lab6:3.38

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия 		Предыдущая версия
lab6:3.38 [2021/10/15 09:05]
root создано 		lab6:3.38 [2021/11/12 10:39] (текущий)
root
Строка 1: Строка 1:
 3.38. 3.38.
 Найти вольт--амперную характеристику цилиндрического диода с Найти вольт--амперную характеристику цилиндрического диода с
-нулевым радиусом катода (радиус анода $a$).+нулевым радиусом катода (радиус анода $r_a$).
  
 ----- -----
 +Запишем уравнение Пуассона для координаты r, отсчитываемой от
 +катода (заземленного электрода):
 +△φ(r)=−4πρ,ρ=−jv,
 +где знак плотности тока выбрали с учётом того, что заряд электрона --- отрицательный.
 +Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных
 +mv2/2=−eφ(r)=|e|φ(r),
 +откуда
 +v(r)=√2|e|m⋅φ(r).
 +Плотность тока:
 +j=JS=J2πrℓ.
  
 Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается
 так: $$ так: $$
-\frac{1}{R}\frac{d}{dR}\left(R\frac{d\varphi(R)}{dR}\right)=-4\pi\rho(R)=\frac{4\pi +\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi 
-J }{2\pi Re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(R),$$ т. е.+J }{2\pi r\ell}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
 $$ $$
-\frac{d}{dR}\left(R\frac{d\varphi}{dR}\right)= +\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)= 
-\frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(a)=U.$$+\frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(r_a)=U.$$
  
-Ищем решение в виде $ \varphi(R)=CR^{\alpha}.$+Ищем решение в виде $ \varphi(r)=Cr^{\alpha}.$
  
 Подставляем в уравнение и получаем $$ Подставляем в уравнение и получаем $$
-C\alpha(\alpha-1)R^{\alpha-1}=AC^{-1/2}R^{-\alpha/2}.$$+C\alpha(\alpha-1)r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$
  
-Степени $Rдолжныбытьодинаковы:\alpha-1\!=\!-\alpha/2$,+Степени $rдолжныбытьодинаковы:\alpha-1\!=\!-\alpha/2$,
 откуда α=23. откуда α=23.
  
 Подставляя α=23 в предыдущее уравнение и сокращая Подставляя α=23 в предыдущее уравнение и сокращая
-на $R^{2/3},получаемуравнениедляC:$+на $r^{2/3},получаемуравнениедляC:$
 \frac{9}{4}C=AC^{-1/2},$$ откуда \frac{9}{4}C=AC^{-1/2},$$ откуда
 C=(4A9)2/3. C=(4A9)2/3.
  
 Таким образом, $$ Таким образом, $$
-\varphi(R)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},откуда +\varphi(r)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},откуда 
-U=\frac{4aA}{9},~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$+U=\frac{4r_aA}{9},~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{r_a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$