lab5:discrete_element

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
lab5:discrete_element [2019/04/12 15:33]
root_s [Преобразование Фурье, спектры дискретного и непрерывного сигналов] 		lab5:discrete_element [2019/04/12 21:30] (текущий)
root_s [Свойства преобразования Фурье]
Строка 52: Строка 52:
 Если мы допускаем, что функция определена на бесконечном промежутке времени, то ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье Если мы допускаем, что функция определена на бесконечном промежутке времени, то ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье
 $$ $$
-X(t)=\int \limits_{-\infty }^{\infty }c\left(f\right) \, \; e^{2\pi \, i\, p\, f\, t} df, +X(t)=\int \limits_{-\infty }^{\infty }c\left(f\right) \, e^{2\pi i p f t} df, 
 \ \ \ \ \ \
-c_{p} =\int \limits_{-\infty }^{\infty }X\left(t\right)\,  \; e^{2\pi \, i\, p\, f\; t} \, dt. +c_{p} =\int \limits_{-\infty }^{\infty }X\left(t\right)\, e^{2\pi  i  p f t} dt. 
 $$  $$ 
  
-В этом случае говорят о непрерывном спектре сигнала, т. е. частота гармоник пробегает теперь весь непрерывный ряд значений от(−∞,+∞)(−∞,+∞). Можно считать, что величина $c\left(f\right)\, dfявляетсякомплекснойамплитудойгармоникиe^{2\pi \, i\, p\, f\, t} ,т.еописываетееамплитудуифазу.Вследствиеэтогоc\left(f\right)называютспектральнойплотностьюсигналаX\left(t\right)$.+В этом случае говорят о непрерывном спектре сигнала, т.е. частота гармоник пробегает теперь весь непрерывный ряд значений от (−∞,+∞). Можно считать, что величина c(f)df является комплексной амплитудой гармоники e2πipft, т.е описывает ее амплитуду и фазу. Вследствие этого c(f) называют спектральной плотностью сигнала X(t).
  
 Как правило, на практике используется дискретное преобразование Фурье, так как сигнал измеряется на ограниченном промежутке времени в конечном числе точек.  Как правило, на практике используется дискретное преобразование Фурье, так как сигнал измеряется на ограниченном промежутке времени в конечном числе точек. 
Строка 69: Строка 69:
 ==== Примеры спектров различных сигналов ==== ==== Примеры спектров различных сигналов ====
  
-На серии примеров на рис. 24 показаны спектры для различных сигналов. Слева на рисунке показан исходный сигнал, справа $-$ его спектр (амплитуды коэффициентов |c(f)| эквивалентных интенсивности заданной гармоники). Фазовые зависимости c(f) не указаны. +На серии примеров на рис. 24 показаны спектры для различных сигналов. Слева на рисунке показан исходный сигнал,  
- +справа --- его спектр (амплитуды коэффициентов |c(f)| эквивалентных интенсивности заданной гармоники). Фазовые зависимости c(f) не указаны.
- +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.35in, height=1.46in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.00in 0.09in 0.09in]{image58} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 24.} Пример 1. Спектр сигнала x(t)=sin(ω0t) +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.31in, height=1.51in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.00in 0.09in 0.06in]{image59} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 24.} Пример 2. Спектр сигнала x\left(t\right)=\exp ^{-{\left(t-t_{0} \right)^{2}  \mathord{\left/{\vphantom{\left(t-t_{0} \right)^{2}  \sigma _{0}^{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sigma _{0}^{2} } } \sin (\omega _{0} t) +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.31in, height=1.46in, keepaspectratio=false, trim=0.15in 0.00in 0.09in 0.09in]{image60} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 24. Пример 3}. Спектр сигнала x\left(t\right)=\exp ^{-{\left(t-t_{0} \right)^{2}  \mathord{\left/{\vphantom{\left(t-t_{0} \right)^{2}  \sigma _{0}^{2} }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \sigma _{0}^{2} } }. +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.35in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.00in 0.09in 0.00in]{image61} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 24.} Пример 4. Спектр сигнала ступенчатой функции x(t)=d(t−t0) +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.39in, height=1.56in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.00in 0.09in 0.00in]{image62} +
- +
-\noindent Рис. 24, Пример 5.  Спектр сигнала ступенчатой функции x(t)=d(t−t0) +
- +
-\noindent  +
- +
-\noindent \includegraphics*[width=4.25in, height=1.57in, keepaspectratio=false, trim=0.14in 0.00in 0.09in 0.00in]{image63} +
- +
-\noindent \textit{Рис. 24.} Пример 6. Спектр сигнала последовательности ступенчататых функций x(t)=d(t−t0) +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
  
 +{{ :lab5:524-1.png?500 |}}
  
 +{{ :lab5:524-2.png?500 |}}
  
 +{{ :lab5:524-3.png?500 |}}
  
 +{{ :lab5:524-4.png?500 |}}
  
 +{{ :lab5:524-5.png?500 |}}
  
 +{{ :lab5:524-6.png?500 |}}
 ==== Свойства преобразования Фурье ==== ==== Свойства преобразования Фурье ====
  
-\textbf{\textit{Принцип неопределенности }}+=== Принцип неопределенности ===
  
-\noindent Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24. +Чем больше характерная длительность сигнала во времени, тем уже его спектр в частотном пространстве Фурье гармоник. Обратное утверждение тоже верно: чем меньше длительность сигнала во времени, тем более широкий спектр. Иллюстрация этого принципа показана в примерах 1, 2 и 4, 5 на рис. 24. 
  
