Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab5:описание_процессов [2019/04/11 19:34]
root_s [Мощность, выделяемая в схемах с $R, L, C$ в цепях переменного тока]
+++ lab5:описание_процессов [2019/04/11 19:52] (текущий)
root_s [Переходные процессы]
@@ Строка 88: / Строка 88: @@
 Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна
 \[P=\frac{1}{2} U_{0} I_{0} \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \]
-Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2} $: $U={U_{0}  \mathord{\left/{\vphantom{U_{0}  \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} } $, $I={I_{0}  \mathord{\left/{\vphantom{I_{0}  \sqrt{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sqrt{2} } $. При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной
+Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt{2}$:
+$$
+U=\frac{U_0}{\sqrt{2} }, \ \ \ I=\frac{I_0}{\sqrt{2} }.
+$$
+При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной
 \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\]
 и полной мощности
@@ Строка 98: / Строка 102: @@
 Операция $I^{*} $ означает сопряженное значение комплексной величины тока $I$.
-На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору \textit{I} на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую  $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ -- реактивной.
+На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору $I$ на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую  $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ --- реактивной.
-\includegraphics*[width=2.38in, height=1.12in, keepaspectratio=false]{image23}
+{{ :lab5:005.png?400 |}}
 ==== Треугольник мощностей ====
-Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5, \textit{б}, называют \textit{треугольником} \textit{мощностей}. Если угол $\psi $на рис. 5, \textit{б} положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной.
+Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5,б, называют //треугольником мощностей.// Если угол $\psi$ на рис. 5,б положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной.
@@ Строка 111: / Строка 114: @@
 Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме.
-\noindent \includegraphics*[width=2.11in, height=1.51in, keepaspectratio=false]{image24}
-\noindent \textit{Рис. 6.} Схема, иллюстрирующая анализ переходных процессов
-\includegraphics*[width=2.23in, height=1.68in, keepaspectratio=false]{image25}
-\noindent \textit{Рис. 7.} Временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ в схеме, изображенной на рис. 6
 Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами:
+  - незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость --- разрыв;
-) незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость $-$ разрыв;
+  - индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т.е. ток через нее будет минимален.
-) индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т. е. ток через нее будет минимален.
 Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом.
+{{ :lab5:006.png?450 |}}
-В начальный момент времени (t = 0) индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи \textit{ab}, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении \textit{R} = 1 $\Omega$ равно нулю. Затем за время порядка $\tau$ $\approx$ \textit{L/R} = 50 $\mu$с ток достигает значения 0,5 А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь \textit{cd} с сопротивлением 100 $\Omega$. Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях \textit{be} и \textit{cd}. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении 1 $\Omega$ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.
+В начальный момент времени $(t = 0)$ индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи **ab**, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении $R = 1 \Omega $ равно нулю. Затем за время порядка $\tau \approx \frac LR = 50 \mu$с ток достигает значения $0,5$А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь **cd** с сопротивлением $100 \Omega .$ Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях **be** и **cd**. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении $1 \Omega $ выглядит следующим образом (рис. 7).
+{{ :lab5:007.png?500 |}}
+Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.
 Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8.
+{{ :lab5:008.png?500 |}}
-\includegraphics*[width=2.28in, height=1.13in, keepaspectratio=false]{image26}
+Из первого закона Кирхгофа для узла **У1** получаем:
+$$
-\noindent \textit{Рис. 8.} Схема, иллюстрирующая использование законов Кирхгофа
-\noindent Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем:
-\begin{equation} \label{GrindEQ__6_}
 I_{1} -I_{2} -I_{3} =0.
-\end{equation}
+$$
-Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения:
+Из второго закона Кирхгофа для контуров **К1** и **К2** получаем еще два уравнения:
-\begin{equation} \label{GrindEQ__7_}
+$$
 I_{1} R_{1} +I_{2} R_{2} =U\left(t\right),
-\end{equation}
+$$
-\begin{equation} \label{GrindEQ__8_}
+$$
 I_{1} R_{1} +\frac{q_{3} }{C} =U\left(t\right).
-\end{equation}
+$$
-Дифференцируя уравнение \eqref{GrindEQ__8_} по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $из уравнений \eqref{GrindEQ__6_} и \eqref{GrindEQ__7_}, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$:
+Дифференцируя последнее уравнение по времени, используя $I_{3} =\frac{dq_{3} }{dt} $ и выражая $I_{2} $ и $I_{3} $ из двух предыдущих уравнений, получаем уравнение, описывающее зависимость $I_{1} \left(t\right)$ при заданном поведении $U\left(t\right)$:
+$$
+\frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right) \ \ \  \mbox{ (СИ). }
+$$
+Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) его решение может быть записано в аналитической форме.
- $\frac{d}{dt} I_{1} \left(t\right)+\frac{1}{R_{1} C} \left(1+\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)\, I_{1} =\frac{1}{R_{1} } \, \left(\frac{d}{dt} U\left(t\right)+\frac{U\left(t\right)}{R_{2} C} \right)$  (СИ). \eqref{GrindEQ__9_}
+Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений --- решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.
-Данное дифференциальное уравнение может быть решено численно с помощью математических пакетов MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple и др. В случае простой зависимости U(t) решение уравнения \eqref{GrindEQ__9_} может быть записано в аналитической форме.
-Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений $-$ решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $. Каждое элементарное решение $\sum _{i}I_{i} e^{p_{i} t}  $ описывает либо гармонический процесс ($p_{i} $ $\mathrm{-}$ мнимое число), либо экспоненциальный ($p_{i} $ $-$ вещественное число), либо комбинацию этих процессов ($p_{i} $ $-$ комплексное число). Физический смысл обычно имеют лишь процессы с затухающим, а не бесконечно возрастающим экспоненциальным членом в решениях. Это означает, что в начальный момент после коммутации на сигнал внешнего генератора всегда накладывается некоторый экспоненциально затухающий процесс, который и называется переходным.
 Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б).
+{{ :lab5:009.png?400 |}}
-\noindent \includegraphics*[width=3.36in, height=1.55in, keepaspectratio=false]{image27}
-\noindent \textit{Рис. 9.} Примеры переходных процессов
-\noindent