Приведем вывод формул для тока вакуумного диода с коаксиальными электродами, где катод прямого накала расположен по оси цилиндрического анода (режим начальных токов на рис. 6, б, или область I на рис. 7, б.). Если радиус катода намного меньше радиуса анода, то можно считать, что начальные скорости электронов имеют составляющие по оси цилиндра $V_{z}$ и по радиусу цилиндра $V_{r}$. Силовые линии электрического поля направлены по радиусу цилиндра. Чтобы определить ток диода при отрицательных анодных напряжениях, надо вычислить интеграл $$ I=S\int_{V_{0}}^{\infty}eV_{r}f(\vec{V})d^{3}\vec{V}, $$ где $S$ — площадь катода; $e>0$ — элементарный заряд; $V_{0}$ — граничная скорость электронов на катоде, начиная с которой они уже достигают анода.

Для расчётов удобно воспользоваться цилиндрической системой координат. В этой системе распределение Максвелла имеет вид $$ f(\vec{V})d^{3}\vec{V=Ae^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}dV_{r}dV_{z}d\alpha,} $$ где $\alpha$ — азимутальный угол. Полный ток диода определяется выражением $$ I=eSA\int_{-\infty}^{\infty}dV_{z}\int_{0}^{2\pi}d\alpha\int_{V_{r0}}^{\infty}e^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}^{2}dV_{r}, $$ где $A$ — нормировочная константа, а скорость $V_{r0}$ определяется из соотношения $\frac{mV_{r0}^{2}}{2}=-eU_{a}$.

После интегрирования по $V_{z}$ и углу $\alpha$ получим, что ток диода прямо пропорционален интегралу $$ I\propto\int_{V_{r0}}^{\infty}e^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}^{2}dV_{r}. $$

Произведя замену переменных $y=\sqrt{\frac{mV_{r}^{2}}{2kT}}$ и проинтегрировав по частям, получим формулу для вольт–амперной характеристики диода в режиме задерживающего потенциала (область I на рис. 7, б) $$ I=I_{0}F(\frac{-eU_{a}}{kT})\equiv2C\int_{\eta}^{\infty}y^{2}e^{-y^{2}}dy=C\left[\eta e^{-\eta^{2}}+\int_{\eta}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right],\label{eq:8} $$ где $\eta=\sqrt{\frac{-eU_{a}}{kT}}$. Константу $C$ можно найти из условия, что при отсутствии запирающего напряжения ($\eta=0$) должен получиться полный ток эмиссии $I_{0}$: $$ C=\frac{2I_{0}}{\sqrt{2\pi}}.\label{eq:9} $$

График зависимости $\frac{I}{I_{0}}=F(\frac{-eU_{a}}{kT})$ приведен в прил. 2.

Отметим сразу, что эта формула может применяться и в области I' рис. 7, б, где в качестве запирающего потенциала выступает минимальный потенциала пространства $\varphi_{m}$, который в этом случае надо подставить в формулу (\ref{eq:8}) вместо $U_{a}$.