Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- lab6:3.38 [2021/11/12 03:27]
root
+++ lab6:3.38 [2025/07/01 11:59] (текущий)
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 -----
-Запишем уравнение Пуассона для координаты $x$, отсчитываемой от
+Запишем уравнение Пуассона для координаты $r$, отсчитываемой от
 катода (заземленного электрода):
-\[\triangle\varphi(x)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=j/v.\]
+\[\triangle\varphi(r)=-4\pi\rho,\,\,\,\rho=-\frac jv,\]
+где знак плотности тока выбрали с учётом того, что заряд электрона --- отрицательный.
 Из закона сохранения энергии отдельного электрона в поле всех остальных
-\[mv^{2}/2=e\varphi(x),\]
+\[mv^{2}/2=-e\varphi(r)=|e|\varphi(r),\]
 откуда
-\[v(x)=\sqrt{2e/m\cdot\varphi(x)}.\]
+\[v(r)=\sqrt{\frac{2|e|}{m}\cdot\varphi(r)}.\]
-Подставляя выражение для скорости через потенциал в уравнение Пуассона,
+Плотность тока:
-получаем
+\[j=\frac{J}{S}=\frac{J}{2\pi r \ell}.\]
-\[\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=4\pi\sqrt{\frac{m}{2e}\frac{J}{S}}\varphi^{-1/2}\equiv
-A\varphi^{-1/2},\,\,\,\mbox{где}\,\,\,A=2\pi\sqrt{\frac{2m}{e}\frac{J}{S}}.\]
-\[\varphi(0)=0,~~\varphi(d)=U,~~(d\varphi/dx)_{x=0}=0.\]
-Граничные условия на катоде и аноде имеют вид, причем третье условие -- это условие равенства нулю электрического поля вблизи анода.
 Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается
 так: $$
 \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi
-J }{2\pi re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
+J }{2\pi r\ell}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
 $$
 \frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)=