На заряженную частицу (электрон, дырку), движущуюся в электрическом $\vec E$ и магнитном $\vec B$ полях, действует сила Лоренца $$ \vec F = m^* \ddot{\vec r} = q\vec E + \frac{q}{c} [\vec v \times \vec B] $$ в СГС, а в СИ: $$ \vec F = m^* \ddot{\vec r} = q\vec E + q[\vec v \times \vec B] $$ где $m^{*}$ — эффективная масса заряженной частицы, учитывающая влияние периодического поля на движение частицы в веществе, $c$ — скорость света; $q$ — заряд частицы; $\vec v$ — скорость частицы; $\ddot{{\vec r}}$ — ускорение частицы.

Если пренебречь столкновениями движущейся частицы, то траекторию движения ее в электрическом и магнитном полях под действием силы Лоренца можно найти по этому уравнению.

Рассмотрим кратко характер движения свободного носителя заряда при наличии электрического и магнитного полей.

Под действием электрической составляющей поля частица получает дополнительную скорость, совпадающую с направлением вектора ${\vec E}$. В общем случае при любой ориентации скорости ${\vec v}$ и магнитного поля ${\vec B}$ скорость электрона можно разложить на две составляющие: параллельную $v_{\parallel } $ и перпендикулярную $v_{\bot } $ полю ${\vec B}$: $$ \vec v = (v_{\parallel },v_{\bot }); $$ тогда сила, действующая на частицу в магнитном поле, $$ F_{B} =\frac{qv_{\bot } B}{c} . $$ Сила ${\vec F}_{B} $ все время изменяет направление скорости $v_{\bot },$ тогда как $v_{\parallel } $ остается постоянной и заставляет двигаться заряженную частицу по винтовой линии вдоль магнитного поля. При $v_{\parallel } =0$ заряженная частица будет вращаться по окружности радиуса $$ r=c\frac{m^{*} \cdot v_{\bot } }{q\cdot B} $$ с угловой скоростью $$ \omega =\frac{q\cdot B}{m^{*} c} . $$

Если электрическое и магнитное поля параллельны, то заряженная частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом, поскольку электрическое поле меняет скорость ${\bf v}_{\parallel } $ и не влияет на ${\bf v}_{\bot }.$

Если электрическое и магнитное поля перпендикулярны (скрещенные поля), то при начальной скорости движения заряженной частицы, равной нулю, решение уравнения движения частицы под действием силы Лоренца дает уравнение циклоиды: частица вращается по окружности радиуса $r$, а центр окружности движется равномерно в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полю со скоростью дрейфа $$ {\vec v}_{д}= \frac{c}{B^2}\cdot [\vec E\times \vec B]. $$ Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом $\rho _{L} =\frac{v_{\bot }}{\omega _{c} }$. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами.

Рассмотрим поведение частицы с учётом столкновений частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта — $\langle l\rangle $. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau =\frac{\langle l\rangle}{\langle | v | \rangle }$. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если добавка к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau $ много меньше её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется слабым. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_{d}.$

В приближении слабого поля дрейфовая скорость $v_{d} $ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau $ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_{E} $, так и времени действия этой силы $\tau $. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля ${\vec v}_{d}=u\cdot \vec E$, где коэффициент пропорциональности $u$ называется подвижностью носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность $\frac{м^2}{В\cdot с}$, но часто измеряется в несистемных единицах $\frac{см^2}{В\cdot с}$.

Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда Контакты 1 и 2 будем называть токовыми контактами, контакты 3 и 4 — потенциальными контактами. В отсутствие магнитного поля, если образец однороден и изотропен, контакты 3 и 4 находятся на эквипотенциальной поверхности и при пропускании тока через образец, падение напряжения между контактами 3 и 4 равно нулю. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитного поля $\vec В$ перпендикулярен вектору $\vec j$. Скорость движения заряженных частиц состоит из хаотической (тепловой) и дрейфовой составляющих. Дрейфовая скорость возникает вследствие действия на заряженную частицу внешних сил (в нашем случае из-за приложенных внешних электрического и магнитного полей $\vec E$ и $\vec B$). В силу линейности зависимости силы Лоренца от скорости имеем: $$ \vec F = q\vec E + \frac{q}{c} [{\vec v}_T \times \vec B]+\frac{q}{c} [{\vec v}_d \times \vec B], $$ Так как средняя проекция тепловой скорости на любую ось равна нулю, то при усреднении второе слагаемое в последней формуле становится равным нулю, и средняя сила зависит только от дрейфовой скорости. Видно, что магнитная составляющая силы Лоренца отклоняет как положительно, так и отрицательно заряженные частицы в одну и ту же сторону, поскольку изменение знака заряда компенсируется изменением направления дрейфовой скорости на противоположную.

