Работа посвящена экспериментальному изучению практического применения колебательных контуров как резонансных систем. С общим теоретическим описанием процессов в контуре необходимо познакомиться в параграфе 4 общего введения к сборнику. Ниже приведены лишь минимальные теоретические сведения, необходимые для практической работы.

Колебательный контур является типичным представителем резонансных колебательных систем, играющих важную роль в большинстве разделов физики. Резонансные системы имеют три важных свойства:

1. свойство избирательно реагировать на внешние источники сигналов, выделяя только те из них, частоты которых совпадают с собственной частотой колебательной системы;
2. свойство запасать энергию колебаний, возбужденных внешним источником, поддерживая колебания в течение определенного времени после выключения внешнего источника;
3. свойство сохранять энергию в своей системе в виде циклического перехода одного ее вида в другой, например, потенциальная $\leftrightarrow $ кинетическая, магнитная $\leftrightarrow $ электрическая и т.д.

Колебательные системы бывают с сосредоточенными и распределенными параметрами. Пример механической резонансной системы с распределенными параметрами — струна или упругий стержень, электрической — СВЧ резонаторы. Примерами колебательных систем с сосредоточенными параметрами являются различного рода маятники и колебательные контуры.

Любая резонансная система характеризуется двумя основными параметрами: частотой собственных колебаний $\omega _0$ и добротностью $Q,$ определяющей отношение мощности энергии собственных колебаний к мощности потерь за период.

В простейшем случае реальный колебательный контур состоит всего из двух деталей – катушки индуктивности и конденсатора, но его эквивалентная схема включает три элемента — индуктивность $L,$ емкость $С$ и эквивалентное сопротивление $R$_L$ (рис. 1,а). Основной вклад в сопротивление $R_L$ обычно вносит омическое сопротивление провода, которым намотана катушка, а добавочный — активные потери энергии в сердечнике катушки, в конденсаторе, скин–эффект в проводе катушки и рассеяние электромагнитной энергии в окружающем пространстве. Элементы $L$ и $С$ определяют собственную частоту колебаний контура $\omega _0 = 2\pi f_0$, а отношение реактивного сопротивления этих элементов к активному сопротивлению потерь — добротность контура $Q:$ \begin{equation} f_{0} =\frac{1}{2\pi \sqrt{LC} } , \ \ Q=\frac{\omega L}{R_{L} } =\frac{1}{\omega CR_{L} } =\frac{\rho }{R_{L} } \ \ \rho =\sqrt{\frac{L}{C} } . \end{equation}

Величина $\rho $ называется волновым (или характеристическим) сопротивлением контура. Это чисто реактивное сопротивление, которое определяет взаимосвязь реактивных токов и напряжений в контуре, а отношение реактивного сопротивления к активному определяет добротность.

Энергия может быть введена в контур самыми различными способами, например, начальной зарядкой конденсатора до некоторого напряжения $U,$ как показано на рис. 1,б. При переключении конденсатора он начнет разряжаться через индуктивность и напряжение $U_{C}$ будет уменьшаться, а ток через катушку расти. В момент полной разрядки конденсатора (уменьшения напряжения $U_{C}$ до нуля) ток в цепи достигает максимального значения и начальная электрическая энергия конденсатора $W_э = \frac 12 CU^{2}$ переходит в магнитную энергию катушки $W_м = \frac 12 LI^2$. Поскольку ток через индуктивность не может прерваться мгновенно из–за явления самоиндукции, то энергия магнитного поля начинает уменьшаться постепенно. Изменение знака производной магнитной индукции вызывает эдс самоиндукции противоположного знака по отношению к первому полупериоду (полупериоду разрядки конденсатора) и конденсатор начинает перезаряжаться. Если бы потери в контуре отсутствовали $R_L = 0,$ то конденсатор перезарядился бы до той же величины $U_C,$ но противоположного знака заряда. В реальном контуре часть энергии за цикл перезарядки будет рассеиваться на $R_L$ и колебания в контуре будут затухающими (рис. 2). Величина затухания $\delta$ однозначно связана с добротностью (п. 3.4 введения): $$ \delta = \frac{\pi}{QТ} = \frac{R_L}{2L}. $$

Для поддержания незатухающих колебаний энергия потерь в контуре должна постоянно восполняться от внешнего генератора. В зависимости от способа подключения генератора к контуру различают последовательный и параллельный КК (рис. 3). В последовательном КК генератор включается в разрыв цепи контура (рис. 3,а), а в параллельном — параллельно элементам $L$ и $C$ (рис. 3,б). Колебания в контуре с внешним генератором называются вынужденными.