-\textbf{\textit{Максимальная и минимальная частоты, регистрируемые с помощью дискретного преобразования Фурье}}+=== Максимальная и минимальная частоты, регистрируемые с помощью дискретного преобразования Фурье ===
  
 Минимальная и максимальная частоты в разложении сигнала в ряд Фурье Минимальная и максимальная частоты в разложении сигнала в ряд Фурье
-\[X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{{2\pi \, i\, p\, k \mathord{\left/{\vphantom{2\pi \, i\, p\, k N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} N} }  . \] +$$X_{k} =\frac{1}{N\cdot \tau } \sum _{p=0}^{N-1}c_{p} e^{\frac{2\pi i p k}{N} }  .  
 +$$ 
 равны равны
-\[f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{{\rm switch}} }{2} . \]  +$$ 
-Здесь $T$ $-$ полное продолжительность измерения; $N$ $-$ число измерений; $\tau $ $-$ интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); $f_{\max } $ $-$ максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье.  +f_{\min } =\frac{1}{T} =\frac{1}{N\cdot \tau } , f_{\max } =\frac{1}{2\cdot \tau } =\frac{N}{2\cdot T} =\frac{f_{switch} }{2} .  
 +$$  
 +Здесь T --- полное продолжительность измерения; N --- число измерений; τ --- интервал между ближайшими измерениями (шаг дискретизации); fmax --- максимально высокая частота, регистрируемая при дискретном преобразовании Фурье.  
  
-\noindent \includegraphics*[width=3.15in, height=1.75in, keepaspectratio=false]{image64} 
  
-\noindent Рис. 25. «Стробоскопический» эффект+=== Эффект стробоскопирования при дискретной регистрации сигнала ===
  
-\noindent +Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем $f_{\max } $. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25.  
 +{{ :lab5:525.png?500 |}} 
 +Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности. 
  
-\textbf{\textit{Эффект стробоскопирования при дискретной регистрации сигнала }}+Сигнал с частотой 19Гц подается на АЦП с периодом измерений 50мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте 10Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом 1сек (или частотой 1Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра.
  
-Пусть реальный сигнал содержит гармоники с частотами выше чем fmax. Тогда происходит «просачивание» таких колебаний в низкочастотную область, связанное с эффектом «стробоскопирования». Принцип эффекта показан на рис. 25. Из рисунка видно, что комбинация быстрого изменения сигнала и конечного времени между измерениями приводит к появлению низкочастотной составляющей в регистрируемой последовательности.  +=== Расположение частот при дискретном преобразование Фурье ===
- +
-Сигнал с частотой 19 Гц подается на АЦП с периодом измерений 50 мсек. Это соответствует максимальной регистрируемой частоте 10 Гц. Точки измерений показаны черными кружками. Видно, что в этом случае наблюдатель увидит сигнал с периодом 1 сек (или частотой 1 Гц). Для того чтобы избежать этого на практике, требуется либо применения быстродействующих АЦП, либо предварительной очистки сигнала с помощью специального фильтра. +
- +
-\textbf{\textit{Расположение частот при дискретном преобразование Фурье}}\textit{ }+
  
 Коэффициенты дискретного преобразования Фурье рассчитываются по формуле Коэффициенты дискретного преобразования Фурье рассчитываются по формуле
-\[c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{{-2\pi \, i\, p\, k \mathord{\left/{\vphantom{-2\pi \, i\, p\, k N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} N} }  \]  +$$ 
-согласно разделу (???), индекс \textit{p} может быть как в пределах $\left[-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} ,{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1\right],такивпределах\left[0,N-1\right].ВфизикепринятаинтерпретациякоэффициентовпреобразованияФурье,основаннаянавведенииобластиположительныхиотрицательныхчастот,ипоэтомуиспользуетсяиндексввиде\left[-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} ,{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1\right].Внекоторыхматематическихпакетахиспользуетсянумерациякоэффициентовввиде\left[0,N-1\right].Вэтомслучаесчитается,чторядc_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots описываетзначениеспектраначастотах-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ .+c_{p} =\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k} e^{\frac{-2\pi i p k}{N}}   
 +$$  
 +согласно разделу (5.2), индекс $p$ может быть как в пределах $\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right],такивпределах\left[0,N-1\right].ВфизикепринятаинтерпретациякоэффициентовпреобразованияФурье,основаннаянавведенииобластиположительныхиотрицательныхчастот,ипоэтомуиспользуетсяиндексввиде\left[-\frac 12 N, \frac 12 N-1\right].Внекоторыхматематическихпакетахиспользуетсянумерациякоэффициентовввиде\left[0,N-1\right].Вэтомслучаесчитается,чторядc_{N-1} ,c_{N-2} ,\ldots описываетзначениеспектраначастотах-f_{\min } ,-2f_{\min } ,\ldots $ .
  
