lab2

Это старая версия документа!

\section{Законы эмиссии заряженных частиц и ток в вакууме }

\subsection{Ток в вакууме. Вакуумный диод}

\subsubsection*{Ток в вакууме}

Когда говорят о токе в вакууме, обычно имеют в виду электронный ток, возникающий в вакуумированных объемах с введенными внутрь металлическими электродами. Промежуток между электродами включен в электрическую цепь. Электроны образуются в промежутке в результате электронной эмиссии, обусловленной различными физическими процессами. Различают следующие виды эмиссии:

термоэлектронную (под действием повышенной температуры катода);

фотоэлектронную (под действием облучения катода светом);

автоэлектронную (под действием высокой напряженности электрического поля вблизи катода);

вторичную (под действием бомбардировки электродов быстрыми частицами).

Однако ток в вакууме может быть и ионным. В этом случае в вакуумный промежуток вводят электроды, на которые нанесены специальные вещества (сподумены), способные эмитировать ионы одного или обоих знаков заряда под действием нагревания. Иногда ионы вводят в вакуумный промежуток с помощью специальных капилляров.

\subsubsection*{Вакуумный диод }

Простейший вакуумный прибор — диод — имеет два электрода, расположенных в вакуумированной колбе: катод и анод (рис.~1). Катод предназначен для создания электронного потока за счет термоэмиссии. По принципу действия термокатоды бывают прямого и косвенного накала (подогревные катоды). У прямонакальных приборов катодом служит сама нить накала (Н). Для подогревных катодов нить накала служит лишь подогревателем, а сам катод (К) — это проводящий электрод, на который нанесён оксидный слой, служащий для уменьшения работы выхода электронов. В этом случае катод электрически может быть либо соединен с одним из концов нити накала внутри лампы, либо изолирован от подогревателя и выведен отдельно (рис.~1,а).

\begin{center} \includegraphics[scale=0.33]{pic01} \par\end{center}

Конструкция системы электродов может быть плоской, цилиндрической или сферической. В частности, используемый в наших работах диод 2ДЗБ имеет прямонакальный катод с нитью накала из торированного карбидированного вольфрама и цилиндрическую систему электродов. Параметры диода приведены в ПРИЛ. 1.

\subsection{Термоэлектронная эмиссия. Работа выхода электронов }

Высокая проводимость металлов обусловлена наличием в них \emph{электронов проводимости}, образующих электронный газ. Для оценки можно считать, что каждый из атомов металлов, образующих кристаллическую решетку, ``отдает в электронный газ несколько электронов (обычно от одного до трех в зависимости от типа металла). Эти электроны уже не принадлежат ионам решетки, а являются ``общими для всего объема металла. При включении металлического проводника в электрическую цепь электроны проводимости перемещаются, обеспечивая соответствующий ток проводимости. Поскольку плотность металлов составляет примерно $10^{28\div29}$ $\frac{\lyxmathsym{атомов}}{\lyxmathsym{м}^{3}}$, то концентрация (плотность) электронного газа очень высока. Это и объясняет высокую электропроводность металлов.

Хотя электроны проводимости ведут себя в металле во многих отношениях подобно газу (могут свободно перемещаться по всему объему металла, их плотность испытывает тепловые флуктуации; что обуславливает так называемый \emph{тепловой шум}, и т.п.), но, чтобы выйти за пределы объема металла, они должны совершить определенную работу, называемую \emph{работой выхода}. Если эта работа совершается за счет нагрева металла, то процесс выхода электронов из металлов называется \emph{термоэлектронной эмиссией}.

Силы, по преодолению которых эмитированные электроны должны совершить работу выхода, в простейшей модели (классическая модель Шоттки) описываются двумя компонентами: двойным электрическим слоем на границе металла с вакуумом и силами ``изображения (рис. 2). \begin{center} \includegraphics[scale=0.33]{pic02} \par\end{center} В отсутствие внешних полей электронный газ ``распространяется за поверхность металла на расстояния $x_{0}$ порядка межатомных, и в этом поверхностном слое (его называют двойной слой) на электрон действует некоторая сила $F_{0}$. Можно считать, что двойной слой образует ``плоский конденсатор, внешняя обкладка которого заряжена отрицательно. Поэтому силу $F_{0}$ можно принять постоянной $F_{0}=eE$ (рис. 2, в), где величина $E$ (напряженность поля двойного слоя) зависит от плотности электронного газа и различна для разных металлов. Когда электрон уходит на расстояния больше $x_{0}$, металл в целом оказывается положительно заряженным, и действующую на электрон силу можно определить как силу Кулона между электроном ($-e$) и его ``зеркальным изображением ($+e$) (см. рис. 2, б):

\begin{center} $F_{im}=-\frac{e^{2}}{4x^{2}}$, дин (СГС) или $F_{im}=-\frac{e^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}x^{2}}$, Н (СИ) \par\end{center}

В точке $x_{0}$ эти силы должны ``сшиваться по величине, что помогает определить величину силы $F_{0}$: \begin{center} $F_{0}=\left.F_{im}\right|_{x_{0}}=-\frac{e^{2}}{4x_{0}^{2}}$, дин (СГС) или $F_{0}=\left.F_{im}\right|_{x_{0}}=-\frac{e^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}x_{0}^{2}}$, Н (СИ) \par\end{center} Общая работа сил, затрачиваемая на выход электрона из металла, определится интегрированием по всему пространству вдоль направления $x$ от $0$ до $\infty$: \begin{equation} W_{p}=\int_{0}^{\infty}F(x)dx=\frac{e^{2}}{4x_{0}}+\int_{x_{0}}^{\infty}\frac{e^{2}}{4x^{2}}dx=\frac{e^{2}}{2x},\text{ эрг }(\text{СГС})\label{eq:1} \end{equation} или $W_{p}=-\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}x_{0}}$, Н (СИ), где $e=1,6\cdot10^{-19}$ Кл — заряд электрона; $\varepsilon_{0}=8,85\cdot10^{-12}$ $\frac{\lyxmathsym{Ф}}{\lyxmathsym{м}}$ — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума). Величина работы выхода $W_{p}$, соответствующая формуле (\ref{eq:1}) рассчитана исходя из классических соображений. Она называется полной работой выхода. Реальные работы выхода W a , измеряемые в экспериментах по термоэмиссии, оказались заметно меньше по величине. Это различие было объяснено на базе квантовой физики. Суть объяснения заключается в следующем. Плотность электронного газа в металле весьма высока. Поэтому электроны проводимости нельзя считать ``свободными в классическом смысле слова. Они представляют единую квантовую систему. Согласно квантовым законам даже при абсолютном нуле температуры все электроны системы не могут иметь одинаковую — нулевую — энергию, поскольку в соответствии с квантовым запретом Паули в одном квантовом состоянии (с данной энергией) может находиться не более двух электронов, отличающихся проекцией спина. Распределение электронов квантовой системы по энергиям в этом случае описывается статистикой Ферми– Дирака.