При практической работе с колебательными контурами важно отличать реальные резисторы, введенные в схему контура по тем или иным причинам, от эквивалентных сопротивлений схем замещения элементов контура и генератора. Из-за того что условное изображение тех и других сопротивлений одинаково, у студентов надолго (иногда навсегда) складывается неверное представление о теоретическом «оперировании» с этими сопротивлениями и, следовательно, неумение реализовать нужные параметры контуров в практических схемах. Поэтому рассмотрим более подробно с этой точки зрения отличие параллельного контура от последовательного. Кроме того, в данной работе мы будем тщательно соблюдать правило индексации сопротивлений: обозначения с индексами $R_i$, $R_L$, $R_С$ и $R_э$ мы будем сохранять за эквивалентными сопротивлениями схем замещения, а без индексов $R$ или с арабской нумерацией $R_1, \ldots R_n$ — за реальными резисторами, включенными в схемы. На рис. 4 изображены два варианта подключения колебательного контура к внешнему генератору сигналов. Резистор R в цепи контура — это реальный резистор с малым сопротивлением 1…5 Ом, а $R_1$ — это добавочный резистор, включаемый между генератором и контуром. Эквивалентные сопротивления $R_i$ и $R_L$ на схеме не обозначены. Выходное напряжение контура снимается с катушки индуктивности. Генератор можно подключить к входу 1 либо 2.

Вопрос: какой контур — параллельный или последовательный — изображен на рис. 4 (подумайте)?

Ответ: при включении генератора в положение 1 мы имеем параллельный контур, а в положение 2 — последовательный.

Почему? Потому что напряжение от внешнего генератора в этих двух положениях вводится в контур различным способом. В положении 2 сопротивление $R$ является сопротивлением делителя выходного напряжения генератора $R_1.$ На нем падает часть выходного напряжения генератора, которая и служит источником «подкачки» энергии в контур, причем этот источник включен в разрыв цепи контура. В положении 1 генератор включен параллельно реактивным элементам.

Однако для того, чтобы реализовать добротность контура $Q$ близкую к теоретической (формулы 1, 2), величины сопротивлений резисторов $R$ и $R_1$ должны удовлетворять определенным условиям, причем для параллельного и последовательного контура сопротивление $R_1$ должно отличаться по величине в тысячи раз!

Рассмотрим условия, определяющие выбор величины сопротивления резисторов $R$ и $R_1$ в последовательном и параллельном КК. На рис. 5 отдельно изображена схема включения последовательного КК с добавлением изображения эквивалентных сопротивлений $R_i$ и $R_L$. Если бы генератор был непосредственно включен в разрыв контура вместо сопротивления $R,$ то его эквивалентное выходное сопротивление $R_i = 50$Ом оказалось бы включенным непосредственно в цепь контура последовательно с сопротивлением $R_L.$ Омическое сопротивление катушек индуктивности на средних частотах (десятки кГц … десятки МГц) равно 10…40 Ом (чем выше частота, тем меньше должна быть индуктивность и, следовательно, меньше $R_L$). Суммарное эквивалентное сопротивление потерь контура $R_L' = R_i+ R_L$ увеличилось бы более чем в два раза, что привело бы к уменьшению добротности контура $Q = \frac{\omega L}{R_L'}$ в соответствующее число раз.

Для уменьшения влияния параметров генератора на добротность контура на его выходе включен делитель напряжения $R_1R,$ причем только сопротивление $R$ входит непосредственно в цепь контура. При условии $R \ll R_L$ и $(R_i + R_1) \gg R_L$ влияние генератора на собственные параметры КК будет минимальным, а амплитуда выходного напряжения генератора не будет зависеть от режима работы контура.

