| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab5:discrete_element [2019/04/12 15:33]
root_s [Преобразование Фурье, спектры дискретного и непрерывного сигналов] |
lab5:discrete_element [2019/04/12 21:30] (текущий)
root_s [Свойства преобразования Фурье] |
| Если мы допускаем, что функция определена на бесконечном промежутке времени, то ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье | Если мы допускаем, что функция определена на бесконечном промежутке времени, то ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье |
| $$ | $$ |
| X(t)=\int \limits__{-\infty }^{\infty }c\left(f\right) \, \; e^{2\pi \, i\, p\, f\, t} df, | X(t)=\int \limits_{-\infty }^{\infty }c\left(f\right) \, e^{2\pi i p f t} df, |
| \ \ \ | \ \ \ |
| c_{p} =\int \limits__{-\infty }^{\infty }X\left(t\right)\, \; e^{2\pi \, i\, p\, f\; t} \, dt. | c_{p} =\int \limits_{-\infty }^{\infty }X\left(t\right)\, e^{2\pi i p f t} dt. |
| $$ | $$ |
| |
| В этом случае говорят о непрерывном спектре сигнала, т. е. частота гармоник пробегает теперь весь непрерывный ряд значений от$\left(-\infty ,+\infty \right)$. Можно считать, что величина $c\left(f\right)\, df$ является комплексной амплитудой гармоники $e^{2\pi \, i\, p\, f\, t} $, т. е описывает ее амплитуду и фазу. Вследствие этого $c\left(f\right)$ называют спектральной плотностью сигнала $X\left(t\right)$. | В этом случае говорят о непрерывном спектре сигнала, т.е. частота гармоник пробегает теперь весь непрерывный ряд значений от $\left(-\infty ,+\infty \right)$. Можно считать, что величина $c\left(f\right)df$ является комплексной амплитудой гармоники $e^{2\pi i p f t}$, т.е описывает ее амплитуду и фазу. Вследствие этого $c\left(f\right)$ называют спектральной плотностью сигнала $X\left(t\right)$. |
| |
| Как правило, на практике используется дискретное преобразование Фурье, так как сигнал измеряется на ограниченном промежутке времени в конечном числе точек. | Как правило, на практике используется дискретное преобразование Фурье, так как сигнал измеряется на ограниченном промежутке времени в конечном числе точек. |
| ==== Примеры спектров различных сигналов ==== | ==== Примеры спектров различных сигналов ==== |
| |
| На серии примеров на рис. 24 показаны спектры для различных сигналов. Слева на рисунке показан исходный сигнал, справа $-$ его спектр (амплитуды коэффициентов $\left|c\left(f\right)\right|$ эквивалентных интенсивности заданной гармоники). Фазовые зависимости $c\left(f\right)$ не указаны. | На серии примеров на рис. 24 показаны спектры для различных сигналов. Слева на рисунке показан исходный сигнал, |
| | справа --- его спектр (амплитуды коэффициентов $\left|c\left(f\right)\right|$ эквивалентных интенсивности заданной гармоники). Фазовые зависимости $c\left(f\right)$ не указаны. |
| | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.35in, height=1.46in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.00in 0.09in 0.09in]{image58} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 24.} Пример 1. Спектр сигнала $x\left(t\right)=\sin (\omega _{0} t)$ | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.31in, height=1.51in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.00in 0.09in 0.06in]{image59} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 24.} Пример 2. Спектр сигнала $x\left(t\right)=\exp ^{-{\left(t-t_{0} \right)^{2} \mathord{\left/{\vphantom{\left(t-t_{0} \right)^{2} \sigma _{0}^{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sigma _{0}^{2} } } \sin (\omega _{0} t)$ | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.31in, height=1.46in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.00in 0.09in 0.09in]{image60} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 24. Пример 3}. Спектр сигнала $x\left(t\right)=\exp ^{-{\left(t-t_{0} \right)^{2} \mathord{\left/{\vphantom{\left(t-t_{0} \right)^{2} \sigma _{0}^{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sigma _{0}^{2} } } $. | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.35in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.00in 0.09in 0.00in]{image61} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 24.} Пример 4. Спектр сигнала ступенчатой функции $x\left(t\right)=d\left(t-t_{0} \right)$ | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.39in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.00in 0.09in 0.00in]{image62} | |
| | |
| \noindent Рис. 24, Пример 5. Спектр сигнала ступенчатой функции $x\left(t\right)=d\left(t-t_{0} \right)$ | |
| | |
| \noindent | |
| | |
| \noindent \includegraphics*[width=4.25in, height=1.57in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.00in 0.09in 0.00in]{image63} | |
| | |
| \noindent \textit{Рис. 24.} Пример 6. Спектр сигнала последовательности ступенчататых функций $x\left(t\right)=d\left(t-t_{0} \right)$ | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| |
| | {{ :lab5:524-1.png?500 |}} |
| |
| | {{ :lab5:524-2.png?500 |}} |
| |
| | {{ :lab5:524-3.png?500 |}} |
| |
| | {{ :lab5:524-4.png?500 |}} |
| |
| | {{ :lab5:524-5.png?500 |}} |
| |
| | {{ :lab5:524-6.png?500 |}} |
| ==== Свойства преобразования Фурье ==== | ==== Свойства преобразования Фурье ==== |