На рис. 3 изображен вид этого распределения для двух значений температуры: $T=0^{\circ}\:\lyxmathsym{К}$ и $T>0^{\circ}\:\lyxmathsym{К}$. Максимальная энергия $W_{f}$ при $0^{\circ}\:\lyxmathsym{К}$ называется уровнем Ферми (энергией Ферми, химическим потенциалом идеального электронного газа).

\begin{center} \includegraphics[scale=0.33]{pic03} \par\end{center}

Поскольку при термоэмиссии металл покидают наиболее энергичные электроны, имеющие энергию, близкую к энергии Ферми, то можно считать, что для выхода им достаточно затратить лишь часть необходимой энергии, равной разнице между $W_{p}$ и $W_{f}$: \begin{equation} W_{a}=W_{p}-W_{f}=e\varphi\:\text{или}\:\varphi=\frac{W_{a}}{e}.\label{eq:2} \end{equation} Здесь $e>0$ — элементарный заряд, а $W$ и $e\varphi$ — работа выхода в Дж (СИ). Ее также часто выражают в электрон–вольтах (эВ). Внесистемная единица (электрон-вольт) широко принята в практике. Так 1 эВ — это работа (энергия), которую приобретает электрон, пройдя без соударения разность потенциалов в 1 В. Чтобы пересчитать работу выхода из эВ в единицы СИ или СГС, нужно умножить это значение на заряд электрона в соответствующей системе единиц ($1\:\lyxmathsym{эВ}=1,6\cdot10^{-19}\text{ Дж}$).

\begin{comment} Следует отметить, что в разных научных школах для указания работы выхода приняты разные, отчасти противоречивые обозначения. В одних работа выхода обозначается через A, или W и e , как это сделано выше, а в других — через символ , который, как и символ U, также обычно используется для обозначения потенциала. Мы не будем изменять сложившиеся традиции и в необходимых местах будем делать соответствующие уточнения. \end{comment}

Величина энергии Ферми в металле $W_{f}$ зависит только от концентрации электронов проводимости (от плотности электронного газа) и равна \begin{equation} W_{f}=\frac{h^{2}}{2m}\left(\frac{3n}{8\pi}\right)^{\frac{2}{3}},\text{ Дж,}\label{eq:3} \end{equation} где $n$ — концентрация, $\lyxmathsym{м}^{3}$; $m=9,1\cdot10^{-31}\text{ кг}$ — масса электрона; h — постоянная Планка: $h=6,63\cdot10^{-34}\text{ Дж}\cdot\text{с}$.

Для различных металлов плотность электронного газа различна, поэтому различен и уровень Ферми. Пунктиром на рис. 3,~а показан уровень Ферми $W_{f1}$, соответствующий металлу с большей плотностью электронного газа, чем у металла, характеризуемого сплошной линией. По порядку величины уровень (энергия) Ферми для всех металлов примерно одинаков и составляет несколько эВ (табл. 1). \begin{table} \begin{centering} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Металл & $n\cdot10^{-28}$, $\text{м}^{3}$ & $W_{f}\cdot10^{19}$, Дж & $\varphi,$ эВ\tabularnewline \hline \hline Th & & 5,28 & 3,3\tabularnewline \hline K & 1,33 & 3,55 & 2,22\tabularnewline \hline Cu & 8,4 & 7,04 & 4,4\tabularnewline \hline Ag & 5,9 & & 4,3\tabularnewline \hline W & 6,3 & 7,26 & 4,54\tabularnewline \hline Ni & & 7,2 & 4,5\tabularnewline \hline \end{tabular} \par\end{centering}

\begin{centering} Таблица 1. \par\end{centering}

\begin{centering} Концентрация электронов проводимости $n$, уровни \par\end{centering}

\centering{}Ферми $W_{f}$ и работа выхода различных металлов \end{table}

\subsection{Модель потенциальной ямы (модель Шоттки) }

Поскольку электроны проводимости, с одной стороны, ведут себя в металле как газ, а с другой — не могут свободно выйти за пределы металла, то для описания этого состояния В. Шоттки в 1939 г. предложил модель потенциальной ямы, в которой ``заперты электроны наподобие воды в ванне (рис. 4). \begin{center} \includegraphics[scale=0.29]{pic04} \par\end{center} Если полагать, что пространство вне металла имеет нулевой потенциал (уровень А на рис. 4), то минимальный потенциал (минимальная энергия) электронов проводимости в металле соответствует дну потенциальной ямы. ``Глубина потенциальной ямы определяется полной работой выхода электрона из данного металла $\varphi_{p}$. Максимальная энергия электронов проводимости при $T=0^{\circ}\:\lyxmathsym{К}$ соответствует уровню Ферми $\varphi_{f}$. Выше уровня Ферми располагаются разрешенные законами квантовой физики, но при $T=0^{\circ}\:\lyxmathsym{К}$ не заполненные уровни (например, уровень С на рис. 4). Частично они заполняются при повышении температуры, т. е. при $T>0^{\circ}\:\lyxmathsym{К}$. Полная энергия $\varphi_{p}$, которую должен затратить электрон с минимальной энергией для выхода из металла, соответствует глубине потенциальной ямы. Это и есть полная работа выхода, определяемая в классической (доквантовой) теории. Разница $\varphi_{a}=\varphi_{p}-\varphi_{f}$ будет равна эффективной работе выхода.

Необходимо отметить, что если энергия $\varphi$ на рис. 4 выражена в электрон-вольтах (эВ), то все уровни на рисунке просто соответствуют шкале потенциала $U$ в вольтах (В). Любому уровню B, расположенному выше А, будет соответствовать отрицательное напряжение, равное разности потенциалов между уровнями В и А, а соответствующим точкам С, расположенным ниже А, будут соответствовать положительные напряжения между С и А.

\subsection{Контактная разность потенциалов }

В предыдущих разделах мы рассмотрели свободную эмиссию электронов из катода, когда внешнего поля между анодом и катодом не было задано. Но если внешнюю цепь анод–катод замкнуть проводником, то в пространстве анод–катод внутри диода создастся некоторая разность потенциалов, природа которой — \emph{контактная разность потенциалов} — непосредственно связана с величиной работы выхода электронов из металлов и током эмиссии.

Суть этого явления заключается в следующем. Рассмотрим проводники из различных металлов, например, вольфрама (катод 1) и никеля (анод 2), с работами выхода 4,55 и 4,5 эВ соответственно (рис. 5).

\begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{pic05} \par\end{center}

На рис. 5, а потенциальные ямы металлов изображены относительно нулевого уровня потенциала А. Нас будет интересовать вопрос: что произойдет при соединении проводников, показанном на рис. 5, б? Оказывается, как и в случае обычного молекулярного газа, когда при соединении двух сосудов с различной плотностью газа последняя будет выравниваться за счет процессов диффузии, в случае электронного газа тоже происходит ``выравнивание плотностей электронов. Выравнивание происходит до тех пор, пока уровни энергии Ферми обоих металлов не станут равными, т. е. пока не установится единый химический потенциал электронного газа в системе из двух металлов. При этом часть электронов из металла с меньшей работой выхода перетечет в другой металл, и первый за- рядится положительно относительно другого. Разность уровней Ферми определит так называемую внутреннюю контактную разность потенциалов $U'_{C}=\frac{\varphi_{f1}-\varphi_{f2}}{e}$ (между концами 1 – 2), а разность работ выхода — внешнюю (между концами 1' – 2') $U_{C}=\frac{\varphi_{a1}-\varphi_{a2}}{e}$. Можно показать, что величина внешней контактной разности потенциалов (или просто контактной разницы потенциалов) $U_{C}$ не изменяется, если в промежуток между концами 1 и 2 вставить любые другие металлы. Величина $U_{C}$ определится только разностью работ выхода металлов, ``открытых в промежуток между ними (концов 1' – 2'). Поэтому при замыкании внешней электрической цепи анод – катод диода величина внешней контактной разности потенциалов оказывается приложенной к промежутку катод–анод внутри диода и создает в нем напряженность поля, влияющую на движение термоэлектронов.

\subsection{Режимы работы диода }

На рис. 6, а изображена простейшая схема включения диода с плоской системой электродов. Изменяя ток накала $I_{H}$ , мы можем менять температуру катода $T$ и, следовательно, плотность тока эмиссии $j_{em}$, а изменяя напряжение $U_{a}$, можем изменять напряженность электрического поля в пространстве катод–анод. Нас будет интересовать характер физических процессов в промежутке катод–анод в зависимости от соотношения величин $I_{H}$ и $U_{a}$.

\begin{center} \includegraphics[scale=0.33]{pic06} \par\end{center}

Пусть ключ Кл разомкнут, а катод нагрет до нормальной для работы диода температуры ($\sim1900\text{ К}$). Эмитируемые катодом электроны частично осядут на стеклянной колбе диода, на аноде, а частично будут существовать в вакуумном промежутке диода в виде ``облака электронного газа. Изолированный катод при этом зарядится положительно. В результате в пространстве катод–анод сформируется такой отрицательный объемный заряд, который будет поддерживать ток эмиссии в динамическом равновесии: сколько излучается электронов с катода в единицу времени, столько воз- вращается обратно. Очевидно, что ``облако и катод будут при этом находиться в термодинамическом равновесии, т. е. температура облака будет равна температуре катода.

