Развитие современной дискретной техники сильно изменило идеологию построения электрических цепей. Практически все современные осциллографы являются цифровыми устройствами в том смысле, что в ходе работы сигнал сначала превращается в «цифру», запоминается, а затем выводится на экран. В принципе последнее действие не обязательно, если есть возможность прочитать данные в компьютер и построить график там в любом удобном редакторе. Это кардинально отличает современные осциллографы от электронно-лучевых, где движение луча по экрану было принципиальным с точки зрения получения информации. Измеренный цифровой сигнал легко может быть дополнительно обработан в дальнейшем. Например, подсчитана частота и амплитуда синусоидального сигнала или построен частотный спектр произвольного импульса. После того, как сигнал «оцифрован» возможности обработки ограничены лишь фантазией экспериментатора.

Богатая номенклатура выпускаемых микросхем цифро-аналоговых (ЦАП) и аналогоцифровых преобразователей (АЦП) сделало возможным недоступную ранее реализацию решений задач по манипулированию с сигналами и цепями. Теперь для реализации поведения некоторой электрической цепи удобнее иногда измерить сигнал с помощью АЦП, затем рассчитать нужное поведение в микропроцессоре («на лету» или on–line) и результат выставить в виде напряжения в ЦАПе. Такой подход имеет много достоинств, но существует и ряд недостатков, связанных с конечной скоростью обработки (дискретизации) сигналов в дискретных элементах, недостаточной разрешающей способностью ЦАП и АЦП, специфическими проблемами, связанными с переходом от непрерывных сигналов к дискретным.

Дискретной (или импульсной) системой называется такой элемент электрической цепи, который преобразует непрерывный входной сигнал в последовательность импульсов или выполняет обратную операцию, по последовательности импульсов восстанавливает непрерывный сигнал. Как правило, дискретные элементы используются в комбинации с электронно-вычислительными машинами. Пример замены непрерывного сигнала $X\left(t\right)$ на дискретную последовательность показан на рис. 23. Дискретизация осуществляется электронным ключом (или коммутатором) через равные интервалы времени $\tau $. Частота переключения электронного ключа $f_{switch} $ и шаг дискретизации $\tau $ связаны формулой $f_{switch} = \tau ^{-1} $.

Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом $$ X\left(n\tau \right)=x\left(t\right)\cdot d\left(t-n\tau \right), $$ где $d\left(t\right)$ — дискретная импульсная функция.

Прохождения сигнала через различные элементы электрических цепей удобно описывать на примере гармонической волны (см. раздел 2.1). В случае если волна не является гармонической, то ее всегда можно представить как суперпозицию конечного или бесконечного числа гармонических волн. Такой метод называется спектральным разложением. Если сигнал задан на конечном промежутке времени $N$ точками, то он может быть представлен в виде суммы: $$ X_{k} =\frac{1}{N\tau } \sum \limits_{p=0}^{N-1}c_{p} e^{\frac{2\pi \, i\, p\, k }N} . $$

Коэффициенты $c_{p} $ называются фурье–гармониками или фурье амплитудами данного сигнала. Так как $e^{\frac{2\pi \, i\, p\, k }N} $ периодично по модулю $N$, то, не меняя результата, можно перейти к суммированию по симметричному относительно нуля индексу: $$ X_{k} =\frac{1}{N\tau } \sum \limits_{p=0}^{N-1}c_{p} e^{\frac{2\pi \, i\, p\, k }N} = \frac{1}{N\tau } \sum \limits_{p=-\frac 12N}^{\frac 12N-1}\tilde{c}_{p} e^{\frac{2\pi \, i\, p\, k }N} = $$ $$ {\frac{1}{N\tau } \left(\tilde{c}_{0} +(-1)^k \tilde{c}_{\frac 12N} \right)+ \frac{2}{N\tau } \sum _{p=1}^{\frac 12N-1}Re\left(\tilde{c}_{p} \right)\cdot \cos (\frac{2\pi \, p\, k}N) -} $$ $$ -\frac{2}{N\tau } \sum _{p=1}^{\frac 12N-1}Im\left(\tilde{c}_{p} \right)\cdot \sin (\frac{2\pi \, p\, k}{N} ) = $$ $$ \frac{1}{N\tau } \left(\tilde{c}_{0} +\left(-1\right)^{k} \tilde{c}_{\frac{N}{2}} \right)+\frac{2}{N\tau } \sum _{p=1}^{\frac 12 N-1}\left|\tilde{c}_{p} \right|\cdot \cos (\frac{2\pi \, p\, k }{N}+\varphi _{p}). $$

