cos \left(\varphi \right)+i\cdot \sin \left(\varphi \right)$, где $i$ -- мнимая единица, и изобразить его на комплексной плоскости вектором, численно равным единице, под углом $\varphi $ к действительной оси (рис. 4, \textit{а}). Вектор не единичной длины, например, функция $I=I_{0} \cdot e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} $ в этом случае будет представлена вектором, изображенным на рис. 4, \textit{б}. | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=3.58in, height=1.11in, keepaspectratio=false]{image16} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 4}. Векторы на комплексной плоскости | |
| | |
| Гармонические функции в комплексном виде представляются мнимой или действительной частью соответствующего комплексного числа. Например, косинусоидальный ток $I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega \, t\right)$, где $I_{a} $ -- амплитуда, можно представить в виде | |
| \[I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega \, t\right)=Re\, \left(I_{a} e^{i\omega \, t} \right)\] | \[I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega \, t\right)=Re\, \left(I_{a} e^{i\omega \, t} \right)\] |
| и изобразить в виде проекции вектора $I_{a} e^{i\left(\omega \, t\right)} $ на ось + 1 или Re (рис. 4, \textit{б}). Re и Im -- условное обозначение реальной и мнимой части комплексного числа. Для представления синусоидальной зависимости $I=I_{a} \cdot \sin \left(\omega \, t\right)$ достаточно выбрать фазу $\psi $равной $-{\pi \mathord{\left/{\vphantom{\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} $. | и изобразить в виде проекции вектора $I_{a} e^{i\left(\omega t\right)} $ на ось + 1 или $Re$ (рис. 4,б). $Re$ и $Im$ --- условное обозначение реальной и мнимой части комплексного числа. Для представления синусоидальной зависимости $I=I_{a} \cdot \sin \left(\omega \, t\right)$ достаточно выбрать фазу $\psi $ равной $-\frac 12 \pi .$ |
| |
| Поскольку угол $\varphi =i\, \left(\omega \, t+\psi \right)$ линейно зависит от времени, то вектор $I_{a} e^{i\left(\omega \, t\right)} $ будет вращаться с круговой частотой $\omega $. Для исключения этого вращения в случае гармонических величин принято на комплексной плоскости изображать их для момента времени $t=0$. В этом случае $\omega \, t=0$ и | Поскольку угол $\varphi =i\, \left(\omega \, t+\psi \right)$ линейно зависит от времени, то вектор $I_{a} e^{i\left(\omega \, t\right)} $ будет вращаться с круговой частотой $\omega $. Для исключения этого вращения в случае гармонических величин принято на комплексной плоскости изображать их для момента времени $t=0$. В этом случае $\omega \, t=0$ и |
| \[I_{a} e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} =I_{a} e^{i\psi } =I. \] | \[I_{a} e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} =I_{a} e^{i\psi } =I. \] |
| Величина $I$ называется комплексной амплитудой. Таким образом, комплексная амплитуда изображает ток $I$ на комплексной плоскости в момент времени $t=0$ (рис. 4, \textit{в}). | Величина $I$ называется комплексной амплитудой. Таким образом, комплексная амплитуда изображает ток $I$ на комплексной плоскости в момент времени $t=0$ (рис. 4,в). |
| |
| |
| |
| \textbf{2.4. Законы Кирхгофа} | ==== Законы Кирхгофа ==== |
| |
| Основными законами для определения токов и напряжений в линейных цепях являются закон Ома и два закона Кирхгофа. | Основными законами для определения токов и напряжений в линейных цепях являются закон Ома и два закона Кирхгофа. |
| Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: | Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__4_} | \begin{equation} \label{GrindEQ__4_} |
| \sum _{k=0}^{N}U_{k} =\sum _{k=0}^{P}{\rm E} _{k} . | \sum _{k=0}^{N}U_{k} =\sum _{k=0}^{P}E_k . |
| \end{equation} | \end{equation} |
| |
| Произвольно заданные направления токов $I_{k} $ в системе \eqref{GrindEQ__3_} приводят к положительному вкладу $U_{k} $ в \eqref{GrindEQ__4_}, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы ${\rm E} _{k} $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении. | Произвольно заданные направления токов $I_{k} $ приводят к положительному вкладу $U_{k} $, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы $E_{k} $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении. |
| |
| |
| |
| \textbf{2.5. Мощность, выделяемая в схемах с \textit{R},\textit{ L},\textit{ C} в цепях переменного тока} | ==== Мощность, выделяемая в схемах с $R, L, C$ в цепях переменного тока ==== |
| |
| Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени | Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени |
| \[p\left(t\right)=\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt} q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \] | \[p\left(t\right)=\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt} q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \] |
| Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как | Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__5_} | $$ |
| \begin{array}{l} {p\left(t\right)=U_{0} \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_{0} \cos \left(\omega \, t+\psi \right)=} \\ {=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)+\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)} \end{array} . | p\left(t\right)=U_{0} \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_{0} \cos \left(\omega \, t+\psi \right)= |
| \end{equation} | $$ |
| | $$ |
| | {=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)+\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)} . |
| | $$ |
| Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь -- когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током. | Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь -- когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током. |
| |
| Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна | Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна |
| \[P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \] | \[P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \] |
| Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2} $: $U={U_{0} \mathord{\left/{\vphantom{U_{0} \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} } $, $I={I_{0} \mathord{\left/{\vphantom{I_{0} \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} } $. При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной | Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2}$: |
| | $$ |
| | U=\frac{U_0}{\sqrt{2} }, \ \ \ I=\frac{I_0}{\sqrt{2} }. |
| | $$ |
| | При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной |
| \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\] | \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\] |
| и полной мощности | и полной мощности |
| Операция $I^{*} $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$. | Операция $I^{*} $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$. |
| |
| На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору \textit{I} на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ -- реактивной. | На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору $I$ на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ --- реактивной. |
| |
| \includegraphics*[width=2.38in, height=1.12in, keepaspectratio=false]{image23} | {{ :lab5:005.png?400 |}} |
| | ==== Треугольник мощностей ==== |
| |
| \textit{Рис. 5.} Треугольник мощностей | Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5,б, называют //треугольником мощностей.// Если угол $\psi$ на рис. 5,б положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной. |
| |
| Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5, \textit{б}, называют \textit{треугольником} \textit{мощностей}. Если угол $\psi $на рис. 5, \textit{б} положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной. | |
| |
| |
| | ==== Переходные процессы ==== |
| \textbf{2.6. Переходные процессы} | |
| |
| Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме. | Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме. |
| |
| \noindent \includegraphics*[width=2.11in, height=1.51in, keepaspectratio=false]{image24} | |
| |
| \noindent \textit{Рис. 6.} Схема, иллюстрирующая анализ переходных процессов | |
| |
| \includegraphics*[width=2.23in, height=1.68in, keepaspectratio=false]{image25} | |
| |
| \noindent \textit{Рис. 7.} Временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ в схеме, изображенной на рис. 6 | |
| |
| Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами: | Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами: |
| | - незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость --- разрыв; |
| 1) незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость $-$ разрыв; | - индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т.е. ток через нее будет минимален. |
| | |
| 2) индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т. е. ток через нее будет минимален. | |
| |
| Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом. | Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом. |
| | {{ :lab5:006.png?450 |}} |
| |
| В начальный момент времени (t = 0) индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи \textit{ab}, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении \textit{R} = 1 $\Omega$ равно нулю. Затем за время порядка $\tau$ $\approx$ \textit{L/R} = 50 $\mu$с ток достигает значения 0,5 А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь \textit{cd} с сопротивлением 100 $\Omega$. Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях \textit{be} и \textit{cd}. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента. | В начальный момент времени $(t = 0)$ индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи **ab**, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении $R = 1 \Omega $ равно нулю. Затем за время порядка $\tau \approx \frac LR = 50 \mu$с ток достигает значения $0,5$А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь **cd** с сопротивлением $100 \Omega .$ Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях **be** и **cd**. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении $1 \Omega $ выглядит следующим образом (рис. 7). |
| | {{ :lab5:007.png?500 |}} |
| | Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента. |
| |
| Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8. | Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8. |
| | {{ :lab5:008.png?500 |}} |
| \includegraphics*[width=2.28in, height=1.13in, keepaspectratio=false]{image26} | Из первого закона Кирхгофа для узла **У1** получаем: |
| | $$ |
| \noindent \textit{Рис. 8.} Схема, иллюстрирующая использование законов Кирхгофа | |
| | |
| \noindent Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем: | |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__6_} | |
| I_{1} -I_{2} -I_{3} =0. | I_{1} -I_{2} -I_{3} =0. |
| \end{equation} | $$ |
| Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения: | Из второго закона Кирхгофа для контуров **К1** и **К2** получаем еще два уравнения: |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__7_} | $$ |
| I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right), | I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right), |
| \end{equation} | $$ |
| \begin{equation} \label{GrindEQ__8_} | $$ |
| I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right). | I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right). |
| \end{equation} | $$ |
| Дифференцируя уравнение \eqref{GrindEQ__8_} по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $из уравнений \eqref{GrindEQ__6_} и \eqref{GrindEQ__7_}, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$: | Дифференцируя последнее уравнение по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $ из двух предыдущих уравнений, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$: |
| | $$ |
| | \frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right) \ \ \ \mbox{ (СИ). } |
| | $$ |
| | Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) его решение может быть записано в аналитической форме. |
| |
| $\frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right)$ (СИ). \eqref{GrindEQ__9_} | Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений --- решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t} $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t} $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным. |
| | |
| Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) решение уравнения \eqref{GrindEQ__9_} может быть записано в аналитической форме. | |
| | |
| Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений $-$ решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t} $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t} $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным. | |
| |
| Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б). | Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б). |
| | {{ :lab5:009.png?400 |}} |
| \noindent \includegraphics*[width=3.36in, height=1.55in, keepaspectratio=false]{image27} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 9.} Примеры переходных процессов | |
| | |
| \noindent | |
| | |