Этому случаю соответствует распределение потенциала в пространстве катод-анод, изображенное кривой 1 на рис. 6, б. Анод при этом будет заряжен отрицательно за счет ``осевших на него электронов. (Напомним, что анодная цепь разомкнута, т.е. анод ``оторван от электрической цепи и является изолированным металлическим электродом в вакуумном пространстве диода, а за нулевой потенциал мы приняли поверхность катода). Величина отрицательного потенциала анода в этом случае не определена, поскольку сам процесс рассматривается нами для чисто идеальных условий — ``бесконечной величины сопротивления между ``оторванным анодом и катодом. В реальных диодах она отнюдь не бесконечна и определяется сопротивлением утечки по стеклянной колбе диода. Важно отметить, что на всем пространстве катод–анод потенциальная энергия электрона в этом случае монотонно возрастает.

Если замкнуть цепь анода (ключом Кл), но при нулевом напряжении источника $U_{a}$ (что означает ``закоротить анод на катод), то распределение потенциала изобразится кривой 4. При этом потенциал анода и катода будет одинаков, а в промежутке между ними он отрицателен за счет электронного облака эмитированных электронов (мы пока пренебрегаем контактной разностью потенциалов, влияние которой будет рассмотрено ниже). При этом в цепи анода начнет протекать ток, обусловленный теми электронами, энергия которых достаточна для преодоления потенциального барьера, создаваемого электронным облаком. Заметим, что в этом случае кривая распределения потенциальной энергии в пространстве катод–анод имеет максимум $-e\varphi_{m}$ на некотором расстоянии $x_{m}$ от катода. Это означает, что в промежутке от 0 до $x_{m}$ электроны движутся в задерживающем поле, а в промежутке от $x_{m}$ до анода — в ускоряющем. Если подавать на анод отрицательные напряжения — $U_{a}$ относительно катода, то кривые распределения потенциала в пространстве катод–анод будут занимать места от кривой 4 до кривой 1 (и выше при больших отрицательных напряжениях на аноде). При этом семейство кривых от 4 до 2 будет иметь максимумы отрицательного потенциала $\varphi_{m}$ в некоторой точке пространства катод–анод $x_{m}$ . Эта точка с увеличением отрицательного напряжения стремится к аноду, пока не совпадет с анодом при некоторой его величине (кривая 2 на рис. 6). При дальнейшем увеличении отрицательного потенциала на аноде кривые уже не будут иметь максимума в пространстве катод-анод, а будут монотонно увеличиваться вдоль координаты $\lyxmathsym{х}$. Это соответствует режиму частичного запирания электронного потока на анод потенциальным барьером, определяемым потенциалом анода $-eU_{a}$ . На анод могут попасть только те электроны, кинетическая энергия которых превышает высоту барьера. Изменяя потенциал анода, по величине тока на анод можно судить о температуре электронов в потоке. При подаче на анод положительного потенциала относительно катода в некотором диапазоне величин (до кривой 6 на рис. 6, б) распределение потенциала в пространстве катод-анод по-прежнему будет иметь максимум отрицательного потенциала, который постепенно уменьшается по величине и смещается к поверхности катода. А далее (ниже кривой 6) потенциал во всей области катод-анод становится положительным. Поскольку он проникает до поверхности катода, то это способствует эмиссии электронов и при увеличении напряжения на аноде работа выхода уменьшается (величина $\varphi'$ на рис. 6,~б). Это уменьшение работы выхода за счет роста анодного напряжения (ниже кривой 6) называется \textbf{эффектом Шоттки}. Когда расстояние до максимума потенциала достигает межатомных величин, ток эмиссии резко возрастает: \emph{термоэлектронная эмиссия} переходит в \emph{автоэлектронную}. Это происходит при напряженностях внешнего поля $E\thickapprox10^{7}\frac{\text{В}}{\text{см}}$. Таким образом, ход физических процессов в диоде качественно изменяется в зависимости от величины и формы потенциального барьера, который формируется отрицательным объемным зарядом эмитированных электронов. При этом сама форма потенциального барьера в пространстве катод-анод зависит как от напряжения на аноде, так и от величины тока эмиссии, т.е. от температуры катода. Можно выделить три характерных режима работы диода. 1. Режим начальных токов, при котором кривая распределения потенциала в промежутке катод-анод не имеет максимума, а зависимость тока от напряжения на аноде носит экспоненциальный характер (выше кривой 2 на рис. 6, б); 2. Режим закона трех вторых, при котором в пространстве анод–катод существует максимум потенциала, а величина анодного тока пропорциональна напряжению на аноде в степени трех вторых (между кривыми 2 и 5); 3. Режим токов насыщения (режим эффекта Шоттки), при котором потенциал в пространстве анод-катод всюду положителен относительно катода, а величина тока слабо растет с ростом потенциала анода из–за уменьшения работы выхода электронов из катода. Именно эти режимы положены в основу теории вакуумного диода. Это было сделано в начале XX в. трудами Чайлда, Ричардсона, Шоттки, Ленгмюра, Богуславского и др. Большой вклад в теорию и экспериментальную проверку соответствующих зависимостей был внесен советскими учеными, в частности С.А.~Богуславским и Б.М.~Царевым, внесшим значительный вклад в изучение влияния контактной разности потенциалов на режимы работы диодов. Приведем основные теоретические формулы, характеризующие физические процессы в диоде (без учета контактной разности потенциалов). В режиме начальных токов зависимость плотности катодного тока j к от напряжения описывается экспоненциальным законом (формула Ричардсона–Дэшмана) \begin{equation} j_{K}=j_{em}\exp(\frac{eU_{a}}{kT}),\ \ \ j_{em}=AT^{2}\exp(-\frac{\varphi}{kT}),\label{eq:4} \end{equation} где $A=\frac{3\pi mk^{2}e}{h^{3}}=120\cdot10^{4}\frac{\text{А}}{\text{м}^{2}\text{град}^{2}}$ — постоянная, $j_{K}$ — плотность катодного тока {[}$\frac{\lyxmathsym{А}}{\lyxmathsym{м}^{2}}${]}, $j_{em}$ — плотность тока термоэмиссии {[}$\frac{\lyxmathsym{А}}{\lyxmathsym{м}^{2}}${]}, $U_{a}<0$ — анодное напряжение {[}В{]}, $\varphi$ — работа выхода электронов {[}Дж{]}, $T$ — температура катода. В \textbf{режиме ``трех вторых} в соответствии с формулой Богуславского–Ленгмюра зависимость плотности тока на катоде от напряжения анода ($U_{a}>0$) имеет вид:

для плоских электродов (формула Чайлда–Ленгмюра) \begin{equation} j_{K}=\frac{\sqrt{2}}{9\pi}\sqrt{\frac{e}{m}}\frac{U_{a}^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}\ \ \ (\text{в СИ }j_{K}\thickapprox2,33\cdot10^{-2}\frac{U_{a}^{\frac{3}{2}}}{d^{2}}\ [\frac{\text{А}}{\text{м}^{2}}]),\label{eq:5} \end{equation}

для цилиндрических электродов (формула Богуславского–Ленгмюра) \begin{equation} j_{K}=\frac{\sqrt{2}}{9\pi}\sqrt{\frac{e}{m}}\frac{U_{a}^{\frac{3}{2}}}{r_{a}r_{k}\beta^{2}},\label{eq:6} \end{equation} где $\frac{e}{m}$ — удельный заряд электрона, $d$ — расстояние катод–анод, $r_{\lyxmathsym{а}},\ r_{k}$ — радиусы анода и катода, $\beta$ — коэффициент, зависящий от отношения радиуса анода к радиусу катода, $\beta\to1$ при $\frac{r_{a}}{r_{k}}\gg1$. Ток диода равен $I=2\pi r_{k}l\cdot j_{K}$, $l$ — длина катода.

В \textbf{режиме эффекта Шоттки}

\begin{equation} j_{\text{дн}}=j_{\text{э}}\exp\frac{\sqrt{e^{3}E_{K}}}{kT},\label{eq:7} \end{equation} где $j_{\lyxmathsym{дн}}$ — плотность тока насыщения на катоде, $E_{\lyxmathsym{к}}$ — напряженность поля на катоде, создаваемая анодным напряжением в пренебрежении полем объемного заряда.

