Концентрация электронов в зоне проводимости определяется следующим выражением: $$ n_{i} =\int \limits_{0}^{\infty }f_{n} \cdot dz=\int \limits_{0}^{\infty }\left(\frac{1}{e^{\frac{E-E_{F} }{kT} } +1} \right) \cdot \left(\frac{4\pi \sqrt{2m_{n}^{*} E} }{h^{3} } dE\right) , $$ где $dz$ – число разрешенных состояний в интервале энергий $dE$; $E_{F} $ — электрохимический потенциал, или уровень Ферми;

\noindent $f_{n} =\frac{1}{e^{\frac{E-E_{F} }{kT} } +1} $ — функция Ферми, характеризующая вероятность того, что состояние с энергией $E$при данной температуре $T$ занято электроном (см. b): $m_{n}^{*} $ — эффективная масса электрона, $k$, $h$ — постоянные Больцмана и Планка соответственно.

В собственных полупроводниках уровень Ферми располагается вблизи середины запрещенной зоны. В этом случае $\frac{E-E_{F} }{kT} \gg 1$ и функция Ферми переходит в функцию Больцмана $$ f_{F} =f_{} =e^{\frac{E_{F} }{kT} } e^{-\frac{E}{kT} } . $$ Заменяя $f_{F} $ и интегрируя, получаем $$ n_{i} =\frac{2(2\pi m_{n}^{*} kT)^{\frac 32} }{h^{3} } e^{\frac{E_{F} }{kT} } . $$ Аналогично для концентрации дырок: $$ p_{i} =\frac{2(2\pi m_{p}^{*} kT)^{\frac 32}}{h^3} e^{-\frac{E_g +E_F}{kT}} . $$ В собственном полупроводнике $n_{i} =p_{i} $. Тогда из последних соотношений получаем искомую зависимость $n_{i} $ от температуры: $$ n_{i} =\sqrt{n_{i} p_{i} } =\frac{2(2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{\frac 32}}{h^3} e^{-\frac{E_g}{2kT}}. $$

Назад к Приложение 1. Эффект Холла в сильном магнитном поле (для дополнительного чтения), далее к описанию лабораторных работ «Электрические и магнитные свойства твердых тел»