Пусть ток и напряжение в электрической цепи меняются по гармоническому закону. Теперь для того чтобы определить ток или напряжение в какой-либо точке схемы в данный момент времени недостаточно знать только амплитуду. Необходимо еще иметь информацию о фазе сигнала. Конечно, можно определять амплитуды и фазовые сдвиги напряжений и токов явно, например $I(t)=I_{0} \sin \left(\omega t+\varphi \right)$, но проще это делать с помощью комплексных чисел. Вместо того чтобы складывать и вычитать синусоидальные функции, можно легко и просто складывать и вычитать комплексные числа, записанные в экспоненциальной форме.

Всякую комплексную величину $a + ib$ можно представить в виде $Ае^{i\varphi },$ где $А$ и $\varphi $ — действительные числа и $$ a+ib=Ae^{i\varphi } \Rightarrow A=\sqrt{a^{2} +b^{2} } , \ \ \ \mbox{ tg}(\varphi) =\frac{b}{a} . $$

Для представления гармонических функций в экспоненциальном виде используются формулы: $$ e^{ikx} =\cos kx+i\sin kx, \ \ \ \cos kx=\frac{1}{2} (e^{ikx} +e^{-ikx}), \ \ \ \sin kx=\frac{1}{2i} (e^{ikx} -e^{-ikx} ), $$ где $i$ — мнимая единица ($i^2=-1$).

Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, то для перевода комплексного представления в реальные количественные величины достаточно воспользоваться следующим правилом: \[A\left(t\right)=Re\left(A\left(\omega \right)\exp \left(i\omega t\right)\right), \] где $A\left(t\right)$ $-$ реальная физическая величина (тока или напряжения); $A\left(\omega \right)$ $-$ та же величина, но в комплексном представлении; $Re$ $-$ операция взятия действительной части. Для определения реальной и мнимой части нужно воспользоваться следующим представлением комплексных чисел: \[z=Re\left(z\right)+i{\kern 1pt} Im\left(z\right)=\rho {\kern 1pt} e^{i\varphi } =\rho \cdot {\kern 1pt} \left(\cos \left(\varphi \right)+i{\kern 1pt} \sin \left(\varphi \right)\right). \] Преобразование в обратную сторону записывается так: \[A\left(t\right)=A_{0} \cos \left(\omega t+\varphi \right)\to A_{0} \exp \left(i\varphi \right),\] где $A_{0} $ $-$ амплитуда гармонической составляющей реального сигнала на частоте $\omega $.

Закон Ома для цепей, содержащих только линейные элементы (сопротивления, емкости, индуктивности), записывается в «привычном» виде $U=I\cdot Z$. Только все входящие в закон величины являются комплексными: $Z$ $-$ импеданс линейного участка цепи; $U$ $-$ падение напряжения на нем; $I$ $-$ протекающий по нему ток.

Импеданс является обобщением понятия сопротивление. В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение постоянного напряжения и тока на нем, применение термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности. Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства этих элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс, или просто импеданс.

Импеданс линейного участка цепи есть комплексная величина. Модуль этой комплексной величины определяет связь между амплитудами тока и напряжения, как и обычное (активное) сопротивление элемента цепи. Фаза комплексного числа определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Комплексные величины позволяют полностью описать произвольный гармонический сигнал — его амплитуду и фазу (разд. 2.1). Импеданс равен частному от деления комплексной амплитуды напряжения на данном участке на комплексную амплитуду тока. Действительная часть импеданса соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть элемент цепи с импедансом можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением и чисто реактивный элемент с импедансом.

Импеданс цепи, содержащей несколько элементов, находится по стандартным правилам. Импедансы последовательно соединенных элементов суммируются, а при параллельном соединении определяются по правилу \[\frac{1}{Z_{\Sigma } } =\frac{1}{Z_{1} } +\frac{1}{Z_{2} } +\frac{1}{Z_{3} } +\ldots .\]

Импеданс может быть измерен специальными приборами: измерителем $RLC$ или анализатором импеданса (см. прил. 4). Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.

Для теоретического анализа процессов в цепях, содержащих реактивные элементы, удобно использовать метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в следующем. В соответствии с формулой Эйлера комплексное число можно записать в виде $e^{i{\kern 1pt} \varphi } =\cos \left(\varphi \right)+i\cdot \sin \left(\varphi \right)$, где $i$ – мнимая единица, и изобразить его на комплексной плоскости вектором, численно равным единице, под углом $\varphi $ к действительной оси (рис. 4,а). Вектор не единичной длины, например, функция $I=I_{0} \cdot e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} $ в этом случае будет представлена вектором, изображенным на рис. 4,б.