Конечно, при этом в контур поступает не все выходное напряжение генератора, а лишь его часть, определяемая условием $$ \frac{U_г}{U_д} = \frac{R_1+R}{R}. $$ Но, как известно, в последовательном контуре осуществляется \textit{резонанс напряжений} (п. 3.6 введения), т.е. напряжение на его элементах $L$ и $С$ в $Q$ раз больше, чем напряжение $U_д$ на элементе $R.$ Поэтому для восполнения потерь достаточно весьма малой части напряжения генератора. По измеренным значениям $U_д$ и $U_С$ (или $U_L$) можно определить величину $Q.$ (Другой, более точный способ измерения добротности будет рассмотрен ниже).

В параллельном контуре (рис. 3,б) осуществляется резонанс токов (п. 3.7 введения): ток $I_к$, циркулирующий в цепи контура, в $Q$ раз больше, чем ток генератора $I_г$, восполняющий потери в контуре. Подключение генератора к контуру осуществляется через добавочное сопротивление $R_1$, величина которого должна быть больше уже не величины $R_L$, как в последовательном контуре, а величины эквивалентного сопротивления контура $R_э$ (формула 17, п. 3.7 введения): \begin{equation} \label{GrindEQ__3_} R_{э} =\frac{\frac LC}{R_L} =\frac{\rho ^{2} }{R_{L} } . \end{equation}

Величина $R_э$ в десятки тысяч раз превосходит величину $R_L$! Физический смысл величины $R_э$ заключается в том, что при резонансе в цепи генератора отсутствует сдвиг фазы между током и напряжением, т. е. на резонансной частоте генератор «воспринимает» параллельный КК как чисто активное сопротивление величиной $R_э$. При условии $R_1 > R_э$ амплитуда выходного тока генератора практически не будет зависеть от режима работы контура и генератор будет оказывать минимальное влияние на добротность параллельного контура.

При теоретическом анализе параллельного КК генератор удобнее представлять источником тока (рис. 6). Напомним, что эквивалентное сопротивление $R_э$ не является реальным резистором, но лишь замещает КК по отношению к источнику тока на резонансной частоте в режиме стационарной работы системы генератор–контур (п. 3.7 введения). Поэтому при теоретическом анализе его нельзя «переносить» во внутреннее сопротивление источника тока $R_i$ по причинам, указанным в п. 1.7 введения. Пересчет параметров генератора стандартных сигналов в параметры эквивалентного источника тока осуществляется по правилам: $I = \frac {E}{R_i'},$ $R_i' = R_i + R_1$, где $R_i$ — выходное сопротивление генератора сигналов, а $Е$ — его эдс (п. 1.5 введения).

Таким образом, при соблюдении правил подключения КК к генератору, собственные параметры $\omega _0$ и $Q$ параллельного и последовательного КК, выполненных на одних и тех же катушке и конденсаторе, будут практически одинаковы. Однако требования к генератору внешних сигналов (к его эквивалентному выходному сопротивлению) существенно различны и выполнить эти требования — обязанность экспериментатора!

Зависимость амплитуды напряжения на реактивных элементах контура $U_С$ или $U_L$ от частоты внешнего генератора (при постоянной амплитуде выходного напряжения генератора) называется резонансной характеристикой контура. На рис. 7,а приведены примеры резонансных характеристик последовательного контура в относительных единицах $\frac{U_С}{U_Ср}$, где $U_{Ср}$ — амплитуда напряжения $U_{С}$ на резонансной частоте, для различных добротностей контура. (В п. 3.6 введения показано, что в последовательном контуре $U_{С}$ и $U_{L}$ достигают максимального значения при частотах несколько отличающихся от резонансной, но при добротности контура больше 10 это отличие составляет доли процента и при практических измерениях им можно пренебречь). По резонансной кривой экспериментально определяются основные характеристики контура — резонансная частота $f_{0}$ и добротность $Q.$

Добротность определяется по формуле $$ Q = \frac{f_0}{2\Delta f}, $$ где $2\Delta f$ — полоса пропускания контура на уровне $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$ от максимального (резонансного) значения (рис. 7,а).