Предположим, что ток в образце определяется движением заряженных частиц одного типа, например, электронов (иначе придётся учитывать вклад в ток движение заряженных частиц всех типов). В отсутствие магнитного поля ток течёт слева направо. После включения магнитного поля, на электроны начинает действовать магнитная составляющая силы Лоренца, которая отклоняет их в направлении к грани 3. Таким образом, некоторое время после включения магнитного поля происходит движение электронов от грани 4 к грани 3. Электроны, создают на грани 3 отрицательный, а на грани 4 положительный заряды, то есть между этими гранями возникнет дополнительное электрическое поле ${\vec E}_H$. Заряд на гранях 3 и 4 будет расти до тех пор, пока магнитная составляющая силы Лоренца не уравновесится этим дополнительным электрическим полем: $$ e\cdot {\vec E}_y +\frac ec [{\vec v}_d \times \vec B] = 0. $$ В этой ситуации имеем: $ E_{y} =\frac{v_{d}}{c} B. $ Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что в формуле стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега $\langle \tau \rangle$ (средним временем релаксации). Поскольку $$ j_{x} =-env_{d}, $$ то $$ E_{y} =E_{H} =-\frac{j_{x} B}{en}. $$

Величина $E_H$ называется полем Холла. Таким образом, электрическое поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты $E_x$ и $E_y$, следовательно, полный вектор электрического поля $\vec E = \vec i E_{x} + \vec k E_{y}$ не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда $\vec{В}= 0$) между ними будет угол $\varphi _H$, получивший название угол Холла. Для тангенса этого угла можно записать: $$ tg (\varphi _{H}) =\frac{E_y}{E_x} $$ или $$ tg (\varphi _{H}) =-\frac{\sigma B}{en}=-u_{n} B. $$

На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между гранями 3 и 4 на рисунке), которая называется ЭДС Холла: $$ U_{H} =E_{H} \cdot d=-\frac{j_{x} Bd}{en}. $$ Если выразить полный ток через плотность тока, $I=j_{x} d\cdot h$, то $$ U_{H} =-\frac{IB}{enh}=\frac{R_{H} IB}{h}, $$ где $R_{H} =-(en)^{-1}$ — постоянная Холла.

В случае полупроводника р–типа проводимости в уравнении ($E_{y} =E_{H} =-\frac{j_{x} B}{en}$) следует изменить знак носителей заряда с $-е$ на $+е$. Тогда будем иметь: $$ E_{H}=\frac{j_{x} B}{ep}=j_{x} R_{H} B, $$ $$ tg (\varphi _{H})=-\frac{\sigma B}{ep}=-u_{p} B, $$ $$U_{H} =-\frac{IB}{eph}=\frac{R_{H} IB}{h}, $$ где р — концентрация дырок, $u_p$ — их подвижность, $R_H = (e p)^{-1}$ — постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя последние формулы, можно видеть, что по знаку эдс Холла можно определить в эксперименте тип носителей заряда, а по величине $R_H$ — их концентрацию. Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла, то по ним определяют подвижность носителей: $$ u_{n(p)} =\sigma R_{H} . $$

