На комплексном сопротивлении контура $Z(f)$ выделяется напряжение дробовых шумов $$ \overline{U_{др}^{2} }=2eI_{0} \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(f)\right|^{2} df=\frac{eI_{a} }{\pi } \int \limits_{0}^{\infty }\left|Z(\omega )\right|^{2} d\omega . $$

Здесь $Z(\omega )=\frac{(R+j\omega L)/j\omega C}{(R+j\omega L)+1/j\omega C} =\frac{R+j\omega L}{j\omega RC-\omega ^{2} LC+1} $, причем величина $R$ это сумма сопротивления провода катушки и сопротивления делителя схемы $R_2$:

Обозначая $x=\omega /\omega _{0} ;{\rm \; \; \; \; }\omega _{{\rm 0}} =1/\sqrt{LC} ;{\rm \; \; \; Q}=\omega _{0} L/R=1/\omega _{0} CR,$ получим

\noindent $Z(x)=\frac{R+jRQx}{(1-x^{2} )+jx/Q} $ и $\left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx(1/Q^{2} +1-x^{2} )}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2} $.

Поскольку нас интересуют лишь значения х $\approx$ 1 и Q $\geq$ 10, то множитель в скобке знаменателя можно принять равным 1 и записать \[\left|Z(x)\right|^{2} =\left|\frac{R-jRQx}{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \right|^{2} =\frac{R^{2} +R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \approx \frac{R^{2} Q^{2} x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } \]

Последнее приближение сделано ввиду R $<$$<$ RQx. Используя соотношение R${}^{2}$Q${}^{2}$ = 1/($\omega$${}_{0}$${}^{2}$С${}^{2}$), получим \[\overline{U_{4@}^{2} }=\frac{eI_{0} }{\pi \omega _{0} C^{2} } \int _{0}^{\infty }\frac{x^{2} }{(1-x^{2} )^{2} +(x/Q)^{2} } dx\]

Вводя новую переменную $y=Q(\frac{1}{x} -x){\rm \; \; 8\; \; }dy=-Q(\frac{1}{x^{2} } +1)dx\approx 2Qdx$, получим$\int _{-\infty }^{\infty }\frac{Q}{2(y^{2} +1)} dy=\frac{Q}{2} arctg\left. y\right|_{-\infty }^{\infty } =\frac{Q\pi }{2} $.

И окончательно \[\overline{U_{4@}^{2} }=\frac{eI_{0} Q}{2\omega _{0} C^{2} } . \]