Для плоских электродов $E_{K}=\frac{U_{a}}{d}$, где $d$ — расстояние катод–анод, для цилиндрического диода $E_{K}=\frac{_{U_{a}}}{r_{K}}\ln\frac{r_{\text{а}}}{r_{K}}$.

\subsection{Вольт-амперная характеристика диода (ВАХ) }

Для практических целей режимы работы диода должны быть описаны величинами и характеристиками, задаваемыми и измеряемыми \emph{с помощью внешних источников и приборов}. Такими величинами являются напряжение $U_{H}$ и ток $I_{H}$ накала, напряжение $U_{a}$ и ток $I_{a}$ анода, а также геометрические параметры электродов.

Основной практической характеристикой работы диода является вольт–амперная характеристика (ВАХ) — зависимость тока анода от напряжения анод–катод $I_{a}=f(U_{a}).$ Поскольку конкретный вид ВАХ зависит от величины тока накала, то работа диода описывается семейством ВАХ $I_{a}=\left.f(U_{a})\right|_{I_{H}=const}.$

\begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{pic07} \par\end{center}

На рис. 7 изображено семейство и одиночная ВАХ диода. Режим отрицательного анодного напряжения (I) называется \textbf{режимом задерживающего потенциала}. В первом приближении можно считать, что в этой области зависимость тока от напряжения носит экспоненциальный характер (\ref{eq:4}) и определяется максвелловским распределением электронов по скоростям. Этот режим используется в лабораторной работе 2.3.

\textbf{Режим ``закона трех вторых} (область II) используется в работе 2.2. Можно считать, что в этой области зависимость анодного тока от анодного напряжения описывается формулой (\ref{eq:6}). Области режимов I и II разделены областью переходного режима I', в которой влияние контактной разности потенциалов и потенциального барьера в диодном зазоре, возникающего за счет начальных тепловых скоростей электронов (при нулевом внешнем напряжении катод–анод), приводят к отклонениям от расчетных формул. \textbf{Режим эффекта Шоттки} (область III) также отделен от режима трех вторых переходной областью II', в которой проявляется неоднородность температуры и работы выхода по поверхности катода. В области III анодный ток равен току эмиссии $I_{a}=I_{em}$ и его зависимость от анодного напряжения (от напряженности поля вблизи катода) описывается формулой (\ref{eq:7}). Этот режим используется в лабораторной работе 2.1. \subsection{Общие практические рекомендации по обработке ВАХ при выполнении работ } 1. Поскольку области I, II и III, в которых выполняются расчетные теоретические соотношения, разделены переходными областями, в которых эти соотношения нарушаются, то возникает практи- ческая задача определения участков ВАХ, соответствующих рабочим областям. Легче всего это сделать при соответствующей линеаризации графиков ВАХ. Например, для выделения области II (ре- жим трех вторых) нужно на оси абсцисс откладывать не анодное напряжение, а напряжение в степени три вторых ($U_{a}^{\frac{3}{2}}$). Тогда экспериментальные точки области II будут хорошо укладываться на аппроксимирующую прямую, что и позволит выделить нужный участок ВАХ. 2. При изменении тока накала $I_{H}$ тепловой режим работы диода устанавливается довольно инерционно. Поэтому при снятии ВАХ нужно использовать минимальные скорости пилообразного напряжения (при записи ВАХ на самописцах), а при построении характеристик ``по точкам снимать показания $I_{a}$ только после установления стабильной величины измерителя тока.

3. Инерционность установки температурного режима при выполнении работ можно проверить следующим образом. Установите рабочий ток $I_{H}$ в середине рекомендуемого диапазона и подождите, когда ток анода стабилизируется. Измените величину $I_{H}$ , не выходя за пределы рекомендуемых значений, и зафиксируйте время установки нового стабильного значения тока анода.

4. Тепловой режим работы диода изменяется не только при изменении тока накала $I_{H}$, но и при изменении величины тока анода $I_{a}$ даже при постоянном $I_{H}$. Это происходит из-за того, что электроны уходят с катода при температуре $T\approx2000\text{ К}$, а ``возвращаются на него по внешней цепи анодного тока при комнатной температуре $T\approx300\mbox{ К}$, что приводит к некоторому ``остыванию катода, величина которого зависит от величины тока анода. Для проверки инерционности данного процесса нужно установить режим токов насыщения (участок III ВАХ) при токе $I_{H}$, близком к максимальному, и дождаться установления стабильного значения $I_{a}$. Затем увеличить анодное напряжение и подождать установления нового стабильного значения $I_{a}$.

\subsection{Вывод расчетных теоретических соотношений для диода с коаксиальной системой электродов }

Приведем вывод формул для тока вакуумного диода с коаксиальными электродами, где катод прямого накала расположен по оси цилиндрического анода (режим начальных токов на рис. 6, б, или область I на рис. 7, б.). Если радиус катода намного меньше радиуса анода, то можно считать, что начальные скорости электронов имеют составляющие по оси цилиндра $V_{z}$ и по радиусу цилиндра $V_{r}$. Силовые линии электрического поля направлены по радиусу цилиндра. Чтобы определить ток диода при отрицательных анодных напряжениях, надо вычислить интеграл $I=S\int_{V_{0}}^{\infty}eV_{r}f(\vec{V})d^{3}\vec{V}$, где $S$ — площадь катода; $e>0$ — элементарный заряд; $V_{0}$ — граничная скорость электронов на катоде, начиная с которой они уже достигают анода.

Для расчётов удобно воспользоваться цилиндрической системой координат. В этой системе распределение Максвелла имеет вид \[ f(\vec{V})d^{3}\vec{V=Ae^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}dV_{r}dV_{z}d\alpha,} \] где $\alpha$ — азимутальный угол. Полный ток диода определяется выражением \[ I=eSA\int_{-\infty}^{\infty}dV_{z}\int_{0}^{2\pi}d\alpha\int_{V_{r0}}^{\infty}e^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}^{2}dV_{r}, \] где $A$ — нормировочная константа, а скорость $V_{r0}$ определяется из соотношения $\frac{mV_{r0}^{2}}{2}=-eU_{a}$.

После интегрирования по $V_{z}$ и углу $\alpha$ получим, что ток диода прямо пропорционален интегралу $I\propto\int_{V_{r0}}^{\infty}e^{\frac{m(V_{z}^{2}+V_{r}^{2})}{2kT}}V_{r}^{2}dV_{r}$.

Произведя замену переменных $y=\sqrt{\frac{mV_{r}^{2}}{2kT}}$ и проинтегрировав по частям, получим формулу для вольт–амперной характеристики диода в режиме задерживающего потенциала (область I на рис. 7, б) \begin{equation} I=I_{0}F(\frac{-eU_{a}}{kT})\equiv2C\int_{\eta}^{\infty}y^{2}e^{-y^{2}}dy=C\left[\eta e^{-\eta^{2}}+\int_{\eta}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right],\label{eq:8} \end{equation} где $\eta=\sqrt{\frac{-eU_{a}}{kT}}$. Константу $C$ можно найти из условия, что при отсутствии запирающего напряжения ($\eta=0$) должен получиться полный ток эмиссии $I_{0}$: \begin{equation} C=\frac{2I_{0}}{\sqrt{2\pi}}.\label{eq:9} \end{equation}

График зависимости $\frac{I}{I_{0}}=F(\frac{-eU_{a}}{kT})$ приведен в прил. 2.

Отметим сразу, что эта формула может применяться и в области I' рис. 7, б, где в качестве запирающего потенциала выступает минимальный потенциала пространства $\varphi_{m}$, который в этом случае надо подставить в формулу (\ref{eq:8}) вместо $U_{a}$.

\section{Лабораторные работы }

\subsection{Работа 2.1. Законы термоэмиссии }

\textbf{Цель работы}: 1 — определение работы выхода по прямым Ричардсона и 2 — определение заряда электрона по эффекту Шоттки.