| |
| \textbf{\textit{Принцип неопределенности }} | === Принцип неопределенности === |
| |
| \noindent Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24. | Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24. |
| |
| \textbf{\textit{Максимальная и минимальная частоты, регистрируемые с помощью дискретного преобразования Фурье}} | === Максимальная и минимальная частоты, регистрируемые с помощью дискретного преобразования Фурье === |
| |
| Минимальная и максимальная частоты в разложении сигнала в ряд Фурье | Минимальная и максимальная частоты в разложении сигнала в ряд Фурье |
| \[X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{{2\pi \, i\, p\, k \mathord{\left/{\vphantom{2\pi \, i\, p\, k N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} N} } . \] | $$X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{\frac{2\pi i p k}{N} } . |
| | $$ |
| равны | равны |
| \[f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{{\rm switch}} }{2} . \] | $$ |
| Здесь $T$ $-$ полное продолжительность измерения; $N$ $-$ число измерений; $\tau $ $-$ интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); $f_{\max } $ $-$ максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье. | f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{switch} }{2} . |
| | $$ |
| | Здесь $T$ --- полное продолжительность измерения; $N$ --- число измерений; $\tau $ --- интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); $f_{\max } $ --- максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье. |
| |
| \noindent \includegraphics*[width=3.15in, height=1.75in, keepaspectratio=false]{image64} | |
| |
| \noindent Рис. 25. «Стробоскопический» эффект | === Эффект стробоскопирования при дискретной регистрации сигнала === |
| |
| \noindent | Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем $f_{\max } $. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25. |
| | {{ :lab5:525.png?500 |}} |
| | Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности. |
| |
| \textbf{\textit{Эффект стробоскопирования при дискретной регистрации сигнала }} | Сигнал с частотой $19$Гц подается на АЦП с периодом измерений $50$мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте $10$Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом $1$сек (или частотой $1$Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра. |
| |
| Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем $f_{\max } $. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25. Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности. | === Расположение частот при дискретном преобразование Фурье === |
| | |
| Сигнал с частотой 19 Гц подается на АЦП с периодом измерений 50 мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте 10 Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом 1 сек (или частотой 1 Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра. | |
| | |
| \textbf{\textit{Расположение частот при дискретном преобразование Фурье}}\textit{ } | |
| |
| Коэффициенты дискретного преобразования Фурье рассчитываются по формуле | Коэффициенты дискретного преобразования Фурье рассчитываются по формуле |
| \[c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{{-2\pi \, i\, p\, k \mathord{\left/{\vphantom{-2\pi \, i\, p\, k N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} N} } \] | $$ |
| согласно разделу \eqref{GrindEQ__5_2_}, индекс \textit{p} может быть как в пределах $\left[-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} ,{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1\right]$, так и в пределах $\left[0,N-1\right]$. В физике принята интерпретация коэффициентов преобразования Фурье, основанная на введении области положительных и отрицательных частот, и поэтому используется индекс в виде $\left[-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} ,{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1\right]$. В некоторых математических пакетах используется нумерация коэффициентов в виде $\left[0,N-1\right]$. В этом случае считается, что ряд $c_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots $ описывает значение спектра на частотах $-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ . | c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{\frac{-2\pi i p k}{N}} |
| | $$ |
| | согласно разделу (5.2), индекс $p$ может быть как в пределах $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right]$, так и в пределах $\left[0,N-1\right]$. В физике принята интерпретация коэффициентов преобразования Фурье, основанная на введении области положительных и отрицательных частот, и поэтому используется индекс в виде $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right]$. В некоторых математических пакетах используется нумерация коэффициентов в виде $\left[0,N-1\right]$. В этом случае считается, что ряд $c_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots $ описывает значение спектра на частотах $-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ . |
| |
| \textbf{\textit{Теорема о энергии }} | === Теорема о энергии === |
| |
| Для дискретного преобразования Фурье верно соотношение | Для дискретного преобразования Фурье верно соотношение |
