| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
lab5:discrete_element [2019/04/12 15:54]
root_s [Свойства преобразования Фурье] |
lab5:discrete_element [2019/04/12 21:30] (текущий)
root_s [Свойства преобразования Фурье] |
| характеризует энергию последовательности их $N$ отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде | характеризует энергию последовательности их $N$ отсчетов данных. Для непрерывного преобразования Фурье это равенство записывается в виде |
| \[\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt =\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(f\right)\right]^{2} \, df . \] | \[\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(t\right)\right]^{2} \, dt =\int _{-\infty }^{\infty }\left[X\left(f\right)\right]^{2} \, df . \] |
| \textbf{\textit{Свойства непрерывного преобразования Фурье}} | |
| |
| \begin{tabular}{|p{1.0in}|p{0.8in}|p{1.5in}|} \hline | === Свойства непрерывного преобразования Фурье === |
| Функия & Образ & Примечание \\ \hline | |
| $af\left(t\right)+bg\left(t\right)$ & $aF\left(\omega \right)+bG\left(\omega \right)$ & свойство линейности: $a$, $b$ $-$ константы \\ \hline | ^ Функия ^ Образ ^ Примечание ^ |
| $e^{i\omega \, t} f\left(t\right)$ & $F\left(\omega -a\right)$ & частотный сдвиг (см. пример 2 и 3, рис. 23) \\ \hline | | $af\left(t\right)+bg\left(t\right)$ | $aF\left(\omega \right)+bG\left(\omega \right)$ | свойство линейности: $a$, $b$ $-$ константы | |
| $e^{ia\, t} $ & $\delta \left(\omega -a\right)$ & гармонический сигнал с заданной частотой $a$, (см. пример 1, рис. 23) \\ \hline | | $e^{i\omega t} f\left(t\right)$ | $F\left(\omega -a\right)$ | частотный сдвиг (см. {{ :lab5:524-2.png?linkonly |пример 2}} и {{ :lab5:524-3.png?linkonly |3}}, рис. 24) | |
| $\delta \left(t\right)$ & 1 & максимально короткий сигнал, (предельный случай примера 5, рис. 23) \\ \hline | | $e^{ia\, t} $ | $\delta \left(\omega -a\right)$ | гармонический сигнал с заданной частотой $a$, (см. {{ :lab5:524-1.png?linkonly |пример 1}}, рис. 24) | |
| $e^{-at^{2} } $ & $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-{\omega ^{2} \mathord{\left/{\vphantom{\omega ^{2} 4a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} 4a} } $ & функция Гаусса переходит в в функцию Гаусса (см. пример 3, рис. 23) \\ \hline | | $\delta \left(t\right)$ | 1 | максимально короткий сигнал, (предельный случай {{ :lab5:524-5.png?linkonly |примера 5}}, рис. 24) | |
| $d\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c} {1,\; -a<t<1} \\ {0,\; otherwise} \end{array}\right. $ & $\begin{array}{l} {2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega \, } =} \\ {=2a{\rm sinc}\left(\omega \, a\right)} \end{array}$ & преобразование Фурье от прямоугольной функции пропорционально функции ${\rm sinc}\left(x\right)={\sin \left(x\right) \mathord{\left/{\vphantom{\sin \left(x\right) x}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} x} $, (см. пример 4 и 5, рис. 23) \\ \hline | | $e^{-at^{2} } $ | $\sqrt{\frac{\pi }{a} } e^{-\frac{\omega ^2}{4a}} $ | функция Гаусса переходит в функцию Гаусса (см. {{ :lab5:524-3.png?linkonly |пример 3}}, рис. 24) | |
| $\frac{d^{n} }{dt^{n} } f\left(t\right)$ & $\left(i\omega \right)^{n} F\left(\omega \right)$ & \\ \hline | | $d\left(t\right)= 1,$ при $-a<t<1$ \\ и $d=0$ в остальных случаях | $2\frac{\sin \left(\omega \, a\right)}{\omega } = 2a\mbox{sinc}\left(\omega \, a\right)$ | преобразование Фурье от прямоугольной функции \\ пропорционально функции sinc$\left(x\right)=\frac{\sin (x)}{x}$, (см. {{ :lab5:524-4.png?linkonly |пример 4}} и {{ :lab5:524-5.png?linkonly |5}}, рис. 24) | |
| $f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)$ & $\frac{1}{2\pi } \left(F*G\right)\left(\omega \right)$ & преобразование Фурье от произведения двух функций есть свертка \newline $\left(F*G\right)\left(\omega \right)=\int F\left(\omega \right) G\left(\omega -\omega '\right)\, d\omega '$ \\ \hline | | $\frac{d^{n} }{dt^{n} } f\left(t\right)$ | $\left(i\omega \right)^{n} F\left(\omega \right)$ | | |
| $\left(f*g\right)\left(t\right)$ & $2\pi F\left(\omega \right)\cdot G\left(\omega \right)$ & \\ \hline | | $f\left(t\right)\cdot g\left(t\right)$ | $\frac{1}{2\pi } \left(F*G\right)\left(\omega \right)$ | преобразование Фурье от произведения двух функций \\ есть свертка $(F*G)(\omega )=\int F(\omega ) G(\omega -\omega ') \ d\omega '$ | |
| \end{tabular} | | $\left(f*g\right)\left(t\right)$ | $2\pi F\left(\omega \right)\cdot G\left(\omega \right)$ | |
| |
| |