Концентрация электронов в зоне проводимости определяется следующим выражением: $$n_{i} =\int \limits_{0}^{\infty }f_{n} \cdot dz=\int \limits_{0}^{\infty }\left(\frac{1}{e^{\frac{E-E_{F} }{kT} } +1} \right) \cdot \left(\frac{4\pi \sqrt{2m_{n}^{*} E} )^{1/2} }{h^{3} } E^{1/2} dE\right) ,$$ где $dz$ – число разрешенных состояний в интервале энергий $dE$; $E_{F}$ – электрохимический потенциал, или уровень Ферми;

\noindent $f_{n} =\frac{1}{e^{\frac{E-E_{F} }{kT} } +1}$ – функция Ферми, характеризующая вероятность того, что состояние с энергией $E$при данной температуре $T$ занято электроном (см. рис.~9, \textit{b}); $m_{n}^{*}$ – эффективная масса электрона, $k$, $h$ – постоянные Больцмана и Планка соответственно.

В собственных полупроводниках уровень Ферми располагается вблизи середины запрещенной зоны. В этом случае $\frac{E-E_{F} }{kT} >>1$ и функция Ферми переходит в функцию Больцмана $$\begin{equation} \label{GrindEQ__51_} f_{F} =f_{} =e^{\frac{E_{F} }{kT} } e^{-\frac{E}{kT} } . \end{equation}$$ Заменяя $f_{F}$ в \eqref{GrindEQ1_} и интегрируя, получаем \begin{equation} \label{GrindEQ52_} n_{i} =\frac{2(2\pi m_{n}^{*} kT)^{3/2} }{h^{3} } e^{\frac{E_{F} }{kT} } . \end{equation} ~f_{n} f_{p} —-~f_{n} f_{p} —-\includegraphics*[width=3.51in, height=2.14in, keepaspectratio=false]{image8}

\noindent $$3$$

\noindent Аналогично для концентрации дырок: $$\begin{equation} \label{GrindEQ__53_} p_{i} =\frac{2(2\pi m_{p}^{*} kT)^{{3\mathord{\left/ {\vphantom {3 }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} } 2} }{h^{3} } e^{-\frac{E_{g} +E_{F} }{kT} } . \end{equation}$$ В собственном полупроводнике $n_{i} =p_{i}$. Тогда из соотношений \eqref{GrindEQ52_} и \eqref{GrindEQ53_} получаем искомую зависимость $n_{i}$ от температуры: $$n_{i} =\sqrt{n_{i} p_{i} } =\frac{2(2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{{3 \mathord{\left/{\vphantom{3 }}\right.\kern-\nulldelimiterspace} } 2} }{h^{3} } e^{-\frac{E_{g} }{2kT} } .$$