Как правило, описывается действительный (не комплексный) сигнал $X_{k} $, поэтому можно воспользоваться условием $\tilde{c}_{p} =-\tilde{c}_{p}^{*} $ на коэффициенты ряда. Здесь звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину. Поэтому реально независимыми будут только $\frac N2 +1$ коэффициентов. Видно, что данное представление напрямую связано с представлением сигнала в виде конечной суммы синусов и косинусов. Каждый комплексный коэффициент $\tilde{c}_{p} $ характеризует не только амплитуду, но и фазу соответствующей Фурье–гармоники.

Если длительность сигнала конечна, но он непрерывен, т.е. известен для любого момента времени в заданном интервале, то сигнал может быть представлен в виде $$ X(t)=\frac{1}{N} \sum _{p=-\infty }^{\infty }c_{p} e^{i \frac {2\pi p\, t}{T}}, \ \ \ c_{p} =\frac{1}{T} \int \limits_{-\frac 12 T}^{\frac 12 T}X\left(t\right) e^{i\frac{2\pi p\, t}{T}} \, dt. $$

Здесь для полного представления сигнала необходимо уже бесконечное (но счетное) число коэффициентов. При увеличении количества точек в измерении (например, объема памяти цифрового осциллографа) формула для суммы стремится к интегральному выражению.

Если мы допускаем, что функция определена на бесконечном промежутке времени, то ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье $$ X(t)=\int \limits_{-\infty }^{\infty }c\left(f\right) \, e^{2\pi i p f t} df, \ \ \ c_{p} =\int \limits_{-\infty }^{\infty }X\left(t\right)\, e^{2\pi i p f t} dt. $$

В этом случае говорят о непрерывном спектре сигнала, т.е. частота гармоник пробегает теперь весь непрерывный ряд значений от $\left(-\infty ,+\infty \right)$. Можно считать, что величина $c\left(f\right)df$ является комплексной амплитудой гармоники $e^{2\pi i p f t}$, т.е описывает ее амплитуду и фазу. Вследствие этого $c\left(f\right)$ называют спектральной плотностью сигнала $X\left(t\right)$.

Как правило, на практике используется дискретное преобразование Фурье, так как сигнал измеряется на ограниченном промежутке времени в конечном числе точек.

На серии примеров на рис. 24 показаны спектры для различных сигналов. Слева на рисунке показан исходный сигнал, справа — его спектр (амплитуды коэффициентов $\left|c\left(f\right)\right|$ эквивалентных интенсивности заданной гармоники). Фазовые зависимости $c\left(f\right)$ не указаны.

Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24.

Минимальная и максимальная частоты в разложении сигнала в ряд Фурье $$X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{\frac{2\pi i p k}{N} } . $$ равны $$ f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{switch} }{2} . $$ Здесь $T$ — полное продолжительность измерения; $N$ — число измерений; $\tau $ — интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); $f_{\max } $ — максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье.

Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем $f_{\max } $. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25. Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности.

Сигнал с частотой $19$Гц подается на АЦП с периодом измерений $50$мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте $10$Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом $1$сек (или частотой $1$Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра.

Коэффициенты дискретного преобразования Фурье рассчитываются по формуле $$ c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{\frac{-2\pi i p k}{N}} $$ согласно разделу (5.2), индекс $p$ может быть как в пределах $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right]$, так и в пределах $\left[0,N-1\right]$. В физике принята интерпретация коэффициентов преобразования Фурье, основанная на введении области положительных и отрицательных частот, и поэтому используется индекс в виде $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right]$. В некоторых математических пакетах используется нумерация коэффициентов в виде $\left[0,N-1\right]$. В этом случае считается, что ряд $c_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots $ описывает значение спектра на частотах $-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ .

Для дискретного преобразования Фурье верно соотношение $$ \tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2} =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-\frac 12 N}^{\frac 12 N -1}\left|c\right|_{p}^{2} , $$ которое имеет простой физический смысл. Энергия сигнала равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Сумма $$ \tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2} \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt $$ характеризует энергию последовательности их $N$ отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде \[\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt =\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(f\right)\right]^{2} \, df . \]