| \[\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2} =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }^{{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1}\left|c\right|_{p}^{2} , \] | $$ |
| | \tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2} =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-\frac 12 N}^{\frac 12 N -1}\left|c\right|_{p}^{2} , |
| | $$ |
| которое имеет простой физический смысл. Энергия сигнала равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Сумма | которое имеет простой физический смысл. Энергия сигнала равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Сумма |
| \[\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2} \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt \] | $$ |
| | \tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2} \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt |
| | $$ |
| характеризует энергию последовательности их $N$ отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде | характеризует энергию последовательности их $N$ отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде |
| \[\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt =\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(f\right)\right]^{2} \, df . \] | \[\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt =\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(f\right)\right]^{2} \, df . \] |
| \textbf{\textit{Свойства непрерывного преобразования Фурье}} | |
| |
| \begin{tabular}{|p{1.0in}|p{0.8in}|p{1.5in}|} \hline | === Свойства непрерывного преобразования Фурье === |
| Функия & Образ & Примечание \\ \hline | |
| $af\left(t\right)+bg\left(t\right)$ & $aF\left(\omega \right)+bG\left(\omega \right)$ & свойство линейности: $a$, $b$ $-$ константы \\ \hline | ^ Функия ^ Образ ^ Примечание ^ |
| $e^{i\omega \, t} f\left(t\right)$ & $F\left(\omega -a\right)$ & частотный сдвиг (см. пример 2 и 3, рис. 23) \\ \hline | | $af\left(t\right)+bg\left(t\right)$ | $aF\left(\omega \right)+bG\left(\omega \right)$ | свойство линейности: $a$, $b$ $-$ константы | |
| $e^{ia\, t} $ & $\delta \left(\omega -a\right)$ & гармонический сигнал с заданной частотой $a$, (см. пример 1, рис. 23) \\ \hline | | $e^{i\omega t} f\left(t\right)$ | $F\left(\omega -a\right)$ | частотный сдвиг (см. {{ :lab5:524-2.png?linkonly |пример 2}} и {{ :lab5:524-3.png?linkonly |3}}, рис. 24) | |
| $\delta \left(t\right)$ & 1 & максимально короткий сигнал, (предельный случай примера 5, рис. 23) \\ \hline | | $e^{ia\, t} $ | $\delta \left(\omega -a\right)$ | гармонический сигнал с заданной частотой $a$, (см. {{ :lab5:524-1.png?linkonly |пример 1}}, рис. 24) | |
| $e^{-at^{2} } $ & $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-{\omega ^{2} \mathord{\left/{\vphantom{\omega ^{2} 4a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 4a} } $ & функция Гаусса переходит в в функцию Гаусса (см. пример 3, рис. 23) \\ \hline | | $\delta \left(t\right)$ | 1 | максимально короткий сигнал, (предельный случай {{ :lab5:524-5.png?linkonly |примера 5}}, рис. 24) | |
| $d\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; -a<t<1} \\ {0,\; otherwise} \end{array}\right. $ & $\begin{array}{l} {2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega \, } =} \\ {=2a{\rm sinc}\left(\omega \, a\right)} \end{array}$ & преобразование Фурье от прямоугольной функции пропорционально функции ${\rm sinc}\left(x\right)={\sin \left(x\right) \mathord{\left/{\vphantom{\sin \left(x\right) x}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} x} $, (см. пример 4 и 5, рис. 23) \\ \hline | | $e^{-at^{2} } $ | $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-\frac{\omega ^2}{4a}} $ | функция Гаусса переходит в функцию Гаусса (см. {{ :lab5:524-3.png?linkonly |пример 3}}, рис. 24) | |
| $\frac{d^{n} }{dt^{n} } f\left(t\right)$ & $\left(i\omega \right)^{n} F\left(\omega \right)$ & \\ \hline | | $d\left(t\right)= 1,$ при $-a<t<1$ \\ и $d=0$ в остальных случаях | $2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega } = 2a\mbox{sinc}\left(\omega \, a\right)$ | преобразование Фурье от прямоугольной функции \\ пропорционально функции sinc$\left(x\right)=\frac{\sin (x)}{x}$, (см. {{ :lab5:524-4.png?linkonly |пример 4}} и {{ :lab5:524-5.png?linkonly |5}}, рис. 24) | |
| $f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)$ & $\frac{1}{2\pi } \left(F*G\right)\left(\omega \right)$ & преобразование Фурье от произведения двух функций есть свертка \newline $\left(F*G\right)\left(\omega \right)=\int F\left(\omega \right) G\left(\omega -\omega '\right)\, d\omega '$ \\ \hline | | $\frac{d^{n} }{dt^{n} } f\left(t\right)$ | $\left(i\omega \right)^{n} F\left(\omega \right)$ | | |
| $\left(f*g\right)\left(t\right)$ & $2\pi F\left(\omega \right)\cdot G\left(\omega \right)$ & \\ \hline | | $f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)$ | $\frac{1}{2\pi } \left(F*G\right)\left(\omega \right)$ | преобразование Фурье от произведения двух функций \\ есть свертка $(F*G)(\omega )=\int F(\omega ) G(\omega -\omega ') \ d\omega '$ | |
| \end{tabular} | | $\left(f*g\right)\left(t\right)$ | $2\pi F\left(\omega \right)\cdot G\left(\omega \right)$ | |
| |
| |