На заряженную частицу (электрон, дырку), движущуюся в электрическом $\vec E$ и магнитном $\vec B$ полях, действует сила Лоренца $$\vec F = m^* \ddot{\vec r} = q\vec E + \frac{q}{c} [\vec v \times \vec B]$$ в СГС, а в СИ: $$\vec F = m^* \ddot{\vec r} = q\vec E + q[\vec v \times \vec B]$$ где $m^{*}$ — эффективная масса заряженной частицы, учитывающая влияние периодического поля на движение частицы в веществе, $c$ — скорость света; $q$ — заряд частицы; $\vec v$ — скорость частицы; $\ddot{{\vec r}}$ — ускорение частицы.

Если пренебречь столкновениями движущейся частицы, то траекторию движения ее в электрическом и магнитном полях под действием силы Лоренца можно найти по этому уравнению.

Рассмотрим кратко характер движения свободного носителя заряда при наличии электрического и магнитного полей.

Под действием электрической составляющей поля частица получает дополнительную скорость, совпадающую с направлением вектора ${\vec E}$. В общем случае при любой ориентации скорости ${\vec v}$ и магнитного поля ${\vec B}$ скорость электрона можно разложить на две составляющие: параллельную $v_{\parallel }$ и перпендикулярную $v_{\bot }$ полю ${\vec B}$: $$\vec v = (v_{\parallel },v_{\bot });$$ тогда сила, действующая на частицу в магнитном поле, $$F_{B} =\frac{qv_{\bot } B}{c} .$$ Сила ${\vec F}_{B}$ все время изменяет направление скорости $v_{\bot },$ тогда как $v_{\parallel }$ остается постоянной и заставляет двигаться заряженную частицу по винтовой линии вдоль магнитного поля. При $v_{\parallel } =0$ заряженная частица будет вращаться по окружности радиуса $$r=c\frac{m^{*} \cdot v_{\bot } }{q\cdot B}$$ с угловой скоростью $$\omega =\frac{q\cdot B}{m^{*} c} .$$

Если электрическое и магнитное поля параллельны, то заряженная частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом, поскольку электрическое поле меняет скорость ${\bf v}_{\parallel }$ и не влияет на ${\bf v}_{\bot }.$

Если электрическое и магнитное поля перпендикулярны (скрещенные поля), то при начальной скорости движения заряженной частицы, равной нулю, решение уравнения движения частицы под действием силы Лоренца дает уравнение циклоиды: частица вращается по окружности радиуса $r$, а центр окружности движется равномерно в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полю со скоростью дрейфа $${\vec v}_{д}= \frac{c}{B^2}\cdot [\vec E\times \vec B].$$ Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом $\rho _{L} =\frac{v_{\bot }}{\omega _{c} }$. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами.

Рассмотрим поведение частицы с учётом столкновений частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта — $\langle l\rangle$. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau =\frac{\langle l\rangle}{\langle | v | \rangle $. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если добавка к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau$ много меньше её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется слабым. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_{d}.$

В приближении слабого поля дрейфовая скорость $v_{d}$ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau$ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_{E}$, так и времени действия этой силы $\tau$. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля ${\vec v}_{d}=u\cdot \vec E$, где коэффициент пропорциональности $u$ называется подвижностью носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность $\frac{м^2}{В\cdot с}$, но часто измеряется в несистемных единицах $\frac{см^2}{В\cdot с}$.

Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда Контакты 1 и 2 будем называть токовыми контактами, контакты 3 и 4 — потенциальными контактами. В отсутствие магнитного поля, если образец однороден и изотропен, контакты 3 и 4 находятся на эквипотенциальной поверхности и при пропускании тока через образец, падение напряжения между контактами 3 и 4 равно нулю. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитного поля $\vec В$ перпендикулярен вектору $\vec j$. Скорость движения заряженных частиц состоит из хаотической (тепловой) и дрейфовой составляющих. Дрейфовая скорость возникает вследствие действия на заряженную частицу внешних сил (в нашем случае из-за приложенных внешних электрического и магнитного полей $\vec E$ и $\vec B$). В силу линейности зависимости силы Лоренца от скорости имеем: $$\vec F = q\vec E + \frac{q}{c} [{\vec v}_T \times \vec B]+\frac{q}{c} [{\vec v}_d \times \vec B],$$ Так как средняя проекция тепловой скорости на любую ось равна нулю, то при усреднении второе слагаемое в последней формуле становится равным нулю, и средняя сила зависит только от дрейфовой скорости. Видно, что магнитная составляющая силы Лоренца отклоняет как положительно, так и отрицательно заряженные частицы в одну и ту же сторону, поскольку изменение знака заряда компенсируется изменением направления дрейфовой скорости на противоположную.