На рис. 7,б приведена фазо–частотная характеристика последовательного контура, показывающая зависимость сдвига фазы между током и напряжением в цепи генератора от его частоты. По этой характеристике можно видеть, что при малых частотах напряжение отстает по фазе от тока, т.е. сопротивление последовательного контура носит емкостной характер, а при частотах больше резонансной — индуктивный. При резонансной частоте сдвиг фазы между током и напряжением равен нулю, т.е. контур представляет собой для генератора чисто активную нагрузку.

Для параллельного контура резонансная кривая имеет аналогичный вид и также служит для определения $f_0$ и $Q.$ Фазо–частотная характеристика параллельного контура «инвертирована» относительно оси абсцисс, поскольку сопротивление параллельного контура при частотах ниже резонансной имеет индуктивный характер, а выше — емкостной. При резонансе параллельный контур, как говорилось выше, также представляет собой чисто активную нагрузку для генератора.

При экспериментальном исследовании важно отличать собственную добротность контура $Q$ от так называемой нагруженной добротности $Q'.$ Смысл понятия «нагруженная» добротность рассмотрим на примере параллельного контура рис. 8.

Сопротивления $R_{i}' = R_{i} + R_{1}$ и $R_{н}$ схемы являются эквивалентным выходным сопротивлениям генератора и эквивалентным входным сопротивлением нагрузки (например, входным сопротивлением осциллографа) соответственно. Они подключены параллельно контуру, следовательно, контур при работе затрачивает на них некоторую активную мощность, что сказывается на его добротности. Нагруженная добротность $Q'$ может быть рассчитана по формуле \begin{equation} \label{GrindEQ__5_} Q'=(1+\frac{Q\cdot \rho }{R^*})^{-1} Q=kQ, \end{equation} где $Q$ и $\rho $ — собственная добротность и волновое сопротивление контура, а $$ R^* = \frac{R_{i}' R_н}{R_{i}'+ R_{н}} $$ — параллельное соединение сопротивлений $R_{i}$' и $ R_{н}$, т.е. «нагрузка» контура.

Если выполнено условие $R_{i}' \gg R_{э}$, а $R_{н}$ сравнимо с $R_{э}$, то $R_{i}'$ можно не учитывать и в последнюю формулу подставить $R^* = R_{н}$. Очевидно коэффициент $k$ всегда меньше единицы.

Формула выведена в предположении, что сопротивления $R^*$, $R_{i}'$ или $R_{н}$ включены параллельно эквивалентному сопротивлению $R_{э}$ контура и формально уменьшают его величину, т.е. увеличивают потери в контуре (вывод формулы оставим для семинарских занятий).

Основные соотношения для контуров выводятся в рамках теории линейных колебаний. Условием линейности колебаний является независимость параметров контура $L,$ $С$ и $R_{L}$ от амплитуды токов и напряжений в контуре. Но большинство практических применений контуров в радиотехнике основано на нелинейных явлениях, таких как модуляция, детектирование, биения и т.д. В частности, радио– и телесигналы являются модулированными колебаниями: несущая частота радиоканала промодулирована звуковыми или видеосигналами изображения.

Синусоидальная функция имеет три постоянных не зависящих от времени параметра: амплитуду $A_{0}$, частоту $\omega $ и фазу $\psi :$ \[A\left(t\right)=A_{0} \sin \left(\omega t+\psi \right).\]

Изменение во времени одного из этих параметров называется модуляцией. Соответственно различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.

Рассмотрим простейший случай амплитудной модуляции — изменение амплитуды $A_{0}(t)$ гармоническим сигналом с частотой $\Omega \ll \omega .$ Пусть, например, амплитуда высокочастотной составляющей сигнала меняется относительно своего среднего значения $А_{0}$ на величину $mА_{0}$ с частотой $\Omega $ (рис. 9,а).