Исследование эффекта Холла в полупроводниках осложняется тем, что в них существует несколько типов носителей зарядов. Проводимость, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, называется собственной. Обычно полупроводники обладают примесной проводимостью. В полупроводниках такого типа некоторые атомы основного кристалла заменены атомами другой валентности. Если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, то у атома примеси есть «лишний» электрон, слабо связанный с атомным остовом, который он может легко отдать в зону проводимости. В таком полупроводнике больше электронов, чем дырок, он называется полупроводником n–типа, и обладает электронной проводимостью. При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется проводимость p–типа (дырочная). В полупроводниках могут также присутствовать оба типа носителей заряда.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях: $$ m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B] \mbox{ - для электронов, } \ \ m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B] \mbox{ - для дырок.} $$ Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac{e \langle \tau \rangle}{m_n}$, получим: $$ \vec v_{n(p)} =-u_{n(p)} \vec E-\frac{u_{n(p)}^2}{c} [\vec E \times \vec B], $$ Помножив первое уравнение на $en$, а второе на $ep$, получим уравнения для электронного и дырочного токов: $$ \vec j_{n(p)} =-en(p)u_{n(p)} \vec E-en(p)\frac{u_{n(p)}^2}{c} [\vec E \times \vec B]. $$ Таким образом, полный ток: $$ \vec j =e(nu_n + pu_p) \vec E+e\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} [\vec E \times \vec B] $$ или в скалярной форме: $$ j_x =e(nu_n + pu_p) E_x+e\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} E_y B_z=j, $$ $$ j_y =e(nu_n + pu_p) E_y+e\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} E_x B_z=0. $$ Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом уравнении системы много меньше первого. С учетом этого, решив систему относительно $E_y$ , получим $$ E_{H}=R_{H} jB, $$ $$ R_{H} =\frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2}}{e(nu_{n} +pu_{p})^2}. $$ Из этого выражения видно, что при $n \gg p$: $R_H = (en)^{-1}$, а при $p\gg n$: $R_H = (ep)^{-1}$. В случае собственного полупроводника, где $n = p = n_i$, $$ R_{H}=\frac{u_{p} -u_{n}}{en_{i}(u_{n} +u_{p} )}=\frac{1-b}{en_{i}(1+b)}, $$ где $b = \frac{u_n}{u_p}$. Согласно последней формуле $R_H<0$ при $b>1$ (т.е. $u_n>u_p$) и $R_H>0$ при $b<1$ (т.е. $u_n<u_p$).

Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами — мы считали вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического уравнения Больцмана. Следствием рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление множителя $r$ $$ r=\frac{\langle \tau ^{2} \rangle}{{\langle \tau \rangle}^{2}} $$ в выражении для постоянной Холла:

$$ R_{H} =-r(en)^{-1} \mbox{ - для электронов, } R_{H} =-r(ep)^{-1} \mbox{ - для дырок,} $$ $$ R_{H}=\frac re \frac{pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} }{(nu_{n} +pu_{p})^{2}} \mbox{ - для биполярной проводимости.} $$

Здесь $\langle \tau \rangle$ — среднее время релаксации, $\langle \tau ^{2} \rangle$ — средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители $(en)^{-1}$ или $(ep)^{-1}$, верны с точностью до множителя $r$; в частности, для подвижности: $$ u_{n}^{H} =\frac{r\sigma}{en}=ru_{n}; \ \ \ \ u_{p}^{H} = \frac{r\sigma}{ep}=ru_{p} . $$ Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла.

Поскольку $r$ определяется временем релаксации $\tau$, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки $r= \frac 38 \pi \approx 1,18,$ а при рассеянии на примесных ионах $r = 1,93.$ При низких температурах (для Ge $T < 250$ K, для Si $T < 100$ K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si — в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.

Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку $\tau = \frac{\langle \lambda \rangle}{\langle v\rangle}$, то соотношение между длиной свободного пробега $\langle \lambda \rangle$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:

$$ \tau \ll T=\frac{2\pi}{\omega _{c}} \mbox{ - для слабого поля,} $$ $$ \tau \gg T=\frac{2\pi}{\omega _{c}}$ \mbox{ - для сильного поля,} $$ где $T$ --- период вращения частицы, $\omega _{c}$ --- циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией $\vec В$). Поскольку $\omega = \frac{q\cdot B}{m^{*}}$, то подставив $\omega _{c}$ в выражение выше, получим: $$ \frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} = \frac{uB}{2\pi} \ll 1 \mbox{ - для слабого поля, }$$ $$ \frac{\tau \omega _{c}}{2\pi} =\frac{uB}{2\pi} \gg 1 \mbox{ - для сильного поля. }$$

Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле.

Назад к Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда в полупроводниках, далее Приложение 1. Эффект Холла в сильном магнитном поле (для дополнительного чтения)