Гармонические функции в комплексном виде представляются мнимой или действительной частью соответствующего комплексного числа. Например, косинусоидальный ток $I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega t\right)$, где $I_{a} $ — амплитуда, можно представить в виде \[I=I_{a} \cdot \cos \left(\omega \, t\right)=Re\, \left(I_{a} e^{i\omega \, t} \right)\] и изобразить в виде проекции вектора $I_{a} e^{i\left(\omega t\right)} $ на ось + 1 или $Re$ (рис. 4,б). $Re$ и $Im$ — условное обозначение реальной и мнимой части комплексного числа. Для представления синусоидальной зависимости $I=I_{a} \cdot \sin \left(\omega \, t\right)$ достаточно выбрать фазу $\psi $ равной $-\frac 12 \pi .$

Поскольку угол $\varphi =i\, \left(\omega \, t+\psi \right)$ линейно зависит от времени, то вектор $I_{a} e^{i\left(\omega \, t\right)} $ будет вращаться с круговой частотой $\omega $. Для исключения этого вращения в случае гармонических величин принято на комплексной плоскости изображать их для момента времени $t=0$. В этом случае $\omega \, t=0$ и \[I_{a} e^{i\left(\omega \, t+\psi \right)} =I_{a} e^{i\psi } =I. \] Величина $I$ называется комплексной амплитудой. Таким образом, комплексная амплитуда изображает ток $I$ на комплексной плоскости в момент времени $t=0$ (рис. 4,в).

Основными законами для определения токов и напряжений в линейных цепях являются закон Ома и два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа связывает между собой токи, сходящиеся в какой-либо точке (узле) цепи: сумма втекающих и вытекающих токов для данного узла равна нулю: \begin{equation} \label{GrindEQ__3_} \sum _{k=0}^{N}I_{k} =0. \end{equation}

Это означает, что токи не могут накапливаться в каком-либо узле цепи. Токам, втекающим в узел, приписывается знак плюс, а вытекающим – знак минус.

Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: \begin{equation} \label{GrindEQ__4_} \sum _{k=0}^{N}U_{k} =\sum _{k=0}^{P}E_k . \end{equation}

Произвольно заданные направления токов $I_{k} $ приводят к положительному вкладу $U_{k} $, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы $E_{k} $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении.

Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени \[p\left(t\right)=\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt} q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \] Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как $$ p\left(t\right)=U_{0} \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_{0} \cos \left(\omega \, t+\psi \right)= $$ $$ {=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)+\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)} . $$ Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь – когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током.

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна \[P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \] Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2}$: $$ U=\frac{U_0}{\sqrt{2} }, \ \ \ I=\frac{I_0}{\sqrt{2} }. $$ При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\] и полной мощности \[\left|S\right|=\sqrt{P^{2} +Q^{2} } . \] Полная мощность определяет максимальное амплитудное значение гармонической составляющей мощности, циркулирующей через двухполюсник.

По аналогии с понятием импеданса в цепях переменного тока вводят комплексное выражения для мощности \[S=U\cdot I^{*} =U\, I\, e^{i\psi } =UI\cos \left(\psi \right)+i\, UI\sin \left(\psi \right)=P+iQ. \] Операция $I^{*} $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$.

На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору $I$ на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ — реактивной.

Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5,б, называют треугольником мощностей. Если угол $\psi$ на рис. 5,б положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной.

Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме.

Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами:

1. незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость — разрыв;
2. индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т.е. ток через нее будет минимален.

Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом.

В начальный момент времени $(t = 0)$ индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи ab, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении $R = 1 \Omega $ равно нулю. Затем за время порядка $\tau \approx \frac LR = 50 \mu$с ток достигает значения $0,5$А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь cd с сопротивлением $100 \Omega .$ Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях be и cd. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении $1 \Omega $ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.

Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8. Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем: $$ I_{1} -I_{2} -I_{3} =0. $$ Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения: $$ I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right), $$ $$ I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right). $$ Дифференцируя последнее уравнение по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $ из двух предыдущих уравнений, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$: $$ \frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right) \ \ \ \mbox{ (СИ). } $$ Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) его решение может быть записано в аналитической форме.

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений — решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t} $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t} $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.

Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б).