\subsubsection{Описание метода }

\emph{Прямая Ричардсона.} Плотность тока эмиссии при заданной температуре катода (при заданном токе накала) описывается формулой \vref{eq:4}: \[ j_{em}=AT^{2}\exp(-\frac{\varphi}{kT}),\text{ где }A=\frac{3\pi mk^{2}e}{h^{3}}=120\cdot10^{4}\frac{\text{А}}{\text{м}^{2}\text{град}^{2}}. \]

В режиме токов насыщения (участок III семейства ВАХ рис. 7,~а) анодный ток равен току эмиссии $I_{an}\cong I_{em}$. Это справедливо в пренебрежении эффекта Шоттки, рассмотренного ниже. Следовательно, при постоянном напряжении анода $U_{a}\gtrsim U_{an}$ для различных токов накала по семейству характеристик можно построить зависимость $I_{em}=f(T)$, определив значения $T$ по току накала и графику прил. 3.

Если построить график этой зависимости в координатах $\left\{ \ln\left(\frac{j_{em}}{T^{2}}\right),\frac{1}{kT}\right\} $, то по углу наклона полученной прямой (прямая Ричардсона) можно определить работу выхода электрона из катода: \begin{equation} \varphi=-\frac{\Delta\left[\ln\left(\frac{j_{em}}{T^{2}}\right)\right]}{\Delta\left[\frac{1}{kT}\right]}\label{eq:10} \end{equation}

\emph{Определение заряда электрона}. В области токов насыщения (область III рис. 7,~а) величина анодного тока зависит от эффекта Шоттки (формула \vref{eq:7}): \[ j_{\text{дн}}=j_{\text{э}}\exp\frac{\sqrt{e^{3}E_{K}}}{kT},\text{ где }E_{K}=\frac{_{U_{a}}}{r_{K}}\ln\frac{r_{\text{а}}}{r_{K}}\text{,} \] и $r_{a}$, $r_{c}$ — радиусы анода и катода соответственно.

Используя эту зависимость для двух измеренных значений анод- ного напряжения, взятых в области токов насыщения, из формулы (\ref{eq:7}) можно определить заряд электрона по формуле \begin{equation} e=\left(\frac{kT\ln\left(\frac{I_{2}}{I_{1}}\right)}{\sqrt{E_{2}}-\sqrt{E_{1}}}\right)^{\frac{2}{3}}.\label{eq:11} \end{equation}

Изменение работы выхода при эффекте Шоттки. В режиме эффекта Шоттки плотность анодного тока насыщения увеличивается по сравнению с плотностью тока эмиссии, определенной по формуле Ричардсона — Дэшмана (формулы (\ref{eq:7}) и (\ref{eq:4}) соответственно): $j_{an}=j_{em}\exp\frac{\sqrt{e^{3}E_{K}}}{kT},$ из-за уменьшения работы выхода электронов на величину $\Delta\varphi$: \begin{equation} \Delta\varphi=\sqrt{e^{3}E}\text{ в СГС, в СИ: }\Delta\varphi=\frac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}}}\sqrt{e^{3}E}\approx3,8\cdot10^{-5}\cdot\sqrt{E}\ \left[\text{эВ}\right]\text{.}\label{eq:12} \end{equation}

\subsubsection{Описание установки }

Измерительная схема приведена на рис. 8. …..

\subsubsection{Задание 1: определение работы выхода по прямым Ричардсона }

Соберите схему рис. 8.

После проверки ее преподавателем проведите измерения вольт–амперной характеристики диода для нескольких (5\textendash 7) токов накала (не забывайте про тепловую инерционность катода!). Используя график для определения температуры катода (прил. 3), оформите результаты эксперимента в виде табл. 2. В 4-й колонке таблицы приводится величина, обратная температуре катода, выраженной в электрон–вольтах. В нее следует внести формулу для вычисления отношения 11 600 {[}град/эВ{]} / Т, где Т \textendash{} значение температуры в градусах из ячеек третьей колонки. Напомним, что температура 11 600 К соответствует энергии электрона в 1 эВ.

\includegraphics[scale=0.45]{pic08}

Постройте прямую Ричардсона, отложив по оси абсцисс X рас- четные величины из 4-й колонки, а по оси ординат Y значения логарифма из 6-й колонки. Наклон прямой $\frac{\Delta X}{\Delta Y}$ равен работе вы- хода в электрон-вольтах. Сравните полученный результат со справочными данными. Рассчитайте величину погрешности измерений при определении работы выхода, учитывая, в частности, влияние эффекта Шоттки — см. описание метода.

\subsubsection{Задание 2: измерение заряда электрона по эффекту Шоттки }

На участках насыщения вольт–амперных характеристик выберите 2–3 пары точек для определения заряда электрона $e$ по эффекту Шоттки (\ref{eq:11}). Рассчитайте напряженность поля на катоде и найдите величину $e$. Сравните с табличным значением. Определите погрешность измерения заряда $e$. Рассчитайте поправку к работе выхода по формуле (\ref{eq:12}) (см. пункт в конце предыдущего задания).

\subsubsection{Контрольные вопросы } \begin{enumerate} \item Из каких соображений следует выбирать значение величины U an (рис. 7,~а) для построения прямой Ричардсона? \item Объясните действие \emph{искусственной средней точки} катода (рис. 8). Для какого режима участка ВАХ (I, II или III) наиболее важно такое включение цепи анодного тока? \item Оцените ошибку в определении величины работы выхода $\varphi$ по формуле (\ref{eq:12}), обусловленную эффектом Шоттки. \item Из каких соображений следует выбирать пары точек $U_{1}$, $U_{2}$ на ВАХ при измерении заряда электрона по эффекту Шоттки? \item Зависит ли точность определения $e$ по эффекту Шоттки от того, при каком токе накала снят участок насыщения (какая кривая из семейства ВАХ выбрана)? \item Покажите, что температура катода определяется отношением $\frac{I_{H}}{\sqrt{d^{3}}}$ (пропорциональна отношению тока накала к диаметру катода в степени 3/2). \end{enumerate}

\subsection{Работа 2.2. Закон трех вторых. Измерение е/m по закону трех вторых участка ВАХ диода }

\textbf{Цель работы:} проверка выполнения закона трех вторых. Измерение отношения $\frac{e}{m}$ для электрона.

\textbf{Описание метода.} Измерение ВАХ диода в режиме закона трех вторых (область II на рис. 7) и ее построение в координатах $(U^{\frac{3}{2}},I)$ позволяет проверить факт выполнения такой зависимости (\ref{eq:6}) между потенциалом и током анода и область ее существования. По наклону ВАХ из формулы (\ref{eq:6}) можно найти отношение $\frac{e}{m}$ для электрона.

\textbf{Описание установки.} Для измерения ВАХ используется та же схема (рис. 8) и оборудование, что и в лабораторной работе 2.1.

\textbf{Порядок выполнения работы}: \begin{itemize} \item перевести генератор в режим пилообразного напряжения с амплитудой не более 30 В; \item измерить 2\textendash 3 вольт-амперные характеристики диода при максимальном и меньших значениях тока накала; \item используя кривую при максимальном токе накала, получить зависимость тока анода $I$ от $U^{\frac{3}{2}}$, заполнив табл. 3 и построив с ее помощью график $I(U^{\frac{3}{2}})$ для всех измеренных ВАХ; \item выделить на графиках области, максимально соответствующие прямым линиям и провести их на графиках. Объяснить причины расхождения на краях области; \item по графику определить отношение $\frac{e}{m}$, сравнить с табличным значением. Определить погрешность. \end{itemize} \includegraphics[scale=0.45]{pic08-2}

\subsection{Работа 2.3. Определение температуры электронного газа и контактной разности потенциалов }

\subsubsection{Описание установки }

Для определения температуры электронного газа в диоде применяется метод задерживающего потенциала. Для этого на анод подается отрицательное напряжение, создающее потенциальный барьер и пропускающее на анод только ту часть электронов, полная энергия которых больше высоты потенциального барьера (режим начальных токов на рис. 5 теоретического введения). Обработка вольт–амперной характеристики позволяет найти температуру электронного газа несколькими методами, величину контактной разности потенциалов и высоту потенциального барьера, ограничивающего анодный ток.

