Проводимость чистых полупроводников, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, возникающих за счет нарушения валентных связей, называется собственной. При комнатной температуре в чистых полупроводниках ионизуется очень небольшое число атомов, так как энергия возбуждения (энергия перехода из валентной зоны в зону проводимости) намного превосходит среднюю энергию частиц, равную $\frac{3}{2} {\kern 1pt} \, kT$ (при $T=300K,$ $\frac{3}{2} \, \, kT$составляет всего 0,04 эВ). Но кинетическая энергия частиц (электроны, атомы в твердом теле) только в среднем равна $\frac{3}{2} \; kT.$ Мгновенные же скорости распределяются по закону Максвелла; всегда имеется некоторое число частиц, скорости которых намного больше и значительно меньше средних; вероятность того, что электрон имеет энергию $E_{g} $, пропорциональна $e^{-E_{g} /kT} $. Отсюда следует, что число свободных электронов в таком полупроводнике гораздо меньше свободных электронов в металле и это число сильно зависит от температуры. Поэтому проводимость полупроводника сильно зависит от примесей, т. е. введение небольшого числа примесных, легко ионизуемых атомов в полупроводник резко меняет число свободных носителей. В полупроводниках с примесной проводимостью некоторые атомы основного кристалла заменены атомами с другой валентностью. При этом, если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристал~~\includegraphics*[width=2.44in, height=1.53in, keepaspectratio=false]{image6}ла, полупроводник обладает так называемой \textit{n}-проводимостью (электронной). При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется \textit{p}-проводимость (дырочная). При наличии дырок электрон одного из соседних атомов может занять вакантное место, где будет восстановлена обычная связь, но зато на его прежнем месте появится дырка. При наличии поля $E$ в образце такой процесс будет повторяться многократно, образуя дырочную проводимость.

Рассмотрим теперь, как зависит концентрация свободных носителей примесного полупроводника от температуры. На рис.~5 приведена зависимость натурального логарифма равновесной концентрации свободных электронов в полупроводнике от обратной температуры. При низких температурах концентрация электронов в полупроводнике определяется концентрацией примесных центров. С~ростом температуры примесная концентрация растет, а следовательно, возрастает и проводимость. При некоторой температуре концентрация электронов перестает зависеть от температуры. Это область примесного истощения. Все атомы примеси уже ионизованы, а собственная концентрация все еще гораздо меньше чем примесная. И, наконец, в области еще более высоких температур начинается резкий рост концентрации с дальнейшим повышением температуры. Это область собственной проводимости, где концентрация свободных носителей определяется зависимостью $e^{-E_{g} /kT} .$ Так как величина проводимости прямо пропорциональна концентрации носителей, то $\sigma \propto e^{-E_{g} /kT} .$ Отсюда видно, что из температурной зависимости проводимости можно извлечь важную характеристику полупроводника – ширину запрещенной зоны.

Рассмотрим теперь количественно температурную зависимость проводимости. В общем случае проводимость полупроводника равна сумме собственной $(\sigma _{i} )$ и примесной $(\sigma _{np} )$ электропроводностей: \begin{equation} \label{GrindEQ__1_} \sigma =\sigma _{i} +\sigma _{np} . \end{equation} При низкой концентрации примеси и высоких температурах. $\sigma _{i} >\sigma _{np} .$ Именно этот случай будет интересовать нас в данной работе. Тогда электропроводность собственного полупроводника (беспримесного) можно выразить формулой \begin{equation} \label{GrindEQ__2_} \sigma _{i} =n_{i} eu_{n} +p_{i} eu_{p} , \end{equation} где \textit{e} – заряд электрона, $n_{i} ,{\kern 1pt} \, p_{i} ,\, \, u_{n} ,\, \, u_{p} $ – собственные концентрации и подвижности электронов и дырок соответственно. Индекс \textit{i} обозначает, что данное значение концентрации носителей получено для собственного (intrinsic) полупроводника, в котором $n_{i} =p_{i} $.

