Из уравнений Максвелла $$\begin{equation} \label{m01} \mbox{rot}\vec{E}=-\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{m1} \mbox{rot}\vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{equation}$$ следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого магнитного поля и наоборот. Для относительно медленного изменения поля (случай квазистационарного приближения) первое слагаемое в (2) значительно больше второго, т.е. ток проводимости значительно больше тока смещения $$\begin{equation}\label{ogr} \frac{4\pi}{c}\vec{j}\gg\frac 1c \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}, \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{equation}$$ так что уравнение упрощается, приобретая вид $$\mbox{rot}\vec{H}\approx \frac{4\pi}{c}\vec{j}. \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

В этом приближении вихревое электрическое поле создается изменением магнитного поля, а вихревое магнитное поле создается токами Фуко, текущими по проводнику $\vec{j}=\sigma\vec{E}.$ Током смещения можно пренебречь лишь при достаточно высокой проводимости среды $\sigma.$

Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника найдём из уравнений Максвелла, подействовав оператором $\mbox{rot}$ на уравнение (4) и используя тождество: $$\mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=\mbox{grad}(\mbox{div} \vec{H}) - \Delta \vec{H}$$ с учётом $\mbox{div} \vec{H}=\frac 1\mu\mbox{div} \vec{B}=0,$ запишем цепочку равенств $$\mbox{rot}(\mbox{rot}\vec{H})=- \Delta \vec{H}= \mbox{rot}(\frac{4\pi}{c}\vec{j}\,)=\frac{4\pi\sigma}{c}\mbox{rot}\, \vec{E}=- \frac{4\pi\sigma}{c^{2}}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.$$ Окончательно получаем $$\begin{equation}\label{fuko} \Delta\vec{H}=\frac{4\pi\sigma\mu}{c^{2}}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}. \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{equation}$$ Рассмотрим теперь цилиндрическую трубку, помещённую в соленоид с магнитным полем $H(t)=H_{0}e^{-i\omega t}.$ Расписывая лапласиан в цилиндрических координатах, придём к уравнению $$\frac 1r\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial H_z}{\partial r} \right) + \frac{i4\pi\omega \sigma\mu}{c^{2}} H_z=0.$$ Его решение выражается через функции Бесселя. Если толщина скин–слоя $$\begin{equation}\label{eq12} \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\sigma\mu\omega}} \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{equation}$$ значительно меньше характерных размеров проводника (в случае сильного скин-эффекта), то задача о проникновении поля в проводник сводится к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается.

Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле, меняющееся по гармоническому закону с частотой $\omega .$ Здесь и далее предполагается, что поперечные размеры системы $R$ значительно меньше длины волны электромагнитного поля $2\pi c\omega^{-1}$, т.е. $R\ll2\pi c\omega^{-1}$ так, что эффектами запаздывания можно пренебречь, рассматривая задачу как квазистационарную. Введем ось $x,$ направленную по нормали внутрь проводника и будем искать решение в виде $$H(x,t)=H_z(x)e^{-i\omega t}.$$ Тогда уравнение (5) примет вид: $$\begin{equation}\label{eq11} \frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}=-\frac{2i}{\delta^{2}}H_{z}. \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{equation}$$

Решением этого уравнения будет выражение $$\begin{equation}\label{eq13} H_{z}(x,t)=H_{0}\exp(-\frac{x}{\delta})\exp\left(i(\frac{x}{\delta}-\omega t)\right), \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{equation}$$ которое означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает, а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Из выражения (8) следует, что величина $\delta$ определяет масштаб ослабления поля в $e$ раз и характеризует собой толщину скин–слоя.