\emph{Экспериментальная схема для измерения ВАХ} (рис. 9) содержит: …..

\emph{Принцип работы схемы.} Если катод диода нагревать постоянным током, то вдоль него происходит падение напряжения и поверхность катода оказывается неэквипотенциальной по отношению к аноду. При малых анодных напряжениях, используемых для работы в области задерживающего потенциала, неэквипотенциальность катода вносит значительную ошибку в измерения. Для устранения этой ошибки в схеме рис. 9 применен следующий прием. Катод прямого накала нагревается импульсным напряжением, получаемым с помощью однополупериодного выпрямления синусоидального сигнала генератора (1). Частота генератора выбирается достаточно большой, чтобы в промежутках между им- пульсами тока катод не успевал охлаждаться. В моменты протекания тока в цепи катода на резисторе (6) происходит падение напряжения U R , которое суммируется с напряжением питания анода U БП, так что суммарный задерживающий потенциал анода становится достаточным для полного запирания анодного тока диода. Таким образом, анодный ток протекает только в промежутках между им- пульсами тока накала, когда катод можно считать эквипотенциальным.

Такой прием позволяет простыми средствами (добавлением резистора и диода в схему) проводить измерения анодного тока в условиях эквипотенциальности катода. В этой схеме можно без изменений ее заменять генератор синусоидального тока генератором прямоугольных импульсов. С генератором прямоугольных импульсов она также позволяет с некоторыми ограничениями измерять ВАХ как при отрицательных, так и при положительных напряжениях на аноде, когда напряжение U БП вычитается из напряжения на резисторе, уменьшая суммарный задерживающий потенциал. …..

\subsubsection{Порядок выполнения работы }

Предварительные замечания

К сожалению, основные параметры, входящие в теоретические расчеты (величины $\varphi_{m}$, $x_{m}$, $U_{\lyxmathsym{кн}}$), непосредственному измерению не поддаются. Кроме того, характеристики реального диода изменяются в зависимости от времени работы и хранения, что не отображается расчетными теориями. Поэтому достижимая точность определения соответствующих величин в условиях лабораторных работ не превышает 10\textendash 20\%. К тому же контактная разность потенциалов $U_{\lyxmathsym{кн}}$ между электродами диода есть величина неопределенная, поскольку она зависит от состояния электродов лампы. В заводских условиях в вольфрамовый катод добавляются примеси, уменьшающие работу выхода электронов с 4,54 эВ до \textasciitilde{} 2,6 эВ. По мере эксплуатации лампы примеси деградируют за счет испарения и миграции по электродам, из-за чего работа выхода возрастает. Как результат, контактная разность потенциалов между катодом и анодом U кн может изменяться в пределах $U_{\lyxmathsym{кн}}=0-2$ В. Это приводит к необходимости сдвигать начало отсчета потенциала анода, принимая за его ноль значение $U_{\lyxmathsym{изм}}^{0}=U_{\lyxmathsym{кн}}$ , чтобы из задаваемого источником потенциала анода $U_{\lyxmathsym{изм}}$ (на рис. 9 он обозначен как $U_{\lyxmathsym{БП}}$) получать \emph{чистый} потенциал анода $U_{a}$ относительно катода, а именно \begin{equation} U_{a}=U_{\lyxmathsym{изм}}\lyxmathsym{\textendash}U_{\lyxmathsym{изм}}^{0}.\label{14} \end{equation} Этот сдвиг оказывается существенным для всех измерений в области малых потенциалов анода. Поэтому мы начнем выполнение заданий с определения контактной разности потенциалов следующим образом.

Заметим, что в соответствии с формулой (\ref{eq:8}) ток диода $I$ зависит только от температуры катода $T$, т.~е. от температуры электронного газа, ричардсоновского тока насыщения диода $I_{0}$ и потенциала анода относительно катода $U_{a}$, в котором содержится величина контактной разности потенциалов катод–анод $U_{\lyxmathsym{кн}}$: $I=I_{0}F(\frac{eU_{a}}{kT}).$

В процессе измерения ВАХ при фиксированном токе накала температура катода практически постоянна, ток насыщения постоянен и, если величина КРП определена правильно, экспериментально измеренный ток диода должен соответствовать формуле (\ref{eq:8}). Если, например, мы будем вычислять из ВАХ по этой формуле темпера- туру катода, она должна получиться одной и той же для всех точек ВАХ в области запирания тока диода потенциалом анода! Если же КРП определена неверно, вычисленная температура будет разной для разных точек ВАХ в этой области, что и укажет нам на ошибку в величине КРП. Именно это обстоятельство мы и используем для нахождения КРП последовательными приближениями и одновременного определения температуры электронного газа!\footnote{Этот метод разработан в 2001 г. студентом И. О. Орловым в курсовой работе ``Изучение распределения термоэлектронов по скоростям''.} Но для этого, кроме подробного измерения ВАХ в области запирания тока диода (области I и II на рис. 7, б), нам нужно будет экспериментально определить ток насыщения ВАХ (ток $I_{0}$ на рис. 7,~б). Поскольку этот ток не измеряется впрямую, а определяется приближенно из графика ВАХ, необходимо будет еще проверить влияние погрешности его измерения на точность определения КРП и температуры электронного газа.

\emph{Измерения ВАХ}

Соберите схему (рис. 9) и убедитесь в правильной полярности подключения п/п диода (7) в цепи накала. После проверки схемы преподавателем установите на генераторе (1) частоту 400\textendash 500 Гц и, увеличивая амплитуду выходного сигнала генератора, установите ток накала I н = 80 mA. Будем измерять вольт-амперную характеристику диода I(U изм ) по точкам, начиная с положительных потенциалов анода: в интервале 2 В \textless{} U изм \textless{} 30 В через 3 В \textendash{} для нахождения I 0 и в области U мин \textless{} U изм \textless{} 2 В через 0,1 В до предельно возможного запирающего (задерживающего) потенциала анода U мин \textasciitilde{} -(2\textendash 6) В, соответствующего минимально измеряемому значению анодного тока (\textasciitilde{} 1\textendash 10 нА), ограниченному чувствительностью приборов или шумами. При выполнении этой части задания необходимо поменять полярность включения источника напряжения U (2), чтобы провести измерения при отрицатель- ном потенциале анода. Эти измерения следует повторить для токов накала 90 и 100 mA. Во время измерений контролируйте выполнение условия (13), учитывая, что R = 240 Ом. Это условие может ограничить возможность измерения положительной ветки ВАХ при больших токах накала и больших потенциалах насыщения тока анода. Отметим здесь, что КРП можно определять и при малых токах накала.

Результаты измерений зависимости тока диода I от измеряемого потенциала анода U изм внесите в EXCEL в виде таблицы, аналогичной приведенной ниже. Далее в линейном масштабе строится график ВАХ, т. е. график I(U изм ), и из него в ячейку, расположенную правее левой нижней ячейки (где занесен текст \char`\«{}\_\_\char`\»{}), вносится значение тока насыщения диода I 0 , определенное из этого графика. В верхнюю правую ячейку таблицы заносится подбираемое Вами значение контактной разности потенциалов U 0изм , в диапазоне 0\textendash 2 В, начиная, например, с 2 вольт. Эти значения I 0 и U 0изм используются далее при выполнении заданий (см. ниже).