Предположим, что ток в образце определяется движением заряженных частиц одного типа, например, электронов (иначе придётся учитывать вклад в ток движение заряженных частиц всех типов). В отсутствие магнитного поля ток течёт слева направо. После включения магнитного поля, на электроны начинает действовать магнитная составляющая силы Лоренца, которая отклоняет их в направлении к грани 3. Таким образом, некоторое время после включения магнитного поля происходит движение электронов от грани 4 к грани 3. Электроны, создают на грани 3 отрицательный, а на грани 4 положительный заряды, то есть между этими гранями возникнет дополнительное электрическое поле ${\vec E}_H$. Заряд на гранях 3 и 4 будет расти до тех пор, пока магнитная составляющая силы Лоренца не уравновесится этим дополнительным электрическим полем: $$e\cdot {\vec E}_y +\frac ec [{\vec v}_d \times \vec B] = 0.$$ В этой ситуации имеем: $E_{y} =\frac{v_{d}}{c} B.$ Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что в формуле стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега $\langle \tau \rangle$ (средним временем релаксации). Поскольку $$j_{x} =-env_{d},$$ то $$E_{y} =E_{H} =-\frac{j_{x} B}{en}.$$

Величина $E_H$ называется полем Холла. Таким образом, электрическое поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты $E_x$ и $E_y$, следовательно, полный вектор электрического поля $\vec E = \vec i E_{x} + \vec k E_{y}$ не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда $\vec{В}= 0$) между ними будет угол $\varphi _H$, получивший название угол Холла. Для тангенса этого угла можно записать: $$ tg (\varphi _{H}) =\frac{E_{y}{E_{x}} $$или$$ tg(\varphi _{H}) =-\frac{\sigma B}{en}=-u_{n} B. $$

На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между гранями 3 и 4 на рисунке), которая называется ЭДС Холла: $$U_{H} =E_{H} \cdot d=-\frac{j_{x} Bd}{en}.$$ Если выразить полный ток через плотность тока, $I=j_{x} d\cdot h$, то $$U_{H} =-\frac{IB}{enh}=\frac{R_{H} IB}{h},$$ где $R_{H} =-(en)^{-1}$ — постоянная Холла.

В случае полупроводника р–типа проводимости в уравнении ($E_{y} =E_{H} =-\frac{j_{x} B}{en}$) следует изменить знак носителей заряда с $-е$ на $+е$. Тогда будем иметь: $$E_{H}=\frac{j_{x} B}{ep}=j_{x} R_{H} B,$$ $$tg (\varphi _{H})=-\frac{\sigma B}{ep}=-u_{p} B,$$ $$U_{H} =-\frac{IB}{eph}=\frac{R_{H} IB}{h},$$ где р — концентрация дырок, $u_p$ — их подвижность, $R_H = (e p}^{-1}$ — постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя последние формулы, можно видеть, что по знаку эдс Холла можно определить в эксперименте тип носителей заряда, а по величине $R_H$ — их концентрацию. Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла, то по ним определяют подвижность носителей: $$u_{n(p)} =\sigma R_{H} .$$

Исследование эффекта Холла в полупроводниках осложняется тем, что в них существует несколько типов носителей зарядов. Проводимость, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, называется собственной. Обычно полупроводники обладают примесной проводимостью. В полупроводниках такого типа некоторые атомы основного кристалла заменены атомами другой валентности. Если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, то у атома примеси есть «лишний» электрон, слабо связанный с атомным остовом, который он может легко отдать в зону проводимости. В таком полупроводнике больше электронов, чем дырок, он называется полупроводником n–типа, и обладает электронной проводимостью. При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется проводимость p–типа (дырочная). В полупроводниках могут также присутствовать оба типа носителей заряда.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях:

$m \frac{d{\vec v}_n}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_n \vec B]$ — для электронов,

$m \frac{d{\vec v}_p}{dt} =-e\vec E- \frac{e}{c}[{\vec v}_p \vec B]$ — для дырок.

Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac{e \langle \tau \rangle}{m_n}$, получим: $$\vec v_{n(p)} =-u_{n(p)} \vec E-\frac{u_{n(p)}^2}{c} [\vec E \times \vec B],$$ Помножив первое уравнение на $en$, а второе на $ep$, получим уравнения для электронного и дырочного токов: $$\vec j_{n(p)} =-en(p)u_{n(p)} \vec E-en(p)\frac{u_{n(p)}^2}{c} [\vec E \times \vec B].$$ Таким образом, полный ток: $$\vec j =e(nu_n + pu_p) \vec E+e(\frac{nu_n^2+pu_p^2}{c} [\vec E \times \vec B]$$ или в скалярной форме: $$j_{x} {\rm \; }={\rm \; }e(nu_{n} +pu_{p} )E_{x} {\rm \; }+e(pu_{p}^{2} +nu_{n}^{2} )E_{y} B_{z} =j,$$ $$\begin{equation} \label{GrindEQ__43_} j_{y} {\rm \; }={\rm \; }e(nu_{n} +pu_{p} )E_{y} {\rm \; }+e(pu_{p}^{2} +nu_{n}^{2} )E_{x} B_{z} =0. \end{equation}$$ Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом уравнении системы \eqref{GrindEQ43_} много меньше первого. С учетом этого, решив систему \eqref{GrindEQ43_} относительно E${}_{y}$ , получим $$E_{H} {\rm \; }={\rm \; \; \; }R_{H} jB,$$ $$\begin{equation} \label{GrindEQ__44_} R_{H} {\rm \; }={\rm \; }(1/e)(pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} )/(nu_{n} +pu_{p} )^{2} . \end{equation}$$ Из \eqref{GrindEQ44_} видно, что при \textit{n$>$$>$p R${}_{H}$ = 1/ (en)}, а при \textit{p$>$$>$n R${}_{H}$ = 1/ (ep)}. В случае собственного полупроводника, где \textit{n = p = n${}_{i}$} , \begin{equation} \label{GrindEQ45_} R_{H} {\rm \; }={\rm \; }(1/en_{i} ){\rm \; }(u_{p} -u_{n} )/(u_{n} +u_{p} )=(1/en_{i} )\cdot (1-b)/(1+b), \end{equation} где \textit{b = u${}_{n}$/u${}_{p}$}. Согласно \eqref{GrindEQ45_} \textit{R${}_{H}$${}_{\ }$${}_{\ }$}$\mathrm{<}$ 0 при \textit{b} $\mathrm{>}$ 1 (т. е. \textit{u${}_{n}$ $>$ u${}_{p}$}) и \textit{R${}_{H}$${}_{\ }$}${}_{\ }$$\mathrm{>}$ 0 при \textit{b} $\mathrm{<}$ 1 (т. е. \textit{u${}_{n}$ $<$ u${}_{p}$}). Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами – мы считали вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического уравнения Больцмана. Следствием рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление множителя \textit{r} \begin{equation} \label{GrindEQ46_} r{\rm \; }={\rm \; }<\tau ^{2} >/<\tau >^{2} \end{equation} в выражении для постоянной Холла:

\noindent $R_{H} =-\, r/(en)$ – для электронов, $R_{H} =-r/(ep)$ – для дырок,

\noindent $R_{H} {\rm \; }={\rm \; }(r/e)(pu_{p}^{2} -nu_{n}^{2} )/(nu_{n} +pu_{p} )^{2}$– для биполярной проводимости.

\noindent Здесь $\mathrm{<}$\textit{$\tau$} $\mathrm{>}$ – среднее время релаксации, $\mathrm{<}$\textit{$\tau$${}^{2}$}$\mathrm{>}$ – средний квадрат времени релаксации. Соответственно все полученные выше формулы, где есть множители 1/\textit{(en)} или 1/(\textit{ep}), верны с точностью до множителя r; в частности, для подвижности: $${\rm \; }u_{n}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{n} {\rm ,}{\rm \; }$$ $$\begin{equation} \label{GrindEQ__47_} {\rm \; }u_{p}^{H} {\rm \; }={\rm \; }r\sigma /en=ru_{p} . \end{equation}$$ Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла.

Поскольку \textit{r} определяется временем релаксации \textit{$\tau$}, то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки \textit{r }= 3$\pi$/8=1,18, а при рассеянии на примесных ионах \textit{r }= 1,93. При низких температурах (для Ge T $\mathrm{<}$ 250 K, для Si T~$\mathrm{<}$~100~K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si – в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.

Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая слабого магнитного поля. Поскольку \textit{$\tau$ = $<$$\lambda$$>$/$<$v$>$}, то соотношение между длиной свободного пробега $\mathrm{<}$\textit{$\lambda$}$\mathrm{>}$ носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:

$\tau <<T=2\pi /\omega _{c}$ – для слабого поля,

$\tau >>T=2\pi /\omega _{c}$ – для сильного поля, \eqref{GrindEQ48_} \noindent где \textit{T }– период вращения частицы, \textit{$\omega$${}_{c}$} – циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией \textbf{В}). Поскольку $\omega \; \, =\, \; \frac{q\cdot B}{m^{*} }$, подставив \textit{$\omega$${}_{c}$} в \eqref{GrindEQ48_}, получим:

\noindent $\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi <<1$– для слабого поля,

$\tau \omega _{c} /2\pi =uB/2\pi >>1$– для сильного поля. $\eqref{GrindEQ__49_}$

Приведенное определение сильного и слабого полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле.