Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:теория_63 [2019/04/21 13:27]
root_s [Теория]
+++ lab6:теория_63 [2022/09/09 14:19] (текущий)
root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-=====Теория =====
+В случае тонкостенной=====Теория =====
 Эффектной демонстрацией законов электродинамики является опыт с падением постоянного магнита в длинной проводящей трубе. Тормозящая сила, действующая на магнит, существенно замедляет его движение, а время падения магнита увеличивается во много раз.
-Процесс возникновения тормозящей силы можно объяснить следующим образом. При прохождении магнита через некоторое сечение трубы меняется магнитный поток, пронизывающий это сечение. По закону электромагнитной индукции изменение магнитного потока наводит ЭДС в сечении трубы, и если стенки трубы проводящие, то в ней  возникнут вихревые электрические токи, иначе называемые токами Фуко (см. [1, с.270]). Если магнит перемещается вдоль оси трубки, а его полюса ориентированы вдоль этой оси, вихревые токи текут в азимутальном направлении, как показано на рис. 1. Индуцированные токи создают «вторичное» неоднородное магнитное поле, которое взаимодействует с падающим магнитом и вызывает его торможение.
+Процесс возникновения тормозящей силы можно объяснить следующим образом. При прохождении магнита через некоторое сечение трубы меняется магнитный поток, пронизывающий это сечение. По закону электромагнитной индукции изменение магнитного потока наводит ЭДС в сечении трубы, и если стенки трубы проводящие, то в ней  возникнут вихревые электрические токи, иначе называемые токами Фуко (см. [1, с.270]). Если магнит перемещается вдоль оси трубки, а его полюса ориентированы вдоль этой оси, вихревые токи текут в азимутальном направлении, как показано на рис. 1. {{ :lab6:631.png?direct&200 |}} Индуцированные токи создают «вторичное» неоднородное магнитное поле, которое взаимодействует с падающим магнитом и вызывает его торможение.
 Попробуем получить выражение на тормозящую силу, действующую на падающий магнит. Как известно, сила взаимодействия магнитного диполя с неоднородным внешним магнитным полем равна (см. [1, c.243]):
@@ Строка 65: / Строка 65: @@
 \ \ \ \ \ (11)
 $$
-В случае тонкостенной трубки, $b-a\ll a,$ это выражение приводится к результату:
+В случае тонкостенной трубки толщины $h=b-a\ll a,$ это выражение приводится к виду:
 $$
 F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma m^{2} vh}{a^{4} c^{2} }.
@@ Строка 82: / Строка 82: @@
 \ \ \ \ \ (14)
 $$
-где $v_{1}$ --- скорость магнита в центре первой катушки. Для хорошо проводящих трубок магнит тормозится до конечной скорости $v_{\infty } $ очень быстро после начала падения; для таких трубок $v_{1} =v_{\infty } $. Коэффициент $\beta $\textit{ }может быть определен как отношение $\frac{g}{v_{\infty }}.$
+где $v_{1}$ --- скорость магнита в центре первой катушки. Для хорошо проводящих трубок магнит тормозится до конечной скорости $v_{\infty } $ очень быстро после начала падения и для таких трубок $v_{1} =v_{\infty } $, тогда $\ddot{z}_{m}=0$, следовательно, коэффициент $\beta =\frac{g}{v_{\infty }}$, а из (12) получим
+$$
+\beta =\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma m^{2} h}{Ma^{4} c^{2} }.
+$$
 Рассмотрим теперь другой способ измерения магнитного момента постоянного магнита. Пусть вокруг трубы в различных местах вдоль оси намотаны витки проволоки, соединенные последовательно между собой. Тогда при прохождении магнита через плоскость очередного витка на концах последнего будет возникать разность потенциалов. Для вычисления воспользуемся выражением (6):
 $$
-U_{i} \left(t\right)=E_{\alpha } \left(z_{i} ,t\right)\cdot 2\pi \rho =\frac{6\pi \rho }{c} \frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} },
+U_{i} \left(t\right)=E_{\alpha } \left(z_{i} ,t\right)\cdot 2\pi \rho =\frac{6\pi \rho \dot{z}_{m}}{c}  \frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} },
 \ \ \ \ \ (15)
 $$
 где $\rho =b+\frac d2$ --- радиус измерительного витка, $d$ --- диаметр проволоки, $z_{i} $ --- координата $i$-того витка, а $z_{m} (t)$ --- координата магнита в момент времени $t$, рассчитанная по формуле (14). Если все витки соединены последовательно, то напряжение, снимаемое со всех витков, равно сумме напряжений от каждого из $N$ витков:
 $$
-U\left(t\right)=\frac{6\pi \rho }{c} \sum _{i=1}^{N}\frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} }.
+U\left(t\right)=\frac{6\pi \rho \dot{z}_{m}}{c}  \sum _{i=1}^{N}\frac{m\rho \left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)}{\left(\rho ^{2} +\left(z_{m} \left(t\right)-z_{i} \right)^{2} \right)^{5/2} }.
 \ \ \ \ \ (16)
 $$
@@ Строка 97: / Строка 100: @@
 ==== Труба с продольным разрезом ====
-\includegraphics*[width=2.75in, height=4.60in, keepaspectratio=false, trim=3.51in 0.00in 0.00in 0.10in]{image113}Теперь рассмотрим падение магнита в проводящей трубе с продольным разрезом. Такой разрез разрывает азимутальный ток, циркулирующий в стенке трубы, и на первый взгляд кажется, что эффект торможения должен отсутствовать. Тем не менее, торможение магнита в такой трубке все равно наблюдается. Это вызвано тем, что полярность ЭДС, наводимой в стенках трубки, различна впереди и позади от места расположения движущегося магнита. Из-за этого вихревые токи, индуцированные электродвижущей силой, замыкаются по берегам разреза, как показано на рис. 2. В квазистатическом приближении электрический заряд не может накапливаться в объеме стенки, распределяясь на поверхностях стенки так, чтобы обеспечить замыкание токов проводимости. Поскольку в трубе с разрезом отсутствует аксиальная симметрия, то выражение \eqref{GrindEQ__3_} для этого случая будет выглядеть как:
+Теперь рассмотрим падение магнита в проводящей трубе с продольным разрезом. Такой разрез разрывает азимутальный ток, циркулирующий в стенке трубы, и на первый взгляд кажется, что эффект торможения должен отсутствовать. Тем не менее, торможение магнита в такой трубке все равно наблюдается. Это вызвано тем, что полярность ЭДС, наводимой в стенках трубки, различна впереди и позади от места расположения движущегося магнита. Из--за этого вихревые токи, индуцированные электродвижущей силой, замыкаются по берегам разреза, как показано на рис. 2. {{ :lab6:632.png?direct&200 |}} В квазистатическом приближении электрический заряд не может накапливаться в объеме стенки, распределяясь на поверхностях стенки так, чтобы обеспечить замыкание токов проводимости. Поскольку в трубе с разрезом отсутствует аксиальная симметрия, то выражение (3) для этого случая будет выглядеть как:
+$$
-\begin{tabular}{|p{1.9in}|p{0.2in}|p{1.8in}|p{0.8in}|} \hline
+\vec E=\frac{v}{c} \frac{\partial A_{\alpha }}{ \partial z}\vec e_{\alpha } - \vec \nabla \varphi ,
-$E=\frac{v}{c} (\partial A_{\alpha } /\partial z)e_{\alpha } - \nabla \varphi $ &  & $E=v(\partial A_{\alpha } /\partial z)e_{\alpha } - \nabla \varphi $   (СИ) & \eqref{GrindEQ__17_} \\ \hline
+\ \ \ \ \ (17)
-\end{tabular}
+$$
+где $A_{\alpha } $ --- вектор--потенциал точечного магнитного диполя $m$ в свободном пространстве, а $\varphi $ --- скалярный (электрический) потенциал, индуцированный поверхностными зарядами. Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \varphi =0$ внутри стенки. Для тонкой стенки уравнение Лапласа можно упростить, приняв во внимание, что внутри стенки отсутствует радиальное электрическое поле, $\frac{\partial \varphi }{\partial r} =0$. Тогда в уравнении Лапласа можно оставить только производные по $\alpha $ и $z$, заменив переменную $r$ на радиус трубки $a$:
+$$
+\frac{1}{a^{2} } \frac{\partial ^{2} \varphi }{\partial \alpha ^{2} } +\frac{\partial ^{2} \varphi }{\partial z^{2} } =0.
-\noindent где $A_{\alpha } $ -- вектор-потенциал точечного магнитного диполя $m$ в свободном пространстве, а \textit{$\varphi $} -- скалярный (электрический) потенциал, индуцированный поверхностными зарядами. Потенциал \textit{$\varphi $} удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \varphi =0$ внутри стенки. Для тонкой стенки уравнение Лапласа можно упростить, приняв во внимание, что внутри стенки отсутствует радиальное электрическое поле, $\frac{\partial \varphi }{\partial r} =0$. Тогда в уравнении Лапласа можно оставить только производные по $\alpha $ и $z$, заменив переменную $r$ на радиус трубки $a$:
+\ \ \ \ \ (18)
+$$
-\begin{tabular}{|p{1.9in}|p{0.2in}|p{1.8in}|p{0.8in}|} \hline
+Отсутствие радиального электрического поля следует из граничных условий для плотности тока $\vec j=\sigma \vec E$, который должен исчезать на границе проводящего материала, если можно пренебречь током смещения.
-$\frac{1}{a^{2} } \frac{\partial ^{2} \varphi }{\partial \alpha ^{2} } +\frac{\partial ^{2} \varphi }{\partial z^{2} } =0$ &  &  & \eqref{GrindEQ__18_} \\ \hline
-\end{tabular}
-\noindent Отсутствие радиального электрического поля следует из граничных условий для плотности тока $j=\sigma E$, который должен исчезать на границе проводящего материала, если можно пренебречь током смещения.
-\noindent Решение уравнений \eqref{GrindEQ__17_} и \eqref{GrindEQ__18_} позволяет вычислить силу торможения магнита в трубе с продольным разрезом:
-\begin{tabular}{|p{1.9in}|p{0.1in}|p{2.2in}|p{0.3in}|} \hline
-$F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma vh}{c^{2} } \frac{m^{2} }{a^{4} } Q\left(\pi -\alpha /2\right)$ &  & $F=-\frac{45\pi }{256} \frac{\sigma vh\mu _{0} m^{2} }{a^{4} } Q\left(\pi -\alpha /2\right)$(СИ) & \eqref{GrindEQ__19_} \\ \hline
-\end{tabular}
+Решение уравнений (17) и (18) позволяет вычислить силу торможения магнита в трубе с продольным разрезом:
+$$
+F=-\frac{45\pi ^{2} }{64} \frac{\sigma vh}{c^{2} } \frac{m^{2} }{a^{4} } Q\left(\pi -\frac{\Delta \alpha }{2}\right),
+\ \ \ \ \ (19)
+$$
 где
+$$
+Q\left(\pi -\frac{\Delta \alpha }{2}\right)\approx 0,77-0,16\Delta \alpha
+\ \ \ \ \ (20)
+$$
+с точностью до нескольких процентов при $\Delta \alpha \le \frac{3\pi }{2} $. Подробное решение этой задачи приведено в [[приложение_1|приложении 1]].
-\begin{tabular}{|p{1.9in}|p{0.2in}|p{1.8in}|p{0.8in}|} \hline
+===== Литература =====
-$Q\left(\pi -\Delta \alpha /2\right)\approx 0,77-0,16\Delta \alpha $ &  &  & \eqref{GrindEQ__20_} \\ \hline
-\end{tabular}
-\noindent с точностью до нескольких процентов при $\Delta \alpha \le \frac{3\pi }{2} $. Подробное решение этой задачи приведено в приложении 1.
-\noindent
-\noindent
+  - Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. М.: Наука, 1983.
+  - Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.
+  - Б.А. Князев, В. С. Черкасский. Начала обработки экспериментальных данных. Новосибирск: НГУ, 1996.
+  - Таблицы физических величин. Справочник. Под. ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.
-\noindent
+Назад к [[lab6:lab6|описанию]] лабораторных работ "Проникновение электромагнитного поля в вещество" или далее к [[:lab6:эксп63|экспериментальной установке]]