Модулированный сигнал в этом случае будет представлен функцией \begin{equation} \label{GrindEQ__8_} A(t)=A_{m} \left(t\right)\sin \left(\omega _{0} t\right)=A_{0m} \left(1+m\cos \left(\Omega t\right)\right)\sin \left(\omega _{0} t\right) \end{equation} где $m$ — коэффициент (глубина) модуляции, $A_m(\Omega , t)$ — модулирующее колебание, равное \[ A_{m} \left(\Omega ,t\right)=mA_{0} \cos \left(\Omega t\right), \] где $A_m(t)$ — огибающая модулированного сигнала, равная \[ A_{m} \left(t\right)=A_{0m} \left(1+m\cos \left(\Omega t\right)\right). \] Подставив в (8) значения $$ \cos (\Omega t) \sin (\omega_{0}t) = 0,5 [\sin((\omega _{0} -\Omega)t) + \sin((\omega _{0} + \Omega )t)], $$ получим три составляющих модулированного сигнала \[ A\left(t\right)=A_{0} \sin \left(\omega _{0} t\right)+A_{2m} \sin \left(\omega _{1} t\right)+A_{2m} \sin \left(\omega _{2} t\right), \] где $А_{2m} = \frac 12 mА_{0};$ $\omega_1 = \omega _0 - \Omega ;$ $\omega _2 = \omega _0 + \Omega $ и начальная фаза каждой из 3–х составляющих $\psi = 0.$

Таким образом, простейшее амплитудно–модулированное колебание $А(t)$ может быть представлено суммой трех синусоидальных колебаний:

• колебания с несущей частотой $\omega _{0}$ и амплитудой $A_0$ и
• двух колебаний боковых частот $\omega _1, \omega_2$ с одинаковой амплитудой $А_{2m} = \frac 12 mА_0$ и частотами одна больше, другая меньше несущей частоты на $\Omega .$

Спектр амплитудно модулированного сигнала представлен на рис. 9,б. Огибающая и ее спектр представлены на рис. 10,а,б. Спектр огибающей легко получить, использовав равенство $\cos(\Omega t) = \cos(-\Omega t)$ и записав огибающую функцию в виде \[ A_{m} \left(t\right)=\left(\frac{mA_{0m}}{2}\right)\cos \left(-\Omega t\right)+A_{0m} +\left(\frac{mA_{0m}}{2} \right)\cos \left(\Omega t\right). \]

Средняя компонента — это постоянная составляющая (частота равна нулю), две крайние имеют частоты $\pm \Omega .$ Легко заметить, что спектры огибающей и несущей одинаковы, но сдвинуты по оси частот на $\omega _{0}.$

Самое широкое применение амплитудная модуляция находит в радиотехнике, где низкочастотным сигналом звуковой частоты модулируется высокочастотная несущая передающей станции. В этом случае модулирующий сигнал имеет уже не одну частоту $\Omega ,$ а занимает некоторую полосу частот и для анализа может быть представлен суммой гармонических составляющих \[ A_{\Omega } (t)=\sum _{j=1}^{n}A_{\Omega j} \cos (\Omega _{j} t+\psi _{j} )=\sum _{j=1}^{n}A_{\Omega j} \cos \lambda _{j} . \]

Само модулированное колебание в этом случае записывается в виде \begin{equation} \label{GrindEQ__9_} U(t)=U_{0} \left[1+\sum _{j=1}^{n}A_{\Omega j} \cos (\Omega _{j} t+\psi _{j} )\right]\cos \left(\omega t+\phi \right)=E\left(t\right)\cos \Phi . \end{equation}

Из этих двух выражений видно, что для амплитудной модуляции формально необходимо осуществить перемножение сигналов несущей и модулирующей частоты. Физически эта операция производится в устройстве, называемом модулятором (перемножителем), который обычно является нелинейной системой. Для подавления боковых частот, выходящих за рамки полосы частот модулирующего сигнала, на выходе модулятора ставится полосовой фильтр (обычно система контуров).

Сигнал радиопередающей станции, поступающий в антенну приемника, является модулированным. Его информационная часть заключена в низкочастотном модулирующем сигнале. Она должна быть отделена в приемнике от несущей (высокочастотной) компоненты, усилена и воспроизведена в исполнительном устройстве (динамике, мониторе и т.д.). Для выделения модулирующего сигнала в приемнике служат устройства, называемые детекторами (демодуляторами).