\subsubsection{Задания }

Нахождение КРП и температуры электронов:

1) как указывалось выше, для каждой ВАХ постройте в EXCELL график ВАХ и определите из него ток насыщения I 0 . Внесите его в табл. 4 EXCEL;

2) рассчитайте в таблице отношение I/I\_0 ;

3) из графика прил. 2 по вычисленным значениям $I/I_{0}$ , находящимся в интервале {[}0, 1{]}, определите и внесите в таблицу значения аргумента x (т. е. значения $x=F^{-1}(I/I_{0})$, где $F^{-1}$ — функция, обратная к функции $F$);

4) задав в таблице какое-нибудь значение $U_{\lyxmathsym{изм}}^{0}$, например, $U_{\text{изм}}^{0}=2\lyxmathsym{В}$, рассчитайте в таблице потенциал анода $U_{a}=U_{\lyxmathsym{изм}}\lyxmathsym{\textendash}U_{\text{изм}}^{0}.$ Затем найдите для каждого потенциала $U_{\lyxmathsym{изм}}<U_{\text{изм}}^{0}$ температуру катода в электрон-вольтах по формуле $T=-U_{\lyxmathsym{а}}/x$ и постройте график $\lyxmathsym{Т}(-U_{\lyxmathsym{а}})$;

5) подберите такое значение $U_{\text{изм}}^{0}$ из интервала 0\textendash 2 В, при котором на участке запирания тока анода расчетная температура не зависит от потенциала $U_{\lyxmathsym{а}}=U_{\lyxmathsym{изм}}-U_{\text{изм}}^{0}.$ Это значение и будет контактной разностью потенциалов, а расчетная температура — температурой электронного газа. Оцените погрешность ее определения;

6) для найденного $U_{\lyxmathsym{изм}}^{0}$ рассчитайте в таблице значения функции $B=\ln(I/\sqrt{-U_{\lyxmathsym{а}}})$ для $U_{\lyxmathsym{изм}}<U_{\text{изм}}^{0}$, постройте график $B(U_{\lyxmathsym{а}})$. По наклону графика также можно определить температуру электронного газа. Действительно, как следует из формулы (\ref{eq:8}), при $\eta\gg1$ интеграл в (\ref{eq:8}) мал по сравнению с первым слагаемым (он в 9 раз меньше уже при $\eta=2$) и, если им пренебречь, то выполняется соотношение: \begin{equation} \ln\left(\frac{\frac{I}{I_{0}}}{\sqrt{-eU_{a}}}\right)kT=eU_{a}\text{, откуда }kT=\frac{\Delta eU_{a}}{\Delta\ln\left(\frac{\frac{I}{I_{0}}}{\sqrt{-eU_{a}}}\right)}\label{eq:14} \end{equation} Это значение температуры электронов следует сравнить с найденным в пункте 5) с учетом погрешности ее определения. Сравните полученную температуру электронного газа с температурой катода, получаемой из графика прил. 3. Температуру катода прямого накала (прямой нити) можно рассчитать по величине тока накала $I_{H}$ и диаметру катода d: она является однозначной функцией параметра $\frac{I_{\lyxmathsym{Н}}}{\sqrt{d^{3}}}$ (докажите правильность этого утверждения).

\emph{Определение величины} $\varphi_{m}$

Общий вид вольт-амперной \emph{теоретической} характеристики диода, построенной в полулогарифмических координатах, приведен на рис. 10.

\begin{center} \includegraphics[scale=0.33]{pic10} \par\end{center}

На участке (2), где запирание тока диода определяется потенциалом анода $U_{\lyxmathsym{а}}$, ВАХ диода в полулогарифмическом масштабе является линейной функцией \begin{equation} B(U_{a})=\ln\left(\frac{I(U_{a})}{\sqrt{-U_{a}}}\right)=\frac{eU_{a}}{kT}+B_{0}.\label{eq:15} \end{equation} Точка начала отклонения графика от нее отмечена цифрой (1). Она соответствует началу запирания тока потенциалом пространст венного заряда электронов, когда $U_{a}=\varphi_{m}=\varphi*$ (см. рис. 6,~б). При увеличении потенциала анода $U_{a}>\varphi*$ запирание тока происходит не потенциалом анода, а более отрицательным потенциалом пространственного заряда $\varphi_{m}<U_{a}$, который можно найти через продолжение функции (\ref{eq:15}), показанное на рис.~10 пунктиром. Участок нарастания тока в области $U_{\lyxmathsym{а}}>0,$ соответствующий \emph{закону 3/2} и дальнейшему выходу тока анода на насыщение, формулой (\ref{eq:8}) не описывается.

Отклонения от прямой при больших отрицательных потенциалах, если они имеют место, связаны с погрешностями измерительной аппаратуры при измерении малых токов, наводками либо токами утечки по изоляции.

\subsubsection{Контрольные вопросы } \begin{enumerate} \item Оцените изменение температуры нити катода за счет излучения за время, когда ток накала заперт диодом (7). \item Как при $U>\varphi*$ из экспериментального графика (в координатах рис. 10) найти максимум потенциальной энергии барьера $\varphi_{m}$ для каждого потенциала анода? \end{enumerate}

\subsection{Работа 2.4. Определение заряда электрона по дробовому шуму }

Цель работы: наблюдение дробового шума в вакуумном диоде и определение по его величине заряда электрона.

\subsubsection{Теория явления и описание метода }

Дробовой шум является частным случаем электрических флуктуаций — хаотических изменений потенциалов и токов в электрических цепях, обусловленных дискретностью электрических зарядов. Электрический ток в вакуумном диоде создается движением электронов от катода к аноду. При этом каждый электрон создает микроимпульс тока, а полный ток является суммой этих импульсов. Число электронов, покидающих катод за одинаковые промежутки времени, флуктуирует. Поэтому возникают флуктуации тока диода — хаотические отклонения $\Delta I$ от среднего значения I; очевидно, что их величина должна зависеть от заряда электрона. Эти флуктуации называются дробовым шумом \textendash{} по аналогии с акустическим шумом при падении дробинок на какую-нибудь поверхность и характерному проявлению этого шума в электронных акустических системах.

Число электронов, движущихся от катода к аноду, очень велико. Например, току 1 мА соответствует поток примерно $6\cdot10^{15}$ электронов в секунду. Поэтому флуктуации тока много меньше его средне- го значения, и обнаружить их можно лишь с помощью чувствительных усилителей. С другой стороны, именно флуктуационные явления (дробовой шум, тепловой шум, генерационно–рекомбинационный шум в полупроводниках и др.) ограничивают предел чувствительности усилителей.

Большое число эмитируемых электронов в типичном измеряемом интервале времени приводит к необходимости статистического рассмотрения данной задачи. В общем виде величина флуктуаций в числе частиц $\Delta N\approx\sqrt{N}$, где $N$ — само число частиц. Строгое равенство в этом выражении справедливо для случая, когда каждый акт испускания электрона полностью не зависит от других аналогичных актов. В этом случае электроны подчиняются статистике Пуассона, а распределение числа эмитируемых электронов при большом $N$ имеет вид нормального гауссова распределения. Для этого в нашем случае необходимо выполнить ряд технических условий. Во- первых, диод должен работать в режиме насыщения (в случае, когда ток ограничен пространственным зарядом, электроны очевидно \emph{связаны} друг с другом). Во-вторых, необходимо ограничиться областью не слишком высоких частот, меньших обратного времени пролета электрона между электродами, когда спектральная плотность шума не зависит от частоты, \textendash{} так называемой областью \emph{белого шума}. При выполнении этих условий шум вакуумного диода становится настолько хорошо предсказуемым и рассчитываемым, что используется в технике в качестве эталонного шумового источника.

Теория дробового шума, разработанная Шоттки (W. Schottky, 1918), дает следующее выражение для среднего квадрата флуктуаций тока $I$ диода: \begin{equation} \left\langle \Delta I_{\text{др}}^{2}\right\rangle =2eI\Delta f,\label{eq:16} \end{equation} где $e$ — заряд электрона; $\Delta f$ — полоса частот, в которой измеряются флуктуации тока (угловые скобки, как обычно, обозначают усреднение по времени). Если нагрузкой диода служит сопротивление $Z$ (в общем случае — комплексное), то средний квадрат флуктуаций напряжения на нем равен: \begin{equation} \left\langle \Delta U_{\text{др}}^{2}\right\rangle =2eI\left|Z\right|^{2}\Delta f,\label{eq:17} \end{equation} где $\left|Z\right|$ — модуль комплексного сопротивления.

