Проводимость чистых полупроводников, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, возникающих за счет нарушения валентных связей, называется собственной. При комнатной температуре в чистых полупроводниках ионизуется очень небольшое число атомов, так как энергия возбуждения (энергия перехода из валентной зоны в зону проводимости) намного превосходит среднюю энергию частиц, равную $\frac{3}{2}kT$ (при $T=300$ K, $E=\frac{3}{2}kT$ составляет всего $0,04$ эВ). Но кинетическая энергия частиц (электроны, атомы в твердом теле) только в среднем равна $\frac{3}{2} \; kT.$ Мгновенные же скорости распределяются по закону Максвелла; всегда имеется некоторое число частиц, скорости которых намного больше и значительно меньше средних; вероятность того, что электрон имеет энергию $E_{g}$, пропорциональна $e^{-\frac{E_{g}}{kT}}$. Отсюда следует, что число свободных электронов в таком полупроводнике гораздо меньше свободных электронов в металле и это число сильно зависит от температуры. Поэтому проводимость полупроводника сильно зависит от примесей, т. е. введение небольшого числа примесных, легко ионизуемых атомов в полупроводник резко меняет число свободных носителей.

В полупроводниках с примесной проводимостью некоторые атомы основного кристалла заменены атомами с другой валентностью. При этом, если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, полупроводник обладает так называемой n–проводимостью (электронной). При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется p–проводимость (дырочная). При наличии дырок электрон одного из соседних атомов может занять вакантное место, где будет восстановлена обычная связь, но зато на его прежнем месте появится дырка. При наличии поля $E$ в образце такой процесс будет повторяться многократно, образуя дырочную проводимость.

Рассмотрим теперь, как зависит концентрация свободных носителей примесного полупроводника от температуры. На рисунке приведена зависимость натурального логарифма равновесной концентрации свободных электронов в полупроводнике от обратной температуры. При низких температурах концентрация электронов в полупроводнике определяется концентрацией примесных центров. С ростом температуры примесная концентрация растет, а следовательно, возрастает и проводимость. При некоторой температуре концентрация электронов перестает зависеть от температуры. Это область примесного истощения. Все атомы примеси уже ионизованы, а собственная концентрация все еще гораздо меньше чем примесная. И, наконец, в области еще более высоких температур начинается резкий рост концентрации с дальнейшим повышением температуры. Это область собственной проводимости, где концентрация свободных носителей определяется зависимостью $e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Так как величина проводимости прямо пропорциональна концентрации носителей, то $\sigma \sim e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Отсюда видно, что из температурной зависимости проводимости можно извлечь важную характеристику полупроводника — ширину запрещенной зоны.

Рассмотрим теперь количественно температурную зависимость проводимости. В общем случае проводимость полупроводника равна сумме собственной $(\sigma _{i} )$ и примесной $(\sigma _{np})$ электропроводностей: $$ \sigma =\sigma _{i} +\sigma _{np} . $$ При низкой концентрации примеси и высоких температурах. $\sigma _{i} >\sigma _{np}.$ Именно этот случай будет интересовать нас в данной работе. Тогда электропроводность собственного полупроводника (беспримесного) можно выразить формулой $$ (*) \ \ \ \ \sigma _{i} =n_{i} eu_{n} +p_{i} eu_{p} , $$ где $e$ — заряд электрона, $n_{i}, p_{i}, u_{n}, u_{p}$ — собственные концентрации и подвижности электронов и дырок соответственно. Индекс $i$ обозначает, что данное значение концентрации носителей получено для собственного (intrinsic) полупроводника, в котором $n_{i} =p_{i}$.

Входящие в формулу (*) концентрация и подвижность являются функциями от температуры. Как было рассмотрено ранее, качественно температурная зависимость концентрации определяется зависимостью $n\sim e^{-\frac{E_{g}}{kT}}.$ Для чистых (собственных) полупроводников количественная зависимость концентрации носителей от температуры определяется выражением (см. приложение) $$ n_{i} =p_{i} =A(T)\cdot e^{-\frac{E_{g}}{2kT}} , $$ где температурная зависимость предэкспоненциального множителя имеет вид $$ A(T)=\frac{2 (2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{\frac 32}}{h^{3}}. $$

Рассмотрим теперь температурную зависимость подвижности свободных носителей. По определению, подвижность равна отношению дрейфовой скорости $\vartheta $ к напряженности электрического поля $E$: $$ u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E}. $$ Иными словами, подвижность — это скорость дрейфа электронов (дырок) в поле напряженностью $1 \frac{В}{см}.$ Средняя скорость направленного движения ${\overline{\vartheta }}$ (дрейфовая скорость) равняется произведению ускорения на среднее время между столкновениями $\tau $ (время свободного пробега, время релаксации): $$ {\overline{\vartheta }}= \frac{e\tau }{m} E. $$ Тогда для подвижности электронов и дырок получаем $$ u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} =\frac{e\tau _{n,p} }{m_{n,p}^{*} } , $$ где $\tau _{n,p} $ — время свободного пробега электрона (дырки). Время свободного пробега $\tau _{n,p} $ равно отношению длины свободного пробега $\lambda _{n,p} $ к скорости теплового движения частицы $\vartheta _{T\, n,p} :$ $$ \tau _{n,p} =\frac{\lambda _{n,p} }{\vartheta _{T\, n,p}} . $$

Подвижность носителей в собственном полупроводнике в области используемых температур определяется рассеянием носителей заряда на колебаниях решетки. В этом случае длина свободного пробега электрона (дырки) обратно пропорциональна температуре (чем ниже температура, тем меньше амплитуда колебаний атомов и тем больше длина свободного пробега): $$ \lambda _{n,p} =\frac{Const_{n,p} }{T} ; $$ $$ \vartheta _{T\, n,p} =\sqrt{\frac{3kT}{m_{n,p}^{*} } } . $$ Из последних трёх формул получаем выражение для подвижности электронов и дырок: $$ u_{n,p} =\frac{e\cdot Const_{n,p} }{\sqrt{3km_{n,p}^{*} } } T^{-\frac{3}{2}}. $$ Подставляя выражения для концентраций и подвижностей в формулу (*), получаем выражение для температурной зависимости электропроводности собственного (беспримесного) полупроводника: $$ \sigma _{i} =\sigma _{0} e^{-\frac{E_g}{2kT}} , $$ где предэкспоненциальный множитель $\sigma _{0} $ не зависит от температуры и определяется свойствами полупроводника.

Назад к Элементы зонной теории твердого тела, далее Подвижность и коэффициент диффузии носителей заряда в полупроводниках