Входящие в формулу \eqref{GrindEQ2_} концентрация и подвижность являются функциями от температуры. Как было рассмотрено ранее, качественно температурная зависимость концентрации определяется зависимостью $n\sim e^{-E_{g} /kT} .$ Для чистых (собственных) полупроводников количественная зависимость концентрации носителей от температуры определяется выражением (см. приложение) \begin{equation} \label{GrindEQ3_} n_{i} =p_{i} =A(T)\cdot e^{-\frac{E_{g} }{2kT} } , \end{equation} где температурная зависимость предэкспоненциального множителя имеет вид \begin{equation} \label{GrindEQ__4_} A(T)=\frac{2(2\pi \sqrt{m_{n}^{*} m_{p}^{*} } kT)^{{3\mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} } }{h^{3} } . \end{equation}

Рассмотрим теперь температурную зависимость подвижности свободных носителей. По определению, подвижность равна отношению дрейфовой скорости $\vartheta $ к напряженности электрического поля $E$: \begin{equation} \label{GrindEQ__5_} u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} . \end{equation} Иными словами, подвижность – это скорость дрейфа электронов (дырок) в поле напряженностью 1~В/см. Средняя скорость направленного движения ${\mathop{\vartheta }\limits^{\_ }} $ (\textit{дрейфовая скорость}) равняется произведению ускорения на среднее время между столкновениями $\tau $ (\textit{время свободного пробега, время релаксации}): \begin{equation} \label{GrindEQ__6_} {\mathop{\vartheta }\limits^{\_ }} =\frac{e\tau }{m} E. \end{equation} Тогда для подвижности электронов и дырок получаем \begin{equation} \label{GrindEQ__7_} u_{n,p} =\frac{\vartheta _{n,p} }{E} =\frac{e\tau _{n,p} }{m_{n,p}^{*} } , \end{equation} где $\tau _{n,p} $ – время свободного пробега электрона (дырки). Время свободного пробега $\tau _{n,p} $ равно отношению длины свободного пробега $\lambda _{n,p} $ к скорости теплового движения частицы $\vartheta _{T\, n,p} :$ \begin{equation} \label{GrindEQ__8_} \tau _{n,p} =\frac{\lambda _{n,p} }{\vartheta _{T\, n,p} \, } . \end{equation}

Подвижность носителей в собственном полупроводнике в области используемых температур определяется рассеянием носителей заряда на колебаниях решетки. В этом случае длина свободного пробега электрона (дырки) обратно пропорциональна температуре (чем ниже температура, тем меньше амплитуда колебаний атомов и тем больше длина свободного пробега): \begin{equation} \label{GrindEQ__9_} \lambda _{n,p} =\frac{Const_{n,p} }{T} ; \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__10_} \vartheta _{T\, n,p} =\sqrt{\frac{3kT}{m_{n,p}^{*} } } . \end{equation} Из формул \eqref{GrindEQ8_}, \eqref{GrindEQ9_}, \eqref{GrindEQ10_} получаем выражение для подвижности электронов и дырок: \begin{equation} \label{GrindEQ11_} u_{n,p} =\frac{e\cdot Const_{n,p} }{\sqrt{3km_{n,p}^{*} } } T^3_mathord_left_vphantom_-3 \right. \kern-\nulldelimiterspace} } 2} . \end{equation} Подставляя выражения для концентраций \eqref{GrindEQ3_}, \eqref{GrindEQ4_} и подвижностей \eqref{GrindEQ11_} в формулу \eqref{GrindEQ2_}, получаем выражение для температурной зависимости электропроводности собственного (беспримесного) полупроводника: \begin{equation} \label{GrindEQ__12_} \sigma _{i} =\sigma _{0} e^{-Eg/2kT} , \end{equation} где предэкспоненциальный множитель $\sigma _{0} $ не зависит от температуры и определяется свойствами полупроводника.