При выводе выражения (8) с самого начала предполагалось, что $\delta\ll h$, где $h$ — толщина проводника. По этой причине из решения выпадает радиус цилиндра $R$ (см. рисунок). Решение для произвольного соотношения $\delta,h$ и $R$ выражается функциями Бесселя и не очень удобно для простого анализа, поэтому для выяснения роли размеров цилиндра рассмотрим другой предельный случай тонкого цилиндра, когда $\delta\gg h$ и $h\ll R.$ Первое из этих условий позволяет считать, что индуцированное электрическое поле $E_{\varphi}$ и зависящая от него плотность тока $j_{\varphi}=\sigma E_{\varphi}$ в стенке цилиндра практически однородны. Тогда из уравнения Максвелла (2), интегрируя по площади, запишем $$\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{H}\cdot d\vec S=\int\limits_S\frac{4\pi}{c}\vec{j}\cdot d\vec S = - \frac{4\pi}{c}j_{\varphi}Lh = -\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}Lh.$$ Первый интеграл запишем, воспользовавшись теоремой Стокса $$\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{H}\cdot d\vec S=\oint\limits_{L}\vec{H}\cdot d\vec \ell= (H_0-H_1)L$$ и интегрируя по замкнутому контуру, ограничивающему площадь $S$. В итоге получим: $$\begin{equation}\label{eq17} H_{0}-H_{1}=-\frac{4\pi}{c}\sigma E_{\varphi}h, \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{equation}$$ где $H_{0}$ и $H_{1}$ — амплитуды магнитного поля снаружи и внутри цилиндра.

Из условия $h\ll R$ следует, что сечение стенки цилиндра $S=h\cdot L$ значительно меньше сечения полости $R\cdot L$, тогда изменением магнитного поля в стенке можно пренебречь. Выражение для циркуляции электрического поля получим из уравнения Максвелла (1): $$\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{E}\cdot d\vec S= -\int\limits_{S}\frac 1c \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec S = \int\limits_{S}\frac {i\omega \mu}c H_z \cdot d S = \frac {i\omega \mu}c H_z\pi R^2,$$ где воспользовались тем, что поле $H(r,t)=H_ze^{-i\omega t}.$ Первый интеграл найдём с учётом теоремы Стокса $$\int\limits_{S}\mbox{rot}\vec{E}\cdot d\vec S= \oint\limits_{L}\vec{E}\cdot d\vec \ell =E_{\varphi}2\pi R.$$ В итоге получим $$\begin{equation}\label{eq18} E_{\varphi}\cdot2\pi R=i\omega\mu\frac{\pi R^{2}}{c}H_{1}. \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{equation}$$ Подставляя (9) в (10), найдем амплитуду переменного магнитного поля внутри цилиндра: $$H_{1}=H_{0}\left( 1-\frac{ihR}{\delta^{2}}\right) ^{-1}.$$ Преобразуем в экспоненциальную форму: $$\begin{equation}\label{eq20} H_{1}=\frac{H_{0}}{\sqrt{1+\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}}}\cdot\mbox{exp}\left( i\cdot\mbox{arctg}(\frac{hR}{\delta^{2}})\right). \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \end{equation}$$ Выражение тем точнее, чем тоньше стенка цилиндра. Безразмерная величина $\frac{hR}{\delta^{2}}$ в задаче экранирования поля при слабом скин–эффекте является параметром подобия.

Из (11) следует, что ослабление поля внутри цилиндра зависит не только от отношения $\frac{\delta}{h},$ но и от величины $\frac{\delta}{R}.$ Очевидно, что поле в полости существенно ослабляется при $\frac{h^{2}R^{2}}{\delta^{4}}\gg1.$ Если взять корень четвертой степени от этого выражения, то придём к очень слабому неравенству $\delta<\sqrt{hR},$ которое является условием эффективного экранирования переменного поля тонкостенным проводником. Для работы этого условия достаточно, чтобы $\delta$ лишь в два раза было меньше $\sqrt{hR}$. Выражение (11) справедливо вплоть до значений $\delta\sim h.$ При более высоких частотах оно становится неприменимым, и следует воспользоваться выражением (8).

Назад к описанию лабораторных работ «Проникновение электромагнитного поля в вещество» или далее к описанию экспериментальной установки.