Схема простейшего диодного детектора амплитудно модулированного сигнала изображена на рис. 11. Источник модулированного сигнала $U(t) = Е(t) cos (\Phi )$ представлен эквивалентным генератором, нагруженным на индуктивность $L_{1}$, с которой индуктивно связан колебательный контур $L_{2}С_{1},$ настроенный на несущую частоту сигнала $\omega .$ С контура сигнал через диод поступает на фильтр низкой частоты $С_{ф}R_{1}$ и далее через разделительный конденсатор $С_{р}$ на вход усилителя низкой частоты.

Процесс детектирования заключается в следующем. При достаточно большом напряжении сигнала $U(t)$ вольт–амперную характеристику диода VD можно аппроксимировать ломаной линией, как показано на рисунке 12,б. Через диод течет импульсный ток однополупериодного выпрямления $I_{д}$, изображенный на рис 12,г сплошной линией. Его можно разложить в ряд Фурье $$ I(t) = I_0(t) + I_1(t) \cos(\Phi) + I_2(t) \cos(2\Phi) + \ldots $$

Постоянная составляющая $I_0(t)$ создает на диоде и сопротивление $R$ постоянное напряжение $U_{0}$, смещающее рабочую точку диода влево (в область отрицательных напряжений). Переменное высокочастотное напряжение, выпрямленное диодом, образует на фильтре постоянное напряжение $U_{\Omega }$, «следящее» за амплитудой модулирующего сигнала (рис. 12, г).

Ток $I_{{д}}$, протекающий через диод в положительные полупериоды напряжения $U(t),$ заряжает конденсатор фильтра $С$ с постоянной времени $\tau_{0} = R_{д}С,$ где $R_{{д}}$ — сопротивление открытого диода (выходным сопротивлением источника сигнала мы пренебрегли, но оно может быть учтено суммированием с $R_{д}$).

В отрицательные полупериоды диод закрыт и конденсатор разряжается через сопротивление фильтра $R$ с постоянной времени $\tau_р = RС,$ где величина сопротивления резистора $R$ выбирается из условия $R \gg R_{д}.$ При этом $\tau_{р}\gg \tau_0,$ и на фильтре создается напряжение $U_{\Omega }$, пропорциональное амплитуде модулирующего сигнала.

При условии $R \gg (\omega_0С)^{-1},$ где $\omega_0$ — несущая частота сигнала, $U_{\Omega }$ практически не будет содержать высокочастотной составляющей, тогда как низкочастотная составляющая (модулирующий сигнал $U_{\Omega }$) практически полностью воспроизведется на фильтре, что и показано на рис. 12,г.

Следует заметить, что характеристика детектирования будет линейной лишь в том случае, когда ВАХ диода хорошо аппроксимируется отрезками прямых (рис. 12,б). А это выполняется только при достаточно большом напряжении сигнала (более $1$В). Если напряжение мало, то приходится применять квадратичную (примерно до $0,2 \ldots 0,3$В) или экспоненциальную (при еще меньших напряжения) аппроксимацию. Это приводит к появлению в спектре детектированного сигнала более высоких гармоник с частотой кратной $\Omega$. Детекторная характеристика становится нелинейной, что ведет к нелинейным искажениям сигнала модуляции. Поэтому в случае слабых сигналов используют предварительное усиление высокочастотного сигнала или транзисторные детекторы, позволяющие доусиливать сигнал одновременно с детектированием.

1. Мандельштам Л.И., Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.
2. Горелик Г.С., Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959.
3. Бессонов Л.А., Теоретические основы электротехники. Учебник для студентов энергетических и электротехнических вузов. М.: «Высш. Школа», 1973.
4. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов. Под ред. К.А. Самойло. М.: Радио и связь, 1982.
5. Физическая энциклопедия. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия. Т.1. 1988. 704 с.; Т.2. 1990. 703 с.;
6. Большая российская энциклопедия. Т. 3. 1992. 672 с.; Большая российская энциклопедия. Т. 4. 1994. 704 с.;
7. Большая российская энциклопедия. Т. 5. 1998. 760 с. Статьи: «Колебательный контур», «Резонанс».
8. Волгов В.А., Детали и узлы радиоэлектронной аппаратуры. М., «Энергия», 1977. 656 с.

Назад к описаниям лабораторных работ «Электрические цепи» или далее к описанию эксперимента