Спектр шума на сопротивлении нагрузки определяется зависимостью величины $\left|Z\right|^{2}$ от частоты. Очевидно, что для увеличения точности измерений надо выбрать $\left|Z\right|^{2}$ таким, чтобы он, во-первых, был как можно больше, во-вторых, был хорошо известной и желательно аналитически интегрируемой функцией частоты. Для этого выбираем в качестве нагрузки параллельный колебательный контур. На нем, как известно, за счет эффекта резонанса напряжение увеличивается в $Q$ раз, где $Q$ — добротность контура. Однако этот момент не является определяющим, так как диод в режиме насыщения фактически работает в режиме генератора тока (отражением этого обстоятельства является формула (\ref{eq:17})) и напряжение можно увеличить, используя любое большое сопротивление. Более существенным является резонансный вид зависимости $\left|Z\right|^{2}$ для колебательного контура и возможность ее аналитического интегрирования. Так, для LCR — контура, изображенного на рис. 11, зависимость комплексного сопротивления от частоты имеет вид \begin{equation} Z(\omega)=\frac{R+i\omega L}{1-\omega^{2}LC+i\omega RC}.\label{eq:18} \end{equation} Если такой контур служит нагрузкой вакуумного диода, напряжение шумов на нем равно: \begin{equation} \left\langle \Delta U_{\text{др}}^{2}\right\rangle =2eI\int_{0}^{\infty}\left|Z(f)\right|^{2}df=\frac{2eI}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\left|Z(\omega)\right|^{2}d\omega.\label{eq:19} \end{equation}

\begin{center} \includegraphics[scale=0.33]{pic11} \par\end{center}

Когда добротность контура $Q$ велика $Q=\frac{\omega_{0}L}{R}=\frac{1}{\omega_{0}CR}\gg1,$ где $\omega_{0}\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}$ — резонансная частота, из выражения (\ref{eq:19}) можно получить \begin{equation} e=\frac{2\omega_{0}C^{2}\left\langle U_{\text{др}}^{2}\right\rangle }{IQ}.\label{eq:20} \end{equation}

Это выражение используется для определения заряда электрона.

\subsubsection{Описание установки }

Ток вакуумного диода, работающего в режиме насыщения, проходит через параллельный колебательный контур (рис. 12). Напряжение на конденсаторе контура поступает на вход усилителя, который имеет высокое входное сопротивление, чтобы не уменьшать добротность контура.

Усиленное напряжение поступает на милливольтметр эффективных значений и осциллограф (либо цифровой осциллоскоп). Показания милливольтметра соответствуют эффективным (среднеквадратичным) значениям напряжения $\left\langle U^{2}\right\rangle $. Они не зависят от формы напряжения, что важно для возможности измерения напряжения дробового шума.

Вакуумный диод работает в режиме насыщения, а величина тока диода регулируется изменением тока накала. Ток диода измеряется прибором магнитоэлектрической системы.

Для определения резонансной частоты, добротности контура и коэффициента усиления усилителя используется генератор высокой частоты. Ток от генератора проходит через небольшое сопротивление $r$, включенное в колебательный контур. Конденсатор контура $C$ можно замыкать накоротко тумблером T.

Вакуумный диод в режиме насыщения имеет хотя и большое, но конечное внутреннее сопротивление. Поэтому его ток насыщения немного зависит от напряжения (эффект Шоттки — прикладываемое внешнее электрическое поле уменьшает работу выхода электрона из металла и соответственно увеличивает эмиссию электронов).

\includegraphics[scale=0.33]{pic12}

Внутреннее сопротивление диода шунтирует контур (включено параллельно контуру), уменьшая его добротность, а величина этого сопротивления зависит от тока. Поэтому добротность надо измерять при прохождении тока диода через контур. Легко показать, что для последовательного контура (источник э.д.с. включен последовательно с индуктивностью и емкостью) напряжение на емкости или индуктивности при резонансе становится в $Q$ раз больше внешней э.д.с. (этот принцип используется, например, в приборах, называемых куметрами). В эксперименте по измерению добротности внешней э.д.с. является падение напряжения на сопротивлении $r$, создаваемое протекающим по нему током от генератора. Если частота генератора равна резонансной частоте контура, то отношение выходных напряжений усилителя при разомкнутом и при замкнутом конденсаторе контура равно добротности. Такие измерения можно проводить и при прохождении тока диода через конденсатор, если создаваемое в контуре напряжение от генератора значительно больше шумового.

Чтобы найти коэффициент усиления усилителя, подают на вход (при замкнутом конденсаторе контура) напряжение от генератора и с помощью переключателя К поочередно подключают вход и выход усилителя к милливольтметру.

После определения коэффициента усиления измеряют среднеквадратичное значение дробового шума при различных токах диода. По полученным данным строят расчетно-экспериментальные точки: зависимость величины $\left\langle U_{\text{др}}^{2}\right\rangle $ от произведения $IQ.$ Далее эти точки необходимо аппроксимировать методом наименьших квадратов прямой линией (Excel) и по ее наклону определить заряд электрона.

Емкость колебательного контура указана на каждой рабочей установке. Во избежание нелинейных искажений в усилителе его выходное напряжение не должно превышать 0,3 В.

При работе с цифровым осциллоскопом \guillemotleft Handscope HS3\guillemotright{} выполните следующее:

1) подайте сигнал с усилителя на канал номер 1 (СН 1), а сигнал с генератора на канал номер 2 (СН 2) устройства с надписью \guillemotleft SCOPE\guillemotright ;

2) включите компьютер и запустите программу \guillemotleft I landscope HS3\guillemotright , находящуюся на его рабочем столе;

3) прочитайте инструкцию работы с прибором в \guillemotleft Help\guillemotright ;

4) загрузите оптимальный режим работы осциллографа, который находится в разделе Рабочий стол \textbackslash{} Labwork\_2-8 \textbackslash{} Labwork\_2-82\_start.SET;

5) заведите свою папку в Рабочий стол \textbackslash{} Labwork\_2-8 \textbackslash{} Students \textbackslash{} YourName и записывайте туда свои осциллограммы и свои режимы работы осциллографа (если требуется).

\subsubsection{Задания }

1. Соберите схему для измерений (рис. 14) и по ней определите \guillemotleft замкнутую\guillemotright{} электрическую цепь, по которой протекает ток диода I. Определите резонансную частоту LCR–контура. Измерьте зависимость добротности этого контура от тока диода и постройте соответствующий график.

2. Определите коэффициент усиления усилителя.

3. Измерьте напряжение дробового шума при различных токах 2 диода и постройте график зависимости $\left\langle U_{\text{др}}^{2}\right\rangle $ от $IQ.$ По этому графику определите заряд электрона. Оцените погрешность измерений заряда электрона, используя формулу для погрешности косвенных измерений.

\section{Приложения}

Литература

Основная

Методы физических измерений: Лабораторный практикум по физике под ред. Р. И. Солоухина. Новосибирск: НГУ, 1975.

Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000.

Физические величины. Справочник / Под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Таблицы физических величин: Справочник / Под ред. акад. И. К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976.

Кошкин Н. И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике. М.: Наука, 1980.

Описание лабораторных работ. Ч. 3. Электричество и магнетизм. Новосибирск: НГУ, 1988.

А. ван дер Зил. Шумы при измерениях. М.: Мир, 1979.

Бонч-Бруевич А. М. Радиоэлектроника в экспериментальной физике. М.: Наука, 1966.

Мирдель Г. Электрофизика. М.: Мир, 1972.

Зайдель А. Н. Погрешности измерения физических величин. Л.: Наука, 1985.

Князев Б. А., Черкасский В. С. Начала обработки экспериментальных данных. Новосибирск: НГУ, 1996.

Тревис Дж. LabVIEW для всех. М: ПриборКомплект, 2004.

Дополнительная

Гапонов В. И. Электроника. М.: ГИ ФМИ, 1960. Т. 1, Физические основы; Т. 2. Электровакуумные и полупроводниковые приборы.

Капцов Н. А. Электроника. М.: ГТТИ, 1953.

Царев Б. М. Контактная разность потенциалов и ее влияние на работу электровакуумных приборов. М.; Л.: ГТТИ, 1949.

Мирдель Г. Электрофизика. М.: Мир, 1972.

Физическая энциклопедия. Т.1 \textendash{} 5. М.: 1988 \textendash{} 1998.