-\textbf{\textit{Теорема о энергии }}+=== Теорема о энергии ===
  
 Для дискретного преобразования Фурье верно соотношение Для дискретного преобразования Фурье верно соотношение
-\[\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} }^{{N \mathord{\left/{\vphantom{N 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 2} -1}\left|c\right|_{p}^{2}  , \] +$$ 
 +\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  =\frac{1}{N\tau } \sum _{p=-\frac 12 N}^{\frac 12 N -1}\left|c\right|_{p}^{2}  , 
 +$$ 
 которое имеет простой физический смысл. Энергия сигнала равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Сумма  которое имеет простой физический смысл. Энергия сигнала равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Сумма 
-\[\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt \] +$$ 
 +\tau \sum _{k=0}^{N-1}X_{k}^{2}  \approx \int _{0}^{T}\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt  
 +$$ 
 характеризует энергию последовательности их N отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде характеризует энергию последовательности их N отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде
 ∫∞−∞[X(t)]2dt=∫∞−∞[X(f)]2df.  ∫∞−∞[X(t)]2dt=∫∞−∞[X(f)]2df. 
-\textbf{\textit{Свойства непрерывного преобразования Фурье}} 
  
-\begin{tabular}{|p{1.0in}|p{0.8in}|p{1.5in}|} \hline  +=== Свойства непрерывного преобразования Фурье === 
-Функия & Образ & Примечание \\ \hline  + 
-af(t)+bg(t) & aF(ω)+bG(ω) & свойство линейности: a, b − константы \\ \hline  +^ Функия ^ Образ ^ Примечание ^ 
-$e^{i\omega \, t} f\left(t\right)$ & F(ω−a) & частотный сдвиг (см. пример 2 и 3, рис. 23) \\ \hline  +| af(t)+bg(t) | aF(ω)+bG(ω) | свойство линейности: a, b − константы |  
-eiat & δ(ω−a) & гармонический сигнал с заданной частотой a, (см. пример 1, рис. 23) \\ \hline  +| eiωtf(t) | F(ω−a) | частотный сдвиг (см. {{ :lab5:524-2.png?linkonly |пример 2}} и {{ :lab5:524-3.png?linkonly |3}}, рис. 24) | 
-δ(t) & 1 & максимально короткий сигнал, (предельный случай примера 5, рис. 23) \\ \hline  +| eiat | δ(ω−a) | гармонический сигнал с заданной частотой a, (см. {{ :lab5:524-1.png?linkonly |пример 1}}, рис. 24) |  
-e−at2 & $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-{\omega ^{2}  \mathord{\left/{\vphantom{\omega ^{2}  4a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 4a} } $ & функция Гаусса переходит в в функцию Гаусса (см. пример 3, рис. 23) \\ \hline  +| δ(t) | 1 | максимально короткий сигнал, (предельный случай {{ :lab5:524-5.png?linkonly |примера 5}}, рис. 24) | 
-$d\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; -a<t<1} \\ {0,\; otherwise} \end{array}\right. $ & $\begin{array}{l} {2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega \, } =} \\ {=2a{\rm sinc}\left(\omega \, a\right)} \end{array}$ & преобразование Фурье от прямоугольной функции пропорционально функции  ${\rm sinc}\left(x\right)={\sin \left(x\right) \mathord{\left/{\vphantom{\sin \left(x\right) x}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} x} $, (см. пример 4 и 5, рис. 23) \\ \hline  +| e−at2 | $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-\frac{\omega ^2}{4a}} $ | функция Гаусса переходит в функцию Гаусса (см. {{ :lab5:524-3.png?linkonly |пример 3}}, рис. 24) |  
-dndtnf(t) & (iω)nF(ω) &  \\ \hline  +| $d\left(t\right)= 1,при-a<t<1$ \\ и $d=0$ в остальных случаях | $2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega } = 2a\mbox{sinc}\left(\omega \, a\right)$ | преобразование Фурье от прямоугольной функции \\ пропорционально функции sinc$\left(x\right)=\frac{\sin (x)}{x}$, (см. {{ :lab5:524-4.png?linkonly |пример 4}} и {{ :lab5:524-5.png?linkonly |5}}, рис. 24) |  
-f(t)⋅g(t) & 12π(F∗G)(ω) & преобразование Фурье от произведения двух функций есть свертка \newline $\left(F*G\right)\left(\omega \right)=\int F\left(\omega \right) G\left(\omega -\omega '\right)\, d\omega '$ \\ \hline  +| dndtnf(t) | (iω)nF(ω) | | 
-(f∗g)(t) & 2πF(ω)⋅G(ω) &  \\ \hline  +| f(t)⋅g(t) | 12π(F∗G)(ω) | преобразование Фурье от произведения двух функций \\ есть свертка (F∗G)(ω)=∫F(ω)G(ω−ω′) dω′ | 
-\end{tabular}+| (f∗g)(t) | 2πF(ω)⋅G(ω) |